CHAPITRE VIII

Équations de Lagrange. •— Transformation d'Hamilton. — Définition à^unt famille de solutions. — Équations aux dérivées partielles qui définissent la famille. — Familles orthogonales. — Équation aux dérivées partielles de Jacobi. — Usage que Ton peut faire de ses différentes solutions. — Expression de la force vive due à M. Lipschitz. — Principe de la moindre action. — Formule de M. Liouville. — Définition de Vaciion. — Expression de l'action élémentaire au moyen d'une intégrale complète de l'équation de Jacobi et de ses dérivées par rapport aux constantes. — Autre méthode d'exposition des résultats précédents; élimination du temps à l'aide du principe des forces vives. — Définition des angles par rapport à une forme quadratique, travaux de M. Beltrami. — Définition et propriétés d'invariance des paramétres différentiels AO, A(0, 6,). — Transformations remarquables de la forme quadratique. — Lignes géodésiques de la forme, extension des théorèmes de Gauss. — Application au problème général de la Dynamique.

562. Les méthodes que nous avons appliquées dans les deux Chapitres qui précèdent s'étendent d'elles-mêmes à l'étude du problème général de la Mécanique. Il ne sera pas inutile de développer ici ce nouveau mode d'exposition des résultats fondamentaux qui sont dus à Hamilton et à Jacobi; car nous serons ainsi conduits à certaines propriétés générales des formes quadratiques qui éclaireront les résultats précédents et nous seront utiles dans la suite.

Envisageons un problème de Mécanique dans lequel il existe une fonction des forces, que nous supposerons indépendante du temps. Soient q^^ ^2, ..., qn les variables indépendantes dont dépend la position du système mobile, q\y * • •y q'a l^urs dérivées par rapport au temps et 2T la force vive, définie par la formule

(i) 2T =^ axxq'f -^ ia^^q\q\^ . , ,=z^^^aikq\q'k,

OÙ les coefficients a/A sont des fonctions données de ^1, q^j •>•? qn-

Le mouvement sera déflni par les équations de Lagrange

d dT

dT . dU

Hamilton a montré que, si Ton introduit les variables auxiliaires

dT ^

on peut transformer ces équations de la manière suivante. Posons

On peut exprimer H en fonction des variables /)/, qf(] il suffît, pour cela, de déduire des équations (3) les valeurs de ç\i g'^, ---j ç„ et de les porter dans l'expression précédente. Si l'on pose

ait

^nt

^nn

OU, en adoptant la notation de M. Kronecker,

t> = \aal (£', A ---I,?., ..., n),

et si Ton désigne par A,a le coefficient de a/A dans le déterminant précédent, les formules (3) nous donnent

A/rt

Ci— -^ fi-^- "-^ ~\r^'^

Comme on a, d'après le théorème des fonctions homogènes, on obtiendra sans difficulté la valeur suivante de T

aT = g22^'*^'^*'

que Ton peut encore écrire comme il suit

«Il

Pi

. ••• «/Il

. • 1 Pn

Pi

Pn

Jl

48i LIVRE V. — CHAP. VIII.

et de là on déduit

(,o) n = T - U = ^^^^ikPiPk - U.

Une fois connue cette valeur de H, les équations du mouvement se présentent sous la forme canonique

dqi d\\ dpi èW , . .

et Téquation des forces vives

s'écrit ainsi

Tel est le premier résultat établi par Hamilton.

563. Considérons maintenant toutes les solutions du problème pour lesquelles la constante des forces vives a une valeur donnée h et soient

(l4) qi=fi{Cu Cj, . .., Cjn.j, h,t — <o)) (l = I, 2, ..., /l)

les équations qui font connaître les valeurs des variables qi en fonction du temps.

Les valeurs des variables pi définies par les formules (3) seront

àfx à h dfn

(i5) pi = au ^y - "<'^» ^ ■^•- •■^^'«■^' (t = 1,2, ..., /i).

Au lieu de conserveries solutions les plus générales, imaginons que l'on établisse, entre les a/i — i constantes c/ et h, n — i relations, d'ailleurs quelconques. Par exemple, on annulera n — i constantes, ou bien l'on considérera l'ensemble des solutions qui correspondent à une même position initiale donnée du système, etc. On obtiendra ainsi des formules contenant seulement n — i constantes

(l6) qi = ^i{Ci,C2, '.'fCn~u /h t ~ to)j (l = 1, 2, . . ., /l),

qui définiront ce que nous appellerons une famille de solutions. On peut éliminer t — ^o et les constantes a entre les équations

LE PROBLEME GÉNÉRAL DE L.i DYNAMIQUE. 4^^

précédentes et leurs dérivées

On sera ainsi conduit à un système d^équations différentiel les

(«7) ç'i= -Jl- = ^i(giyqij''^qn,h), (t = i,2,..., /i),

dont Tintégration permettrait de retrouver les équations (i6)et qui peut être considéré comme déHnissant la famille de solutions au même titre que le système (i6). Si Ton porte les valeurs précédentes dans les formules (3), on en déduira des expressions de Pif • . . , /7;, en fonction de ^i , . , , ^ q,i

( i8) />/ = V/(<7,, ^j, . . ., qn, h),

qui pourront tenir lieu du système (17). Nous allons maintenant donner les équations qui déterminent les fonctions ^"1. Considérons d'abord les n équations suivantes

djo/ dH

dt ^ dqi

du système (i i); les pi étant exprimées en fonction des variables qiy elles prennent la forme

àqi ' * <^<7ï ^^n àqi

et, si Ton remplace q\ par sa valeur t— > on trouve

2 dpi dM dW àqk àpk "^ dqi "" ^'

D'autre part, si Ton porte les expressions de /?|, • . ., p» dans Téquation des forces vives

on doit obtenir une identité. Il faut donc que la dérivée du premier membre par rapport à Çi devienne nulle, ce qui donne la relation

âH Y ^ àp^k

dqt jiddpk àqi ~ k

4»4 LIVEE V. — CHAP. VIII.

En la retranchanl de Féqualion (19).. on trouve

Ainsi les variables/?/, considérées comme fonctions de qy q„^

doivent satisfaire aux équations (20) et ('21).

Considérons maintenant le second groupe des équations difl\> renlielles (1 1)

dqi dW

dt opi

Lorsqu'on v aura remplacé les/?/ parleurs valeurs, on aura formé un système de n équations dinérenlielles du premier ordre, l'équivalent du svslèmeû- K dont l'inléj^ralion fera connaître les \aleurs de ^1, q^y ..., qn en fonction du temps et de /i — 1 constantes arbitraires qui viendront s'ajouter à la constante des forces vi\es. Toute la difCculté est donc ramenée, on le voit, à déterminer d'abord les expressions de />], pi, • • -^ Pn satisfaisant aux équations (20) et (21).

56i. Le problème étant ainsi transformé, on n'aperçoit nullement que l'on ait fait un pas vers la solution : Tintégralion des équations (20) et (21) constitue, en apparence, une question beaucoup plus difficile que celle qu'il s'agissait de résoudre.

Seulement ce problème a des solutions particulières qui sont mises en évidence. On reconnaît, en eflet, immédiatement que les équations (21) seront vérifiées si l'on prend poury^i, . . .^ p,, les dérivées d'une même fonction quelconque 6

Quant à l'équation (20), si Ton y porte les valeurs précédentes des variables/?/, elle se transformera en une équation aux dérivées partielles qui définira la fonction 0. Si Ton pose, pour abréger,

on trouve ainsi

i'iS) A0 = 2(U-hA),

el Ton peut énoncer le théorème suivant :

A chaque intégrale de l'équation aux dérivées partielles (2j) correspond une famille de solutions du problème proposé pour lesquelles h est la constante des forces vives et que l'on déterminera complètement en effectuant l'intégration du système d'équations différentielles,

i'xh) Pi = 2^ ag - /- = j--.» (1= fyiy.,.. ri).

D'après les raisonnements que nous venons d'exposer, il est clair que le théorème précédent fournit seulement des famillles particulières de solutions; mais nous verrons, et Ton peut démontrer dès à présent, que ces familles particulières comprendront toutes les solutions possibles du problème proposé. Soit en effet (y) une telle solution; elle est entièrement définie par les valeurs initiales /?", q^ des variables />/, qi^^ valeurs qui doivent d*ailleurs satisfaire à Téquation des forces vives

II = h.

Or il existe une infinité de solutions 0 de IVqualion aux dérivées partielles (aS) telles que Ton ait

-.:^-/'? pour qi = q\ qa^ql-

Dans chacune des familles correspondantes, la solution (y') définie par les valeurs initiales q^ des variables qi coïncidera avec la solution (y); car, pour les deux solutions, les valeurs initiales /?", q\ de toutes les variables/?/, qi^ seront les mêmes.

565. Nous donnerons le nom de familles orthogonales à toutes celles qui sont définies par Péqualion (a5) et le système (26). Lorsqu'on connaîtra la solution 0, la détermination complète de la famille correspondante exigera l'intégration du système (26).

Cette dernière intégration sera facilitée, et pourra même être rendue inutile, si la solution 6 contient un certain nombre de con-

slantes arbitraires. C^est en cela que consiste le théorème fondamental de Jacobi, que nous allons d^abord démontrer. Soit

une solution de l'équation (aS) contenant les constantes arbitraires C|, ..., cx. En différentiant les deux membres de cette équation par rapport à Tune quelconque Cp des constantes précédentes et remarquant que U-l-A ne contient pas Cy,, on trouve

ZàZà D dç] OçA- àCp -* ^'

D'après la formule (6), l'ensemble des coefficients de t — j— est précisément g\. On aura donc

ou, plus simplement,

€t, en intégrant,

dt

\àcp) ■

ÔCp

= const.

On démontrerait de la même manière l'équation

dt \()/t/ ''

Ainsi :

Si la fonction 8 contient dans son expression les constantes arbitraires C|, C2, * ^ •^ c\^ les équations

sont autant d'intégrales du système (26); de plus, si Von n'a pas attribué à la constante des forces vives une valeur numériçue, l'équation

fera connaître le temps.

Si l'intégrale 0 est complète, c'est-^i-dire si elle contient

n — I constantes arbitraires Cp, les équations

donneront ^intégration complète du système (26).

La proposition de Jacobi se trouve ainsi établie.

Ici encore, par des raisonnements analogues à ceux du n^ 555, on reconnaîtra à quelles conditions doit satisfaire Fintégrale complète. II faut que, si on la considère comme fonction des constantes Cp^ elle ne satisfasse à aucune équation de la forme

IM — , • • . , , Cl, . . ., Crt-i, nj = o.

Cette condition est d'ailleurs équivalente à la suivante : 8, considérée comme fonction de q^j ...y ^n, ne doit vérifier aucune équation aux dérivées partielles indépendante des constantes Cp et distincte de Téquation (24).

566. Les équations (29), auxquelles il faut joindre les suivantes

(3o) /?i=-— , ..., pn

qui feront connaître les vitesses, définissent la solution la plus générale du problème proposé. Considérons, parmi toutes les solutions, celles qui correspondent à une même position initiale du système mobile. Soient ç'î, • • • , y^ les valeurs des variables qi qui définissent cette position et soit

la solution qui figure dans les formules (3o). Nous poserons

/o=Aqh • • •» î'a, Cl, . . ., c„i, A);

les équations (29) devant être vérifiées quand on y fait qi^=q% on aura

et, par suite, ces équations prendront la forme

En attribuant aux constantes ci toutes les valeurs possibles dans ces équations, on obtient ainsi ce que nous avons appelé une famille de solutions. Cette famille est orthogonale; on peut le montrer de la manière suivante.

D'après la définition même des familles orthogonales, tout revient à établir que l'expression

est une différentielle exacte après qu'on y a remplacé les constantes Cx par leurs expressions en fonction de gr,, ..., qn déduites des équations (3i). Or, si Ton considère la fonction

où Ton a remplacé les constantes c\ par leurs valeurs déduites des équations (3i), et si on la différentie totalement, on trouve

^,= vJ'/rf,,.yî(/=A>,.

ôqi ^ Jmd de

Les coefficients des différentielles dcp étant nuls en vertu des équations (3i), rf(T devient égal à l'expression (32). La proposition que nous avions en vue est donc établie. Nous la retrouverons plus loin par une voie toute différente.

La solution particulière t que nous venons d'obtenir, solution que l'on peut exprimer en fonction de r/i, . . . , q„, q^^^ . . . , q^, joue, comme on sait, un rôle fondamental dans la théorie d'IIam 11 ton.

Les raisonnements précédents subsisteraient sans modification si Ton substituait ùl/q une fonction quelconque

o(ci, cj, ...,c«,, h); de sorte que les équations

définissent toujours une famille orthogonale. Cette famille correspond à cette solution 6 de l'équation aux dérivées partielles que l'on obtient, d'après la règle deLagrange, en éliminant C|, Ca, . . ., Cn-t

entre l'équation

et ses dérivées par rapport aux constantes arbitraires.