Reprenons la relation

qui donne l'action M'M étendue à l'arc M'M d'une trajectoire. Soit

une solution complète de Téquation de Jacobi et soient

les équations mêmes de la trajectoire considérée. Désignons par x^y, z les coordonnées de M et par ^qj^o» ^0 celles de M'. On

47^ LIVRB V. — CHAP, VII.

aura, en verlu des équations (3o),

/ /) fi

Ces deux équations feront connaître a et b en fonction de x,

y^ z, Xq^Jo^ Zq et permettront, par suite, d'exprimer Taclion M' M par une formule

(32) M'M = e(ar,7,5; ^o» ^o, -«o),

ne contenant que les coordonnées des points M, M'. 11 est important de calculer les dérivées de cette fonction. Or on a

M' M =/(Xyy, z, a, b)—/{xoy yo, Zq^ a. b) et, par suite, en dilTérentiant totalement,

dx ôy -^ dz ôxo dy^, ^ dz^

oa .ob

Comme les coefficients de Sa, 86 sont nuls en vertu des équa< tions (3i), il reste simplement

M'M = ^-flx + ^ly +^iz-ifl 8x. -piy,-p 8.-. âx dy '^ âz Oxq ^J'o àz^

OU, en remplaçant les dérivées de fetfo par les vitesses,

(33) 8M'M = x' ^x-\-y' ^y ^z'^z — x'ç, ^Xo — /o ^^o — «i ^^o-

« Cette relation, d'où la fonctionna complètement disparu, et

que Ton peut établir aussi par le calcul des variations, est analogue à celles que nous avons démontrées aux n°* 525 et 540. Elle donne la variation de l'action étendue à* un segment de trajectoire M'M (Jig' 36) lorsqu'on passe à un segment de trajectoire infiniment voisin PP'. On peut lui donner une forme entièrement géométrique. Si M'MP, MM'P' désignent les angles que fait en M, M' la trajectoire avec les déplacements infiniment petits MP,

APPLICATION A l'ÀTUDE DES MOUVEMENTS DANS L* ESPACE. 477

M' F, on a évidemment

x; 8^70 H- ri ^yo -h -«i s^o = m' p Y ^^ ^ cosSÎNrp'.

En remplaçant les vitesses 3;' (57) parleurs valeurs déduites de l'équatîon des forces vives,, on aura

SmTS= — MPv/2Um-+-2AcosM'MP

— M' P V'2 Um -H a A ces ^ M' P* Fig. 36.

Cette formule comprend, comme cas particulier, celle qui est relative à la différentielle d^un segment de droite, et elle donne naissance à des conséquences analogues. Nous signalerons seulement la suivante, que le lecteur établira en étendant la méthode donnée au n® 450 pour la démonstration du théorème de Malus.

560. Étant donnée une trajectoire quelconque et une surface (D), on peut imaginer que la trajectoire, à son point de rencontre avec la surface (D), se réfléchisse, ou se réfracte d'après la loi du sinus, de la même manière qu'un rayon lumineux. La loi de la réflexion ou de la réfraction détermine la tangente à la trajectoire réfléchie ou réfractée ; et, comme une trajectoire correspondante à une valeur donnée de la constante des forces vives est pleinement définie lorsqu'on connaît un de ses points et la tangente en ce point, on voit que l'on pourra toujours déterminer par une coQstruction géométrique ce que nous appelons la trajectoire réfléchie ou réfractée. Cette définition étant admise, les raison-

nements du n° 450 et l'emploi de la formule (34) nous conduisent au théorème suivant :

Considérons toutes les trajectoires du mobile qui sont normales à une sur/ace (S), et supposons qu'elles se réfléchissent ou se réfractent sur une surface (D), les trajectoires réfléchies ou réfractées seront aussi normales à une surface (S|) que l'on construira de la manière suivante : Si M est le point où la trajectoire est normale à (S), P celui ou elle rencontre (D), on prendra sur la trajectoire réfractée un arc PM' tel que V action, étendue à Varc P>F, soit égale au produit de V action

étendue à l'arc MP par la constante -^9 n étant l'indice de réfraction.

561. On peut imaginer des conditions dynamiques qui obligent les trajectoires à se réfléchir ou à se réfracter d'après les lois que nous venons d'indiquer. Supposons, en effet, que, dans le voisinage de la surface (D), la fonction des forces varie brusquement de telle manière qu'elle soit remplacée par

n étant l'indice de réfraction. Après le passage à travers la surface (D), la loi des trajectoires redeviendra la môme; les équations

du mouvement (i) et (2) changent, il est vrai ; mais il suffit, pour

/// ramener la forme primitive, d'y remplacer dt par — On aura

donc les mêmes trajectoires, mais parcourues avec des vitesses qui seront augmentées dans le rapport de l'indice n à l'unité. Pour savoir comment les trajectoires se substituent les unes aux autres dans le voisinage de (D), il suffit d'appliquer le théorème de MM. Thomson et Tait. Si les trajectoires incidentes sont normales à une surface (S), elles demeureront normales à toutes les surfaces que Ton obtiendra en prenant à partir de leur point d'incidence sur (S) un arc tel que l'action étendue à cet arc ait une valeur donnée. Soient M le point d'incidence pour une des trajectoires, P le point où elle rencontre D, M' un point de la trajectoire

APPLICATION A L'ÉTUDE DES MOUVEMENTS DANS l'eSPACE. 479

réfractée. On aura

MP= I ^2[J-^'zhds,

FM'= nC /aU^-aAcf*.

Si donc on détermine le point M' par Téquation

^iV -h ^hds -h n j M *^p

Jf ^lU -i- 2hds-^' n j ^2 U -h 2 A c?* = const. ,

on devra obtenir une surface normale aux trajectoires réfractées. Cette condition, combinée avec la formule (34 )> détermine, on le reconnaîtra aisément, la loi de la réfraction, et Ton retrouve ainsi précisément la loi de Descartes que nous avions admise a priori, dans le numéro précédent.

48o LIVRE V. — CHAP. VIII.