Puisque la différence

se réduit à une somme de n — i carrés, qui sont même positifs quand ia forme est définie positive, on est conduit à introduire l'élément (8, ds) défini par Téquation

(68) -^ =rf5sin(e, é/5).

y Aô

L'élément (8, ds) sera dit V angle de la surface (8) et de la courbe à laquelle se rapportent les différentielles dqi. Cette définition est d'accord avec celle que nous avons déjà donnée plus haut pour l'orthogonalité, puisque alors on aura, d'après la relation (67),

sin'(6, ds) = i.

De l'invariant A8 on déduit immédiatement le suivant ( * )

qui est le coefficient de 2X dans le développement de A(8 -h ^6|), ordonné suivant les puissances de la constante X.

Cela nous conduit à introduire encore l'élément (8, 8|) défini par la formule

qui sera V angle des deux sur/aces (8), (8|).

En résumé, nous avons défini, au moyen des invariants qui se sont présentés successivement, l'angle de deux lignes, de deux surfaces, d'une ligne et d'une surface. On vérifiera aisément que

(*) On peut donner pour A(0, B,) une formule analogue à l'équation (67). On a, en effet,

A(e,e.)=v/Âôjs

la différentielle d se rapportant à un déplacement normal à la surface (6).

LB PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE. 5o5

ces angles ne changent pas lorsque la forme est multipliée par une fonction quelconque des variables indépendantes. Si l'on considère des lignes et des surfaces ayant un élément commun, l'angle d'une ligne et d'une surface est le complément de l'angle que fait la ligne avec la direction normale à la surface; l'angle de deux surfaces est égal à celui des lignes qui leur sont normales. Des calculs élémentaires établissent ces propositions, qu'il était aisé de prévoir et que le lecteur vérifiera sans peine.

575. Nous allons maintenant indiquer une conséquence intéressante de l'un des résultats précédents. Nous avons vu que la différence

(70 ^^'-"ÂT

est toujours réductible à une somme de n — i carrés

PÎ-HPî-f-...-+-PÎ i.

Égalons à zéro chacun de ces carrés ; nous aurons un système d'équations différentielles

B/irf^l-h. . .-4- BfndÇn = o,

au nombre de n — i. Désignons par 6|, 82» •••.» ^/i-i les n — i intégrales de ce système, c'est-à-dire les fonctions qui, égalées à des constantes, donnent les relations les plus générales entre les valeurs de ^1, ..., ^/2 qui satisfont à ces équations. On aura évidemment n — i identités de la forme suivante :

P^ = C/,c?Oi -h C/irf8,H-. . .-h C/,„-icro„i (t = I, 2, . . . , n — i); et, par suite, la différence (71) prendra la forme

f désignant une forme quadratique des n — i différentielles rfO,. Cette égalité ne peut exister que si les fonctions 0, B| , • . • , O/1.1 sont indépendantes les unes des autres; et, par suite, en les substituant aux variables primitives, on pourra exprimer AO et les coefficients def en fonction de B, 0|, . . ., O^^».

5o6 LIVRE V. — CHAP. VIII.

Ainsi, par un changement de variables qui exige seulement l'intégration de n — i équations différentielles ordinaires, on peut toujours ramener la fonction quadratique ds^ à la forme

(72) ds^= — -H/i(c?ei,...,rfo„,),

oii 8 est une fonction arbitrairement choisie, assujettie à V unique condition que A6 ne soit pas nul.

En particulier, si l'on a

AO = i, on trouvera

(73) ds^= rfO«-+-/i(û?0,,...,rfOrt,).

Cette remarquable proposition, à laquelle on pourrait aisément ramener la précédente, est due à M. Beltrami. Elle joue dans la théorie des formes à n variables le même rôle que la proposition de Gauss relative aux lignes géodésiques (n°' 519 et 531).

On peut définir d'une manière élégante le système des équations différentielles dont l'intégration fera connaître les /i — i fonctions 6i lorsqu'on aura choisi la fonction 6. Il suffit, pour cela, de s'appuyer sur les propriétés d'invariance du symbole A(6, 6,).

Si l'on cherche, en effet, les fonctions u satisfaisant à l'équation

on trouve aisément, en calculant A(B, u) avec le second membre

de l'équation (73), que l'équation précédente se réduit à la forme

simple

Par suite, elle admet les n — i intégrales indépendantes Q|, 62) • • • , 8/1-1. Il suffira donc d'écrire avec les variables primitives l'équation linéaire

les /i — I intégrales indépendantes de cette équation linéaire se-

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE. Soy

ront les fonctions que l'on devra associer à 0 pour obtenir le nouveau système de variables.

Si la fonction quadratique ds^ est telle qu'il existe une équation aux dérivées partielles

que l'on puisse intégrer complètement, U étant d'ailleurs une fonction de g^i, . . ., y„ choisie comme on le voudra, on pourra lui donner sans intégration et d'une infinité de manières la forme

(76) rf5«= ^ -+-/,(eW„ ...,rf9„0.

Car soit 8 une intégrale complète de l'équation (75); en différentiant les deux membres de cette équation par rapport à l'une quelconque Ci des constantes qui entrent dans 0, on trouvera

et, par suite, j-j •••» ^ seront les différentes intégrales de

l'équation linéaire (74)« Ce sont là, sous une forme un peu différente; les résultats fondamentaux de Jacobi.

576. Les transformations que nous venons de signaler vont nous permettre de traiter le problème déjà posé plus haut relativement au minimum de l'intégrale

fd,,

prise entre deux systèmes de valeurs extrêmes donnés. Pour conserver Tanalogie, nous donnerons le nom de géodésiques à toutes les lignes qui nous donneront une des solutions de ce problème. Il est clair d'ailleurs que ces solutions sont invariantes, c'est-à-dire qu*elles subsistent lorsqu'on change les variables indépendantes. D'après cela, nous supposerons d'abord que l'on ait choisi ces variables de la manière suivante : n — i des variables, y^ , ..., y/i i seront telles que les équations

(77) ri=Ci, ..., yn-i=Cn-\

5o8 LIVRE V. — CHAP- VIII.

définissent, quelles que soient les constantes C/, une solution du problème y c'est-à-dire une ligne géodésique. La dernière variable Q sera simplement une fonction indépendante des précédentes. Pour plus de simplicité on peut supposer que 0 soit la valeur de

l'intégrale j ds comptée sur chacune des lignes géodésiques (77)

à partir d'une origine fixe, mais quelconque. Alors ds^ prendra la forme

Prenons B comme variable indépendante et posons

"" ào'

dyt

En égalant à zéro la variation première de l'intégrale

jds = Çs' d^,

nous aurons les équations

d ds' ds'

Si nous écrivons qu'elles sont vérifiées par l'hypothèse

dyx=^dyt = ..,= dyn^i = o,

nous trouverons les équations

dai .

qui s'intègrent immédiatement et donnent

(79) «I = ?i(7i» J'ï» • • • > yn-x), ( t = 1 , 2, . . . , n — l).

Ainsi, il faut et il suffit que tous les coefficients ai soient indépendants de 0.

LE PROBLÈME GENERAL DE LA DYNAMIQUE. Sog

D'après cela, considérons sur le lieu, défini par l'équation 0 = o, qui contient les points de départ de toutes les géodésiques

j/', = const., (i = I, 2, . . ., /i — i),

une courbe quelconque; et cherchons l'angle de cette courbe avec

lagéodésique qui passe en un de ses points. On a, pour la géodé-

sique,

d^ = dSf

cfyx = dyt= . . . = dyn-y = o,

et pour ta courbe

5^1, 8^2> •••> 8//I-I étant quelconques. L'angle co de ces deux lignes, qui est défini en général par la formule (56), aura donc ici la valeur donnée par l'équation

.g ai 8ki -f- gg oj^t -t- . . . -h an-\ ^yn-\

(oO) costo = — — •

Pour que les lignes géodésiques soient normales au lieu géométrique (9= o) qui leur sert de point de départ, il faut et il suffit que l'expression précédente de coso) soit nulle pour toutes les valeurs des difi<érenti elles 5//, c'est-à-dire que l'on ait, pour 0 = o,

ûfj = ctf = . . . = (iti—\ = o.

Mais, comme ces coefficients ne contiennent pas 6, ils seront alors identiquement nuls.

Ainsi, si des lignes géodésiques sont normales à une surface quelconque (0 = o), tous les coefficients a/ disparaissent dans

r expression (78); ds^ prend la forme suivante

(81) ds^ = d^^-\-fi{dyu ...,dyn-i),

et, par suite, les lignes géodésiques sont aussi normales à toutes

les surfaces

6 = const.

5lO LIVRE V. — CHAP. VIII.

que Von obtient en portant sur chacune déciles à partir de son point d^ incidence une longueur donnée.

Telle est la proposition démontrée par M. Beltrami. Elle s'applique aussi au cas où Ton considère toutes les lignes géodésiques passant par un même point^ car, si Ton prend ce point pour origine des arcs, on doit avoir, d'après la définition même de 0,

ds = cTO, pour 0 = 0,

quelles que soient les variables yi. Par suite, les coefficients ai et bik doivent s'annuler pour 0== o. Mais, comme les premiers a/ ne contiennent pas 0, ils seront identiquement nuls. Ainsi :

Si, sur toutes les géodésiques passant par un point, on porte des longueurs égales, à partir de ce point, le lieu géométrique de V extrémité de ces longueurs est normal à toutes les géodésiques.

Sn. Les théorèmes précédents, qui constituent une généralisation de la théorie de Gauss, mettent immédiatement en évidence le résultat suivant, déjà établi aux n°' 531 et 532 pour le cas de deux variables.

La détermination des lignes géodésiques de la forme quadratique et l'intégration de l'équation aux déri^^ées partielles

constituent deux problèmes équivalents. La résolution de Vun entraîne nécessairement celle de Vautre.

Il ne nous reste plus qu'un mot à ajouter en ce qui concerne le problème le plus général de la Mécanique. Il revient, nous Tavons déjà remarqué, à la détermination des lignes géodésiques de la forme

(82) rfS» = (U -f- h)^^aik dqi dqu = (U -f- A) ds'^.

Si l'on remarque maintenant que le paramètre diflîérentiel Aô évalué relativement à rfS^ est égal au quotient par U 4- A du même

LE PROBLÈME GÉNÉRAL DE LA DYNAMIQUE. 5ll

paramètre différentiel relativement à ds^, on reconnaîtra immédiatement que la solution du problème de Mécanique se ramène à rintégration de Téquation

(83) Ae = U-f-A,

A étant le paramètre différentiel par rapport à ds^.

D'après la remarque que nous avons déjà faite (n® 574), les angles des lignes et des surfaces sont les mêmes par rapport aux deux formes dS^ et ds^. En tenant compte de ce résultat, on peut étendre au problème général de la Mécanique les deux propositions relatives à Torthogon alité que nous avons démontrées diaprés M. Beltrami dans le numéro précédent. On retrouvera ainsi deux théorèmes que M. Lipschitz a énoncés dans le Mémoire que nous avons déjà signalé plus haut et auquel nous renverrons le lecteur.