CH.4PITRE I

Énoncé précis du problème à résoudre. — Comment on pourrait entreprendre son étude par la méthode des séries. — Le problème de la déformation infiniment petite consiste dans la détermination des premiers termes de ces séries. — Ce que l'on appelle la directrice et le module de la déformation infiniment petite.

— Couples de surfaces applicables l'une sur l'autre. — Rapports de la question proposée avec le problème dit des éléments rectangulaires. — Indication des travaux publiés sur ces questions. — Première solution du problème : on est ramené à l'intégration d'une équation linéaire du second ordre. — Interprétation géométrique. — Application au paraboloïde. — Raisonnement a priori montrant que la solution du problème peut être obtenue pour toute surface du second degré. — Développement de la solution pour le cas de la sphère. — Démonstration géométrique : la surface (S,) qui correspond à une sphère par orthogonalité des éléments est la surface moyenne d'une congruence isotrope.

— Équations qui déterminent cette surface moyenne. — Retour au cas général; les caractéristiques de l'équation linéaire dont dépend la solution sont les lignes asymptoliques de la surface proposée.

852. II ressort avec évidence des développements contenus dans les chapitres précédents que. jusqu'ici, le problème de la déformation des surfaces n'a pu être résolu d'une manière complète que dans un petit nombre de cas. Pour faire connaître tout ce qu'il j a d'essentiel dans les travaux des géomètres sur ce beau et difficile sujet, il nous reste à exposer toute une série de

DARBOUX. — IV. l

recherches relatives à la déformation infiniment petite, recherches qui conduisent, soit dans la théorie des surfaces, soit dans celle des congruences, à des propositions du plus haut intérêt. Formulons d'abord d'une manière précise l'énoncé du problème qui va nous occuper dans ce chapitre et dans les suivants.

Imaginons que l'on détache de l'ensemble des surfaces qui résultent de la déformation d'une surface donnée (S) une famille de surfaces dont (S) fera partie, c'est-à-dire une suite continue de surfaces, représentée en coordonnées rectangulaires par une équation de celle forme

cp(X, Y, Z, 0 = 0,

où t désigne un paramètre variable et telle que la surface proposée corresponde, par exemple, à la valeur zéro de ce paramètre. Si x^ y, z désignent les coordonnées d'un point quelconque de (S) et si X, Y, Z sont les coordonnées du point correspondant de la surface de paramètre t, on devra avoir

( I ) dX.- -H d\- -h dL'^— dx^ h- dy'^ -\- dz-.

On peut d'ailleurs supposer que X, Y, Z, fonctions de la variable t en même temps que de x^ y, z^ soient développables suivant les puissances de t. Et comme X, Y, Z doivent se réduire respectivement k x, y, z pour ^ = o, on devra avoir

ix = ,r -+- ^ a-i -H r- ^^2 -t- . . . , Y = j -1- t-}\-^r-y^^. . ., z z^ z -i- tzi -hr-z».-h. ..,

Xij yi, Zi', Xo, y^: z^, ... désignant des fonctions indépendantes de t, mais dépendantes des deux paramètres, quels qu'ils soient, que l'on a choisis pour fixer la position du point (x, y, z) sur la surface (S). Substituons les valeurs de X, Y, Z dans l'équation (i) et égalons à zéro les coefficients des différentes puissances de t. Nous obtenons ainsi les relations

dx dxi -H dy dfi -+- dz dz-x = o,

dx dx-i -t- dy dy-i H- dz dz^ -h - ( dx\ ■+- dy\ -^ dz\) = o^

I dx dx^, -t- dy dy^ -h dz dz^, -H dx^ dxi -h dy\ dy^ -i- dz^ dz^ = o,

\ dx dxn -I- dy dy,, -H dz dz„ -+- dx\ dxn^i -t- o^Ki dyn-\ + dz\ dzn-\-^...= o

DÉFORMATION INFINIMENT PETITE. PREMIÈRE SOLUTION. 'i

qui permetlront de déterminer de proche en proche les fonctions inconnues ar,, ^',, Zi. Si, par exemple, on pouvait intégrer de la manière la plus générale le système ( 3 > en obtenant pour les valeurs de X, \ , Z des séries convergentes, il est clair que ion aurait résolu d'une manière complète par la méthode des séries le problème de la déformation finie de la surface (S).

Envisagé de cette manière, le problème exige en premier lieu la détermination des fonctions Xi, ri, ^t qui satisfont à la première des équations (3)

(4 I (Le djci-i- dv (l\ i-i- dz dz-i = o.

C'est l'intégration complète de cette équation auxdiflférentielles totales qui donne la solution de ce que nous appellerons dans la suite le problème de la déformation infiniment petite de la sur/ace (S).

Supposons que l'on ait trouvé des fonctions Xt^yt, c, vérifiant les trois équations aux dérivées partielles qui sont comprises dans l'équation i 4 ' et considérons la surface (S) définie par les équations

(5) \' = r -i- (xi, Y'c^i -;-/),. Z'=;-l-/^,.

On aura, en tenant compte de l'équation ( 4\

d\'^-i- rfY 2-H dZ^-= dx^-^ dy--^- dz^-r- /^(rf>f -i- rfrf -f- rfcf ),

de sorte que, si le paramètre t est infiniment petit, la surface (S') correspond point par pointa (S), de telle manière que les longueurs de deux courbes correspondantes ditlèrent seulement de quantités infiniment petites du second ordre par rapport à t. Si 1 on veut donner une forme entièrement géométrique à cet énoncé, on peut dire que la surface (S') est infiniment voisine de (S) et que la différence des longueurs de deux courbes correspondantes tracées sur les deux surfaces est du second ordre par rapport à la distance qui sépare deux points correspondants quelconques sur (^S) et sur {S'),

En comparant les formules (5) aux formules (2), on peut encore admettre que, x,, y,, z^ une fois connus, on pourra toujours, et d'une infinité de manières, déterminer les fonctions x^, y^. z,; X3, . . . qui entrent dans les puissances supérieures de t; de telle

4 LIVRE VIll. — CHAPITRE I.

sorte (jue la surface (S') sera infiniment voisine du second ordre d'une infinité de surfaces efTeclivement applicables sur (S). D'une manière plus précise, si M' est le point de (S') qui correspond à un point M de (S), la difïérence géométrique entre le vecteur MM' dont les projections sont

et le vecteur MM" qui réunirait le point M au point correspondant M" d'une surface rigoureusement applicable sur (S) et convenablement choisie, sera une grandeur géométrique infiniment petite du second ordre par rapport au segment MM", au moins dans toute l'étendue d'un segment fini de la surface (S) ( ' ).

Si, par les dillérents points de (S), nous menons les vecteurs MM', ces vecteurs indéfiniment prolongés engendreront une congruence do droites que nous appellerons les directrices de la déformation infiniment petite. Quant à la grandeur MM', nous l'appellerons le module de la déformation. Il est clair qu'une déformation est déterminée si l'on connaît, pour chaque point de (S). la directrice et le module de la déformation. Gomme l'équation (4) ne change pas de forme lorsqu'on y multiplie Xt, y^^ Zi par une constante, nous pourrons supprimer le facteur t et considérer le module comme une quantité finie

Jîl = ^/.rj-H rï-l- -ï'

en nous souvenant que, si l'on veut obtenir une surface (S') résultant de la déformation infiniment petite de (S), il faudra porter, à partir de chaque point, sur la directrice de la déformation une longueur e.TII, £ désignant une constante infiniment petite quelconque. On voit que le module peut toujours être multiplié par une constante.

853, Si l'on imagine les coordonnées x, y, z exprimées en

(') Il est bon de remarquer que cette proposition ne caractérise pas la surface (S') dans le cas on la surface (S) est plane. Toute snrface infiniment voisine d'un plan satisfait ici à la définition de la surface (S') sans qu'on puisse dire qu'elle résulte de la déformation infiniment petite du plan. Le lecteur se rendra compte aisément do la raison de cette exception.

fonction de deux variables u et ^', l'équalion aux difT^renlielles totales (4) se décomposera dans les trois suivantes :

àx àx^ ày à\\ as àzi

au

au àu

àu

àu

àx

àx^ 'àil

àx àxi àu àv

àv

àyi àu

^ ày àyx àu àv

àz

àst àu

as

as,

àx àXy

àv àv

^ ày àyt àv àv

àx àst àv àv

Quant aux autres équations comprises dans le système (3), si Ton cherche à les intégrer successivement, elles se Mmèneni toutes au type suivant :

()x dxi àj' àyi àz àzi

àu àu àu àu àu àu " " àx àxt àx àxi

à^ Tû"*' TTi 1^ '^ " ~ ^'

àx àxf -,

qui ne difVére du précédent que par les termes du second membre A», Bj, Cf , ces termes étant chaque fois des fonctions connues de « et de V. Or, il résulte d'une proposition de Cauchy que Von sait toujours intégrer par des quadratures un système quelconque d'équations linéaires aux dérivées partielles avec second membre toutes les fois que Von sait intégrer d'une manière générale le même système où les seconds membres ont été supprimés. En utilisant ce résultat dans la question qui nous occupe, on peut donc énoncer la proposition suivante :

Quand on saura trouver de la manière la plus générale les termes fjc,, ty^, tz-t des séries (a), on pourra, par de simples quadratures, déterminer successivement tous les autres.

En d'autres termes, quand on saura résoudre d'une manière complète le problème de la déformation infiniment petite, tel ^ que nous l'avons énoncé, on pourra, par de simples quadratures, résoudre, le même problème avec une approximation, non plus seulement du second ordre, mais de tel ordre que l'on voudra.