CHAPITRE Mil

Nouvelles classes de sur/aces applicables 3oS

Ce Chapitre est consacré à l'exposition des résultats nouveaux que l'on doit à M, Weingarten dans la rechei-che des surfaces applicables sur nne surface donnée. — La méthode de M. Weingarten exige que l'on connaisse déjà au moins une surface réelle ou imaginaire admettant l'élément linéaire donné. — Elle fait dépendre la détermination de toutes les surfaces (6) admettant cet élément linéaire de celle d'autres surfaces (ÏI 1. satisfaisant à une certaine équation aux dérivées partielles, qui établit une relation entre les rayons de courbure prin-

l'ages.

cipaux, les distances d'un point fixe au plan tangent et au point de contact. — Cas particulier où les caractéristiques de cette équation aux dérivées paitielies sont les lignes de longueur nulle de la représentation spliérique de (il). — L'élément linéaire est alors défini par la formule simple

ds-= du--h 2[u-\- '\i'ii>)]di>'', et l'équation à intégrer prend la forme simple

ÔÔTâp (l-r- OL^y'

Indication des différentes formes de 'Ylv) pour lesquelles l'intégration est possible. — Démonstration de différents résultats dus à MM. Weingarten, Baroni, Goursat. — Les cas les plus intéressants font connaître toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde du second degré dont une génératrice recliligne est tangente au cercle de l'infini. — Réduction de l'élément linéaire de ces surfaces à la forme de Liouvillc ([ui permet l'intégration des lignes géodésiques.

CnÂPITRK XIV.

Dernières recherches 338

Nouveau développement donné par M Weingarten aux recherches précédentes. — Problème proposé. — Étant donné un élément linéaire, pour résoudre le problème de la déformation, on mène par chaque point de la surface cherchée (0) une tangente faisant un angle déterminé, mais d'ailleurs variable, avec les courbes coordonnées; puis on prend comme variables indépendantes deux paramètres quelconques propres à définir la direction de celte droite dans l'espace. — Formation des équations aux dérivées partielles auxquelles satisfont les coordonnées curvilignes u et v considérées comme fonctions de ces paramètres. — A ce propos, l'on rappelle et l'on c<tmplète quelques propriétés de la ligne de striction des surfaces réglées. — Etant donnée une congruence rectiligne, assembler les droites en surfaces réglées dont les lignes de striction soient sur une des nappes focales de la congruence. — Les propriétés géométriques établies permettent de simplifier les équations qui déterminent a et i> et de les réduire à une seule équation aux dérivées partielles du second ordre. — Renvoi au Mémoire de M. Weingarten couronné ])ar l'Académie des Sciences.