POLHODIE
Principe d'H.amilton dans les mouvements plans, 546; dans les mouvements sur une surface, 550.
Problème de Cauchy, 717.
Problème de M. Dini relatif à la représentation géodésiqne, 601-603,
Problèmes du calcul des variatio.vs qni conduisent à une même équation différentielle du second ordre, 604- 606. Application aux problèmes de MM. Beltrami et Dini, 607. 608.
Problème général de la Dy.namique, 562 et suiv. Équations de Lagrange et d'Hamilton,~ij62. Définition d'une
TABI.K ANALYTIQUi: DES MATIERES.
famille de solutions, 563, 564. Familles orthogonales pour lesquelles il y a un potentiel des vitesses, 565, 566.
Expression de la force vive due à M. Lipsclùlz, 567, 568. Action, 568.
Le principe de la moindre action dans toute sa généralité, 568, 569, 570. Problème de plateau. Méthode de M. Weierstrass, 281 et suiv.
Problèmes relatifs à la déformation d'une surface, 718 et suiv. Déformer une surface de telle manière qu'une de ses courbes prenne une forme donnée, etc., 718-719, 721.
Projection stéréographique de la sphère, 798-799.
Pseudospitère, 66, 78.
Rang des expressions de la forme
AX-i- AiX'H-...-+-A,.X'^'\
où X désigne une fonction arbitraire
de X, 335, 341, 342.
Rayo.n de courrube d'une ligne asym-
ptotique, 513.
Recherche des lignes géodésiques, 531,
532, 533. Théorèmes de Jacobi, 532,
Réflexion et réfraction des rayons lumineux, 451-453. Axes optiques, 452, 453. Ombilics catoptriques, 454.
Construction de l'anticaustique, 450.
Développables formées par les rajons lumineux et conservées par la réfraction, 451-453.
Relations entre les six éléments d'un triangle géodésique, 666 et suiv.
Cas des surfaces à courbure constante, 666. Les surfaces applicables sur les surfaces de révolution sont les seules pour lesquelles il y ait une relation entre les six éléments, 666-671.
Relations entre deux surfaces sur lesquelles les développables d'une même congruence interceptent des réseaux conjugués, 422-424.
Représentation conforme de deux surfaces l'une sur l'autre, 119. Représentation sur le plan des surfaces du second degré, 121, 122.
Représentation conforme des aires planes, 128 et suiv. Représentation sur la partie supérieure du plan d'une aire limitée par des droites,
132; par des arcs de cercle, 133-135; par trois arcs de cercles, 136.
Représentations conformes sur le plan des surfaces à courbure constante, 797-800.
Représentations conformes des surfaces MiNiMA, 202 et suiv. Problème de M. Mathet relatif aux représentations conformes, 214.
Représentation géodésique de deux surfaces l'une sur l'autre, 567, 600.
Problème de M. Beltrami, 598, 607.
Représentation géodésique sur un plan, 598, 599, 607.
REPRÉ.SENTATION SPHÉRIQUE. Première solution du problème qui consiste à déterminer une surface connaissant sa représentation sphérique. Application au système formé d'ellipses et d'hyperboles sphériques homofocales, 162. Théorème de Bibaucour, 950.
Représentation sphérique. Solution complète du problème, 974 et suiv.
Emploi des variables a, p, ?, 974.
Rapprochement avec le problème des éléments rectangulaires, 975.
Transformation de M. Lie, 975-976, 978-981. Développements analytiques, 982 et suiv.
Représentation sphérique. Rapports avec la théorie du roulement et de la déformation, 946-947, 954-956.
Représentation sphérique des lignes asymptotiques, 874, 875.
Représentation sphérique d'une ligne de courbure plane, 509.
Représentation sphérique d'une sur-
TABLE ANALYTIQUE DES MATIERES
face minima, 202. Tliéorème de Bour relatif aux surfaces miuima admettant uae représentation sphérique donnée, 205, 208.
Réseaux conjugués formés de géodésiques, surfaces de M. Voss, 918, 919. Surfaces et congruences de M. Guichar d, 920, 921.
Réseaux conjugués pour lesquels les invariants sont égaux. Propriétés géométriques, 877-878.
Résolution des équations linéaires
LES UNES PAR LES AUTRES, 397 et ï
suiT.
Résolution dune équation différentielle linéaire avec second membre,
Roulement de deux surfaces l'une
sur l'autre. 92.j et suiv. Élude analytique, 925-931. Tout mouvement particulier se réduit au roulement de deux surfaces réglées applicables l'une sur l'autre, 932. Cas où ces surfaces réglées deviennent dôveloppables, 933, 934. Système conjugué commun, 934. Théorème de M. Kœnigs relatifs à ce système conjugué, 135. Réseaux formés des courbes pour lesquelles les courbures normales sont égales sur les deux surfaces, 960. Formules relatives au roulement, %3-965, 967-968.
Rotation définie par une substitution linéaire. Théorème de M. F. Klein,
Solutions satisfaisant a certaines CONTIITIONS d'une équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre, 364.
Suite de Laplace, 330-333. Équations pour lesquelles la suite se termine dans les deux sens, 337-340. Extension de la méthode, 1042-1044.
Suite de Lapi„\ce. Cas où elle se termine dans un sens. Deuxième solution, 378-379. Propriétés relatives à celte suite, 380, 381. Cas où elle se termine dans les deux sens, 382.
Différentes formes que prend alors l'intégrale générale, 385, 386.
Surfaces a courbure constante. Théorème de Bonnet rdttachant les surfaces dont la courbure moyenne est constante à celles dont la courbure totale est constante, 771.
Surfaces a courbure constante négative, 772. Propriétés géométriques, 773. Transformation de M. Lie, 774.
Surfaces a courbure constante négative particulières, 813. Surfaces d'Enneper à lignes de courbure sphériques, 814-821.
Surfaces a courbure moyenne con-
stante. Leurs lignes de courbure sont isothermes, 433, 775-776.
Surfaces a courbure totale constante considérées comme développées d'une
surface W, 778-782.
Surface adjointe dk Bonnet, 210. Ses propriétés, 211, 213-215. Formules de M. Schwarz relatives à la surface adjointe, 212.
Surfaces a génératrices circulaires, 88, Note IX.
Si rfaces a lignes de courbure planes, 983, 995-998. Théorème et mode de génération, 798-1000. Lignes de courbure circulaires, algébriques, 1001; toutes égales, 1002. Traduction analytique de la construction géométrique, 1003-1005. Enveloppes de sphères, 1006. Surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes, 102-105.
Surfaces a lignes de courbure sphéri- QUES, 1019 et suiv. Recherche directe.
Théorème de M. Blutel, 1022-1024.
Comment on peut les dériver des surfaces à lignes de courbure planes, 1025-1027. Relations géométriques entre les lignes de courbure splié-
TABLE ANALYTIQUE DES MATIERES
riques, 1028-1030. Surfaces dont les lignes de courbure sont planes ou sphériques dans les deux systèmes, 483, 1032-1038.
SURFACES APPLiCAHLES. Reconnaître si deux surfaces sont applicables, 683 et suiv.
Surfaces applicables, les deux points correspondants étant à une distance invariable, 8G4.
Surfaces applicables sur la surface de révolution dont la méridienne est la tractrice, 782.
Surfaces applicables. Nouvelle méthode de M. Weingarten, 1066 et suiv. Étude du cas où l'élément linéaire a la forme
ds- -~ du--\- a[ « -4- '^' {v)] dv-,
Surfaces applicables sur des paraboioïdes particuliers, 1079.
Surfaces applicables sur les développées des surfaces minima, 751. Sur le paraboloïde de révolution, 751.
Détermination directe, 767-770. Construction géométrique, 770 et Notes IV, XI.
Surface de Liouville, pour laquelle la développée se compose de deux surfaces homofocales du second degré, 460-463.
Surfaces de Joacuimsthal admettant des lignes de courbure planes dont les plans passent par une droite, 94.
Surfaces de même représentation sphérique que les surfaces minima,
Surface de quatrième classe admettant pour ligne double le cercle de l'infini et dont on détermine les lignes de courbure, 480.
Surfaces de révolution, 73. Théorème de Bour, 74. Applicables les unes sur les autres, 76. Sur la sphère, 77. A courbure constante négative, 66.
Pour lesquelles les géodésiques sont toujours fermées, 582.
Surface des centres de courbure.
Propriétés générales, 752 et suiv.
Surface des ondes de Fresnel. Lignes de courbure et lignes asymptotiques.
Note VIII.
Surfaces de translation, 81-84, 218.
Surfaces développables, 69. Elles sont applicables sur le plan, 70, 71. Réciproque démontrée par O. Bonnet, 72.
Surfaces dont les lignes de courbure sont des cercles géodésiques, 638.
Surfaces dont les normales rencontrent UNE COUBBE, 443.
Surfaces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une surface du second degré, 456, 457,
Surfaces du second decrk. Représentations conformes sur le plan, 121, 122. Lignes de courbure, 1080. Voir au mot Géodésiques.
Surfaces engendrées par des cercles.
Propriété nouvelle de ces surfaces, Note IX.
Surfaces engendrées par une courbe invariable, 79.
Surface focale d'une congruence, 314,
Surfaces gauches applicables l'une sur l'autre, de telle manière que les génératrices correspondantes soient parallèles, 730.
Surfaces gauches applicables sur des surfaces gauches sans que les génératrices rectilignes coïncident, G94- 696, 724.
Surfaces hélicoïdes qui sont des surfaces minima, 200
Subfaces homofocales du second degré,
459. Polygones inscrits et circonscrits à deux surfaces du second degré, 465, 466. Rayons lumineux se réfléchissant sur diverses surfaces liomofocales, 465.
Surfaces isothermiques ou à lignes de courbure isothermes, 429 et suiv. Surfaces isothermiques dérivées d'une surface isothermique donnée, 434.
Équation aux dérivées partielles des surfaces isothermiques, 435, 436.
Emploi des coordonnées pentasphériques, 437.
TABI-E ANALYTIQUE DES MATIERES
SiRFACES ISOTHERMIQLES à lignes de courbure planes. Développement complet de la solution, 1008 et suiv.
Surface (M), telles que deux familles de lignes conjuguées admettent pour tangentes des droites qui soient en même temps tangentes à une surface du second degré. Leur détermination se ramène à l'intégration de l'équation aux dérivées partielles, qui se rencontre dans la théorie des surfaces à courbure constante, 830-834, 835, 844, 845, 851.
Surfaces m.MMA, formules de Monge et leur interprétation par M. Lie, 218. Courbes minima, 219, 220.
Surfaces mi.nima. Formules de M. Schwarz faisant connaître la surface minima passant par une courbe et admettant, en chaque point de celte courbe, un plan tangent donné, 245-248.
Surfaces uinima. Propriété de minimum relative à une intégrale triple, 552.
Surfaces minima algébriques inscrites dans une développable algébrique, 252-254. Solution géométrique du même problème, 255. Théorème de M, Henneberg relatif aux cylindres circonscrits à une surface minima algébrique, 253.
Surfaces minima algébriques inscrites dans un cvlindre, 253; dans un cône,
Surfaces minima a lignes de courbure PLANKS. Surfaces de Bonnet. 208. Surface d'Enneper, 207.
Surfaces minima applicables sur une surface minima donnée, 216.
Surfaces minima applicables sur des surfaces de révolution, 217.
SuRF.\CEs MINIMA assujettics à des conditions aux limites. Problème de Gergonne, 302. Surface passant par deux polynômes situés dans des plans parallèles, 303; par trois droites situées d'une manière quelconque dans l'espace, 308, 309.
Surfaces minima doubles, 224-230.
Surface minima de M. Henneberg, 226, 232, 237.
Surfaces minima en coordonnées ponctuelles, 184 et suiv. Formation de I équation aux dérivées partielles, 185. Son intégration, 186. Formules de Monge et de Legendre, 187. Formules de Weierstrass et Enneper,
Surfaces minima en coordonnées tangentiklles, 193 et suiv. Itégration de l'équation aux dérivées partielles des surfaces minima, 194. Kquation en termes finis donnée par M. Weierstrass, 195. Modification de l'équation tangentielle. quand on déplace la surface, 198, 199.
SuRF.ACE MINIMA engendrée par une droite. Théorème de Catalan, 11,
Surfaces minima (Famille de) correspondant à une même équation différentielle du second ordre, 283.
Lignes asymplotiques hélicoïdales 295. Surfacesminima correspondantes à la série hypergéométrique, 296.
Surfaces minimb. Génération de Ribaurour qui les rattache aux congruences isotropes, 260.
Surface minima. Historique, 175 et suiv.
Surfaces mixima passant par une droite 249; admettant une ligne de courbure ou une ligne géodésique plane, 251.
Surfaces minima. Problème de Plateau. Détermination de la surface minima continue passant par un contour fermé. 261 et suiv. Indications historiques, 261-265. Surface minima limitée par deux droites, 267; par deux droites qui se coupent et par un plan, 268; par trois droites, dont l'une rencontre les deux autres. 269; par les côtés d'un quadrilatère gauche, 270-272; par une ciiaîne composée de droites et de plans, 273 et suiv.
Surfaces minima réelles, 191, 222 et suiv.; algébriques, 190, 221, 233 et suiv.
Surfaces moulures, 85-87. Surfacesmoulures applicables les une sur les autres, 87.
Surface-moyenne d'une congruence, 863. Congruences dont les dévelop-
TABLE ANALYTIQUE DES MATIKRES
pables interceptent sur la surface moyenne, un réseau conjugué, 892.
912. Congruences dont la surface moyenne est un plan, 910, 911.
Surface n'ayant qu'on côté, 231, 232.
Surface polaire d'une courbe gauche,
Surfaces pour lesquelles les lignes de courbure de l'une des familles sont dans des plans parallèles, 715.
Surface pseudosphérique. Sa représentation sur le plan, 782-784. Transformations qui conservent l'élément linéaire, 784-785, 791-793. Images des géodésiques de la surface, 786.
Surface qui se déforme en entraînant des droites ou des sphères, 758. Théorèmes de M. Beltrami, 758, 759. Surface qui se forme en entraînant des courbes situées dans ses plans tangents, 760. Cas particulier où ce^; courbes sont des cercles, 761.
Surfaces réglées, 67-72. Surfaces réglées applicables sur des surfaces de révolution, 691-693. Surfaces réglées pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonctions l'un de l'autre, 740.
Surfaces spirales de MM. Lie et Maurice Lévy, 89-90, 621. Surfaces spirales qui sont des surfaces minima,
Surfaces sur lesquelles les dévelop-
PABLES d'une CONGRUENCE RECTILICNE
interceptent un réseau conjugué,
Surfaces W. Ce sont celles pour lesquelles les rayons de couxbure principaux sont fontions l'un de l'autre, 742. Premier théorème de M. Weingarten, 742. Second théorème du même auteur, 747-749. Démonstration intuitive, 750. Cas particuliers, 751.
Subfaces W. Théorème d'Halphen reliant les deux nappes de la développée, 763. Autre propriété des surfaces W établie récemment par M. Weingarten 764. Troisième propriété caractéristique due à Ribaucour, 765. Correspondance entre des lignes de ces surfaces et des lignes
tracées sur leurs développées, 766.
Systèmes conjugués. Théorème fondamental, 84, 98, 99. Système conjugué déterminé sur toute surface :
théorème de M. G. Kœnigs, 91 ; propriétés relatives à une transformation homographique ou corrélative, 95-97. Les deux systèmes conjugués qui correspondent à une enveloppe de sphères sur la surface décrite par les centres de ces sphères, 475.
Systèmes conjugués formés par deux familles de courbes planes, 100-101.
Systèmes cycliques de Ribaucour, 477, 478, 481, 482. Systèmes cycliques rattachés à la déformation des surfaces, 761-762 ; qui se rencontrentdans l'étude des surfaces à courbure constante, 806-807. Propriétés géométriques, 936-940, 945, 948, 951-953, 961-962, 969-970.
Systèmes de coordonnées curvilignes A lignes conjuguées, 1047-1052.
Systèmes de coordonnées formés avec une famille de géodésiques, 518, 519, 520. Lignes géodésiques normales à une courbe, 522; passant par un point, 519, 520, 523.
Sy.stèmes d'équations du i'remikr ordre
.àq
dq
Ils conduisent à une équation à invariants égaux, 391.
Systèmes d'équations linéaires du premier ordre possédant une intégrale du second degré, 13, 40-43.
Système isotherme formé d'ellipses et d'hyperboles géodésiques. Théorème de M. Dini, 587.
Systèmes orthogonaux admettant une famille de lignes de courbure planes , 762, 971-973.
Systèmes orthogonaux et isothermes, tracés sur une surface quelconque, 115-127. Systèmes isothermes plans, 124. Systèmes particuliers, 125-127.
Système plan isotherme comprenant une famille de cei'cles, 127.
Systèmes orthogonaux formés avec une
TABLE ANALYTIQUE DES MATIERE
famille de trajectoires dans an mouvement plan, 541-543. 548.
Systèmes triples orthogonaux. Propriétés générales. 147-149. Systèmes orthogonaux en coordonnées pentasphériques. 154.
Systèmes triplbs orthogo.nalx admettant même représentation sphérique qu'un système donné. 10-53. Théorème de Combescure. 1054. Application, 1056. Systèmes en nombre illimité dérivés d'un système donné, lOôT-
SYSTÈMES TRIPLES ORTHOGOXALX BT ISO- THERMES. Démonstration de M. Bonnet, 513.
Systèmes triples orthocoxaix pour lesquels toutes les lignes de courbure sont planes, 1056, 1059; pour lesquels une seule famille de lignes de courbure est composée de courbes planes, 1060; ou sphériques, 1061-1065.
Systèmes triples orthogonaux se rattachant AUX fonctions hypebbllip- TiouES, 469.
Tableaux DE formules relatifs aux divers systèmes de coordonnées curvilignes.
504; à la développée d'une surface et à ses deux nappes, 754.
Tableaux relatifs à la déformation infiniment petite et aux douze surfaces, 897. 905.
Tangentes conjuguées. Généralisation du théorème de Dupin, 851.
Théorème de GAUSsrelatif aux triangles géodésiques infiniment petits, 660,661.
Théorème de Green sur une surface.
639. Équation où figurent la courbure totale de la surface et la courbure géodésique, 640-646.
Théorème de Joachimsthal relatif aux lignes de courbure communes à deux surfaces, 509.
Théorème de M. Tissot relatif à la correspondance entre deux surfaces.
Torsion d'une ligne astmptotique. 512 et Note IV.
Torsion. Courbes à torsion constante, 36, 39. Signe de la torsion, Note IV.
Recherches récentes sur les courbes à torsion constante, même Note.
Torsion géodésique, 507, 50?).
Tracé géographique de deux surfaces l'une sur l'autre, 119-122. Théorème relatif au tracé pour lequel les méridiens et les parallèles d'une surface de révolution sont représentés par des arcs de cercle. 127.
Tracés géographiques d'une • surface minima, 204, 209.
Tracés géographiques d'une surface qui se présentent dans la théorie des mouvements plans. On peut toujours faire correspondre aux trajectoires pour lesquelles la constante des forces vives a une valeur déterminée les lignes géodésiques d'une certaine surface, 547, 548.
Trajectoires orthogonales dune famille de cercles dans le plan, 93-
Trajectoires orthogonales d'une famille de géodésiques, 523.
Trajectoires orthogon.^les d'une famille de surfaces, 438.
Transformations de contact conservant les lignes de courbure. Transformation par directions réciproques de Laguerre, 170. Transformation de O.
Bonnet, 171. Enveloppe des sphères coupant une sphère fixe sous un angle constant, 172.
Transformation apsidale. Notes VII et
Transformation de contact. Généralités sur certaines transformations, 976-977.
Transformation de M. Lie qui fait correspondre uue sphère à une droite.
157, 168, 978 et suiv.
Transformation des équations linéaires AUX DÉRIVÉKS PARTIELLES Recherche de la fonction la plus
TABLE ANALYTIQUE DES MATIERES
générale satisfaisant à une équation du second ordre et définie par la quadrature / {Fdx-+- Qû?y), où P et Q
dépendent linéairement de l'intégrale générale d'une équation donnée du second ordre et de ses dérivées, 402.
Application au cas où P et Q contiennent seulement les dérivées du premier ordre, 402.
Transformations des surfaces a courbure CONSTANTE, 802 et suiv. Méthode de M. Blanchi, 80^, 804. Propositions antérieures de JRibaucour, 804. Traduction analytique, 805-808. Transformation de M. Bucklund 809-811.
Développement sur les applications répétées de la transformation de M. Bianchi, 822-829.
Transformations générales des équations aux dérivées partielles considérées par M. Bàcklund, 811, Application au cas particulier où deux surfaces doivent se correspondre de telle manière que la figure formée par les deux points correspondants et les deux plans tangents en ces points soit invariable de forme, 812.
Triangles géodésiquks. Théorème de Gauss, 641. Extension de ce théorème, 647.
Vitesse. Son expression dans les déplacements à un paramètre variable, 3.
T\BLB OES NOMS d'autEURS.
