Étant donnée la forme quadratique

' î > > di^ "22*'** ^^' ''^*'

si Ton fait un changement de variables qui donne

V VûT/i dqi dqt =22^'* ^'^' ^"^^^

on aura aassi, en introduisant deux svstèmes de diflerentielles,

^^q/1- dqi Iqk — Z^J>ik dn or*.

(*) E. Beltraxt, SuUa teorica générale dei pammetri differensiali (Jfemorie dell' Accademia délie Scitnze dell' Istiluto dîBolognay série 3«, t. VIII,

LE PROBLEME GENERAL DE LA DYNAMIQUE. 5oi

Par suite, Uangle (dsj Zs), défini par l'équation (56) ds^sco3{ds,ls) =^^^^aijtdqi^qk,

sera un invariant. Dans le cas où la forme est définie, on s^assure aisément, par l'emploi d'une identité deLagrange, quecos(e/^, Bs) est en valeur absolue inférieur à l'unité. Nous dirons que l'élément (ds, ^s) est Y angle des deux directions définies par les deux systèmes de différentielles d et 8. Deux directions seront perpendiculaires lorsqu'on aura

Etant donnée une relation quelconque

elle défimra ce que nous appellerons une sur/ace. Supposons que ?i) "'7 Çn varient sans cesser de satisfaire à cette équation; leurs difi'érentielles devront, à chaque instant, vérifier la relation

(59) HdT/^^'^"-

Nous réserverons le nom de ligne à l'ensemble des valeurs de Çif •-•; ^nquî sont des fonctions données d'un paramètre variable t. Nous ne considérerons dans ce Chapitre que des lignes et des surfaces. Une ligne et une surface ont, en général, un nombre limité d'éléments communs. La condition d'orthogonalité de deux lignes ayant un élément commun sera exprimée par la formule (57), où les caractéristiques rf et 8 se rapportent respectivement aux déplacements effectués sur les deux lignes.

Si une ligne et une surface ont un élément commun, nous dirons que la ligne est normale à la sur/ace lorsqu'elle sera normale à toutes les lignes de la surface contenant l'élément commun. Pour qu'il en soit ainsi, il faudra que l'on ait

(60) ^^atkdqi^qk ^ O3

5o';i LIVRE V. — CUAP. VIII.

la difTérenUelle d se rapportant à un déplacement sur la ligne et la diflférentielle 6 à un déplacement sur la surface. Si la surface est représentée par Téqualion (58), les difTérentielles ùqi satisfont à la seule condition (09). Il faudra donc que les coefGcients des différentielles ogi dans les deux équations (67) et (69) soient proportionnels. On est ainsi conduit au système

2 do le ^ do . .

où X est un facteur de proportionnalité.

Si on le résout par rapport aux dérivées ^^> on obtient les valeurs suivantes

les symboles \n et D désignant les quantités déjà déGnies, c'*està-dire le déterminant | a^ | et ses mineurs du premier ordre. Comme on a

U multiplication des équations (Oi ) et (6> i donnera

En posant ici encore on trouvera

Si Ton remarque maintenant que l'ensemble des termes qui multiplient -'/' Jaus Téquation ^63'» est c^al, d'après la for-

mule ^6l^, à y y 1. on peut encore écrire cette équation sous la forme suivante

^mo^, as

LB PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE. 5o3

ce qui donne

la difTérentielle d^ se rapportant à un déplacement qui s'effectue sur la courbe normale à la surface. La comparaison des formules (65) et (66) nous donne donc

et cette expression montre immédiatement que Af est un invariant (*).

573. Ce fait essentiel peut aussi être établi de la manière suivante. Considérons la forme quadratique ds^ et cherchons la fonction m, telle que la différence

ds^ ,

considérée comme fonction de dq^, .. ., dçnj se réduise à une somme de n — i carrés. Si Ton prend les dérivées de la différence précédente par rapport à dçt^ dq^^ .•., dqn^ on obtient les n équations

^aïkdqk T— ^0 = o, (i = 1 , 2, . . . , /i ),

dont le déterminant devra être nul. On peut leur adjoindre Téquation

qui définit efO. En éliminant é/B, dq^^ . . . , dqn^ on est conduit à une équation qui donne précisément

m = Ae.

La fonction m étant, d'après sa définition même, un invariant, il en sera de même de AO.

( * ) E* Beltrami, Mémoire cité.

5o4 HVHE V. — CHAP. VIII.