CHAPITRE III

L'équation d 'Euler et de Poisson 54

Indications historiques. — Forme réduite de l'équation à étudier. — Cas particulier où les deux constantes p, ^' qui y figurent deviennent égales; formes diverses de Téquation. — Solutions particulières homogènes ou entières. — Solutions particulières qui sont le produit d'une fonction de a; par une fonction de y. — Invariants de l'équation. — Propriété fondamentale relative aux substitutions linéaires; cas particulier où p, ^' sont égaux. — Application de la méthode de Laplace. — Recherche directe de l'intégrale dans le cas où la méthode de Laplace peut fournir celte intégrale. — Étude du cas où la suite de Laplace relative à l'équation est illimitée dans les deux sens; on peut ramener p et ^' à être compris entre zéro et i. — Intégrale de Poisson et de M. Appell. — Cas limite où l'on a p -h p' = i. — Indication d'un problème de Géométrie, déjà étudié au tome I, qui se

ramène à l'intégration de l'équation e( > V