i*:Çi9k= -T

ou, en tenant compte de Téquatîon des forces vives, (39) J=:i(U-+-A).

Telle est la formule qui fera connaître la dérivée de 0 dans le mouvement naturel. On en déduit la valeur suivante de B :

Calculons maintenant la valeur de B^. Si Ton multiplie les deux

membres de l'équation (38) par ^'> on aura, en ajoutant toutes les équations semblables.

Bp

et, comme le second membre est évidemment nul d'après les formules relatives au changement de variables, on aura

Bp=o.

En portant les valeurs de B et de B^ dans l'équation (35), on sera donc conduit à l'identité fondamentale

(4o) {lU -r-^h)^^ai/cdqtdqk = db^-i-/{d^i, ..., rfO„-,).

/ désignant une forme quadratique des n — i difTérenti elles rfô,, . . ., d^n-i qui sera nécessairement définie positive,

568. Telle est la formule établie par M. Lipschitz. On peut en

49^ LIVRE V. — Cil A P. VIII.

déduire une démonstration nette et précise du principe de la moindre action. Sous la forme qui lui a été donnée parJacobi ('), ce principe peut s'énoncer comme il suit :

Etant données deux positions (Po) et (P,) du système mobile, imaginons tous les déplacements continus qui amènent le système de la première position à la seconde, les vitesses satisfaisant à chaque instant à l'équation des forces vives

aT =22aM'<7i^A = 2( U -4- /i).

Si Von considère V intégrale

( ♦ 0 / y niv^ dt = f /** ^ -^- '^ hi/ yy ^' A dqi dq^y

•^iPo» ^^ «-'(Pc) ^ ^^^^

relative à chacun de ces déplacements, elle sera moindre pour le mouvement naturel que pour tous les autres déplacements.

Nous verrons plus loin, en effet (n° o7I), que la variation première de l'intégrale précédente est toujours nulle lorsqu'on passe du mouvement naturel à tout autre mouvement infiniment peu différent amenant le système de (P©) en (P, ). Nous allons démontrer ici une proposition plus précise et prouver que l'intégrale sera réellement un minimum lorsque la position (P^) sera suffisamment voisine de (Pq).

Soit, en effet, (y) un des mouvements naturels; considérons une famille orthogonale de solutions (F) à laquelle appartiendra le mouvement (y). On peut, par exemple, choisir toutes les solutions correspondantes à une position initiale (P') qui soit l'une de celles que prend le système dans le mouvement naturel. Constituons un domaine conlinu de positions, caractérisé, par exemple, par certaines inégalités auxquelles doivent satisfaire ^i, 72î •••> 7«> assujetti à Tunique condition que la solution 0 de l'équation (aS), qui caractérise la famille orthogonale, y reste finie et uniforme, ainsi que ses dérivées premières, sauf peut-être pour une certaine position déterminée (P'')- Supposons, de plus, que

(') Vorlesungen ùher Dynamik, sixième Leçon.

ce domaine comprenne dans son intérieur une partie des positions qu'occupe le système mobile dans le mouvement (y). Si (Po) et (P4) désignent deux de ces positions, nous allons montrer que

r intégrale

à laquelle nous donnerons le nom à'action, sera plus petite dans le mouvement naturel que pour tout autre mouvement s'accomplissanty entre les mêmes positions, à Tintérieur du domaine défini plus haut. En effet, il est impossible que deux positions différentes (Po)î (P«)» comprises à l'intérieur du domaine défini, appartiennent à deux solutions distinctes de la famille orthogonale, correspondantes à la détermination de 6 que nous avons choisie. S'il en était ainsi, une des deux positions (Po), (P|) serait distincte de (P') et, comme les vitesses relatives à cette position

sont déterminées par les équations (26). où les dérivées r — ne

sont, d'après l'hypothèse, ni infinies, ni indéterminées, il en résulterait que les deux solutions distinctes correspondraient à la même position initiale et aux mêmes vitesses initiales, ce qui est évidemment impossible.

D*après cela, évaluons faction ^ en nous servant de la formule (4o). Nous aurons

(Î3) 3=^ v^t/0*H-yu/0i,6/0„ . . . , t/O,..! ).

i(p,) •-'(Pp) Dans le mouvement naturel on a

6^0 j = <Bx — ... — d^u-\ = o ;

et, d'autre part, y étant toujours positive d'après la formule (Sg), 0 est une fonction croissante. On aura donc

/.(Pi)

31 = / ^0 = Oip,, — 6(P,).

Si l'on considère maintenant tout autre mouvement s'accomplissant dans le domaine déGni, il ne peut, d'après la démonstration précédente, réunir les deux positions (Po), (P|) et constituer

494 LITBE T. — CH%P. Tlll.

une «olatîon de la famille orthogonale correspondanle à la dëlermina lion de ^ que nous avons choisie. Par suite, les différentielles dh,, •••9 dhm-î »^ seront pas toujours nulles dans ce second mouvement : et, comme / est une forme définie positive, rinté- ^rale ^, évaluée dans le nouveau mouvement, sera supérieure à

el a fortiori à

Or, la fonction H étant bien déterminée à Tintérieur du domaine, cette dernière intégrale est toujours H^^ — ^p^. La proposition que nous avions en vue est donc établie.

Supposons, en particulier, que la famille orthogonale considérée soit celle qui est formée par toutes les solutions qui ont en commun la position initiale {P«). Soit S Tinlégrale correspondante de Téqûatlon aux dérivées partielles, à laquelle on pourra toujours ajouter une constante, de telle manière qu^elle s'annule pour la position ' P9). Le domaine continu pourra être ici caractérisé par

l'inégalité ^* )

ft < A,

A étant une constante positive choisie par Tunique condition que H et ses dérivées ne deviennent ni infinies, ni indéterminées à Tintérieurdu domaine. Alors Faclion, dans le mouvement naturel qui s'efleclue à Tinlérieur du domaine entre la position (Pô) et une autre position (P|) comprise dans le domaine, sera un minimum absolu. Car, d*après la démonstration précédente, elle est plus petite que celle qui est relative à tout autre mouvement.s^accomplissant dans le domaine; mais elle est aussi inférieure à celle qui se rapporte à tout mouvement sortant des limites, puisque déjà Faction dans ce mouvement, étendue seulement jusqu'à la pre~ mière position pour laquelle il sort du domaine, est au moins égale à A et, par suite, supérieure à 6 p^,. Ce raisonnement ne diflere

(*) La déGnition complète et précise de cedomaioe exigerait quelqoes dévelop* pements qui sont analogues à ceux que nous avons donnés aux n"* 518 et 521 relativement aux lignes géodésiques.

que par le nombre des variables de celui que nous avons présenté au n*> 521 .

569. La démonstration précédente établit donc, sans Tintervention du calcul des variations et par des méthodes purement algébriques, le principe de la moindre action ; sôus ce point de vue, elle doit être rapprochée de celle que M. Liouville a fait connaître dans un article inséré en i856 aux Comptes rendus (*). Nous allons indiquer rapidement une méthode nouvelle qui conduit aux résultats obtenus par l'illustre géomètre.

Désignons par xsi les expressions

jSi = ail ^7i "^~ ût/j dqi

O'in dqn.

qui sont égales aux quantités pi multipliées par dt^ et considérons la forme quadratique

dqi

àq\

de

àqn

TSn

àqn

TSn

On reconnaîtra aisément qu'elle est toujours positive ou nulle et qu'elle ne peut s'annuler que si Ton a

àqi

TîJj

àqt

àqn

Cela posé, désignons par les notations bu, bs^y b^si ^22 les quatre éléments qui sont des zéros et qui appartiennent aux deux dernières lignes et aux deux dernières colonnes. Une formule

(*) J* Liouville, Expression remarquable de la quantité qui, dans le mouvement d'un système de points matériels à liaisons quelconques ^ est un minimum en vertu du principe de la moindre action {Comptes rendus, t. XLII, p. ii/|6, et Journal de Liouville, 1* série, t. I, p. 297; i856).

déjà rappelée (p. 124) nous donnera la relation

^^^ db^.db,,- àbu àb,i \db,^J '

On établll iromédiatcment, ou par des combinaisons faciles de colonnes, que Ton a

â^K ^ dK

= I>» Âir- = - ^y\y.^i*^ ^9i dqk^

D et A8 étant les expressions déjà définies par les formules (5) et (24). En portant ces valeurs dans l'équation (4^), on trouvera

AO 22 «'^- ^^' ^^^ = rfOî -+. ^ .

Si Ton suppose maintenant que 8 satisfasse à Téquation

AO = 2(U-h A), on aura

(47) -'(^ -^h)^^aiji.dqidq/^z= ^0*4- -^ •

Cette équation, qui donne, comme la formule (4o), une expression de l'action élémentaire, peut remplacer cette identité et jouerait le même rôle dans la démonstration que nous avons donnée du principe de la moindre action. Au reste, on peut déduire très aisément la première formule de la seconde.

En effet, d'après l'expression (45), on reconnaît immédiatement que K est une fonction quadratique des binômes

d^ dO

àqk àqi

Toutes ces quantités, s'annulant lorsqu'on se déplace sur wn^ trajectoire, en vertu des équations différentielles (26), seront nécessairement de la forme

1^ sera donc une forme quadratique des différentielles d%\^ efOj, ...,

rfOrt-i. Cette remarque suffit à montrer que Téquation (40) est une conséquence de la formule (47)*

S70. Nous négligerons ici ce qui concerne le principe d'Hamilton. Il suffirait, pour établir ce principe et reconnaître qu'il j a réellement un minimum de l'intégrale correspondante, de répéter la démonstration du n° 546, en substituant partout au terme <T^ cTOJ la fonction /(rf6| , ..., d^n-i ) qui figure dans la formule (4o). Nous insisterons, au contraire, sur la généralisation suivante d'un résultat établi au n^ 534.

Lorsqu'on connaîtra une intégrale complète 6 de l'équation (a5), on pourra prendre pour les fonctions 0|, ..., O;,-! les dérivées de 6 par rapport aux constantes c/. Posons

dci dctc '

nous allons voir que l'on peut exprimer entièrement le second membre de la formule (4o) en fonction de 6 et de ses dérivées.

Remplaçons partout dans cette formule la caractéristique d par d -{-\i et égalons les coefficients de X dans les deux membres; nous aurons la relation

qui est équivalente à l'équation d'où on l'a déduite, mais qui contient deux systèmes de diOerentielles. Les deux membres peuvent être considérés comme dépendant des 4^ — i variables gr/, dqk, ^qhfi cx. Laissant toutes les autres variables constantes, diflférentions par rapport à ci. En remarquant que le premier membre ne contient pas c\ et que l'on a, généralement,

d , , du -r — au = a — >

dc\ OCX

nous trouverons le résultat suivant

LITBE T. — CHAF. TIII.

Cela posé, choisissons pour les differenûelles 0^1, . . . , o^j, des valeurs annulant o4,, 082, . . •. o^«-i- Si Ton pose

âfl

de

tfç.

"Çi

àq

les valeurs de Zq^, ..., o^^ seront proportionnelles aux coefBcienls

/A Ah

de — 9 — 7 — dans le déterminant précédent. Si Ton désire par

Oçt Oqn ^ or

la notation {ik) ce que devient ce déterminant lorsqu^on j remplace h par Hik-i l'équation précédente nous donnera

(bo) ^ = ^«) ^> -- ; 2 J^/ ''*' '

tous les autres termes disparaissant eu vertu de Thypo thèse faite sur 0^1, . . ., oq„. Si Ton joint aux équations précédentes Tidentité

à dhi

1 df

on pourra éliminer toutes les dérivées - -r^ et obtenir Téquation

(/i — 1,1) ... (/i — i,/i — 1) cTOn-i

c/Bi

qui fera connaître /. On trouve ainsi

(Si)

(n — i,n — i) rf9|,, ^«-1 o

La PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DTNAMIQUE. 499

D' désignant le délerminant

I (ik) I (t, A: = i,2, ...,/i — I).

Ainsi la forme quadratique 2(U -^ h)^^^aifgdqidgfi^ qui représente ce que l'on peut appeler le carré de Y action élémentaire. sera entièrement exprimée en fonction de Q et de ses dérivées par une formule où ne subsistera plus rien d'inconnu. Ce résultat comprend, comme nous Pavons annoncé, celui qui a été démontré au n^ 53i.

571. La variable /joue un rôle très effacé et disparaît presque complètement dans les raisonnements précédents. On aurait pu l'éliminer dès le début et retrouver ainsi, d'une autre manière, les résidtats que nous venons d'établir. La question est assez importante pour que nous indiquions rapidement ce nouveau mode d'exposition.

On peut, en employant le principe des forces vives, faire disparaître le temps des équations de Lagrange. Si Ton pose, eu effet,

les équations de Lagrange s'écrivent comme il suit :

\ddqi dtj dt àqi dqi

Or on a, d'après le principe des forces vives.

dt

Si l'on porte cette valeur de dt dans les équations de Lagrange, elles prennent la forme

\ddqi ^(T) J àqi

/(T) \^-\-hàqi

ou, plus simplement,

(5^> ''d-^ /(inrÂKT) - A v/(U + A)(f) = o.

300 LITME T. — CHAP. Tf IL

Ce sont celles auxquelles oo serait coodnit en égalant à léro la Tariatîon première de l'intégrale

Posons

ds désignera ce qne nous aTons appelé Yaciion élémentaire^ et l'on Toît qne la solution do problème général de la Mécanique est ainsi ramenée à la recherche du maximum ou du mimmnm de rîntégiale

^ ds,

où ds^ désigne une forme quadratique assujettie à la seule condi* tion d*étre définie positive . C'est en cela que consiste le principe de la moindre action; et Ton reconnaît immédiatement, grâce à ce principe, que le problème général de la Mécanique n*est qu'une extension à un nombre quelconque de variables du problème de la recherche des lignes géodésiques. C*est à ce point de vue que nous allons nous placer maintenant en prenant pour guide un beau Mémoire de M. Beltrami (' ).