Les remarques précédentes s'appliquent toutes à Thypo
thèse où la solution 9 contiendrait des constantes arbitraires.
Quand il n'en sera pas ainsi, il faudra, pour déterminer la famille
de solutions correspondante à la solution 6, intégrer le système
(26). Toute intégrale
F = const.
de ce système devra satisfaire à l'équation linéaire
dqk ^* "Zàld D dqi Jfk ~ ^'
Nous désignerons, pour abréger, par A(9, F) l'expression
L'intégration du système (26) équivaut donc à celle de l'équation linéaire
Remarquons que le symbole précédent se réduit à A6 lorsqu'on y suppose F ^=: 9.
La considération des familles orthocronales va nous conduire à une expression remarquable de la force vive du système mobile qui a été signalée par M. Lipschitz (* ). Soient 9 une solution quelconque de l'équation (26) et 9| , 90, . . . , ^n-\ les /i — i intégrales distinctes de l'équation linéaire correspondante (34);
forment un système de n fonctions indépendantes; car, si 9 pouvait
(') R. Lipschitz, Untersuchung eines Problems der Variations- rechnun g in welchem das Problem der Mechanik enthalten ist {Journal de Crelle, t. LXXIV; 1871). On pourra consulter aussi une analyse de ce Mémoire rédigée par l'auteur dans le Bulletin des Sciences mathématiques, i" série, t. IV, p. 212 ;
s'exprimer en fonction de 0{, . . . , Q/i^i, on aurait
ce qui est impossible, AO étant égal à U 4- A* Nous pouvons donc introduire dans la forme quadratique
qui, divisée par rf/^, donnerait la force vive, les variables 9, hi à la place des variables qi. On obtient ainsi une expression
( 35 ) 22 atk dqt dqk = B rfO» -f- a^ ^i d^ d^i "^22 *'^ ^^ ^^ '
nous allons chercher d'abord les valeurs des coefficients B, B/. D'après Féquation précédente, on a
Or, lorsque 8 varie seule, les équations du mouvement sont vérifiées; cela résulte de ce que Q4, . . •, B,,.) sont les intégrales du système (a6). On a donc
-T- désignant la dérivée de 8 par rapport au temps dans le mouvement naturel. On déduit de là
ou encore
dq/c c)Ô dt
Si l'on multiplie cette équation par ~ et si l'on ajoute toutes les équations semblables, on aura
OU, en remarquant que, d'après les formules relatives au change-
dt
ment de variables, le coefficient de -^ est l'unité,
L'emploi de la formule (Sy) nous permet d'éliminer les dérivées
-— et nous donne
