Ces remarques générales une fois présentées, revenons à

l'équation (4) et, pour l'interpréter géométriquement, considérons la surface (S, ) lieu du point dont les coordonnées sont Xt , j'f , Zf . Cette surface correspond point par pointa (S) et l'équation (4) exprime évidemment que les éléments linéaires correspondants des deux surfaces sont toujours perpendiculaires. Ainsi le problème de la déformation infiniment petite de (S) équivaut à la détermination des surfaces (Si) qui correspondent point par point à (S) de telle manière que les éléments linéaires correspondants définis respectivement par les projections dx, dy, dz Qidx\. dyt, dz\ soient orthogonaux. Nous avons déjà rencontré [I, p. 324, 325] ce mode de correspondance, étudié en premier lieu par M. Moutard (') et M. Ribaucour (2). Voici comment ces deux géomètres avaient été conduits à se poser ce problème dit des éléments rectangulaires .

Considérons deux surfaces (D), (2<), applicables l'une sur l'autre. Si nous désignons par X, Y, Z; X, , Y^ , 7^^ les coordonnées rectangulaires de deux points correspondants sur ces surfaces, on aura

«?X2 -h «fY2 -f- d/j'- = d\ \ -+- d\\ -^dZ\, ce que l'on peut écrire

diU — Xi) ^(X H- X, ) -H «?(Y — Yi) ^(Y -f- Yi) -4- rf(Z — Zi) d{7. -h Z,) = o.

Si donc on pose

X = a,- -I- a^i, Xi = .T — Xi •> .r = X -1- X 1 . ■}. .r, r= X — X, .

Y=.r-f-.>-i, Yi = y— ri ou ai^Y-i-V,. o.ri^Y — Yi,

1-- — z -^ z-i, Zi = s — ;:i ■> G = Z -(- Z I . ?. ;i = Z — Zi ,

il viendra

dx dxi ■+- dy dy\ -\- dz dzy = o.

Ainsi, lorsque deux surfaces (2), [lu) sont applicables l'une

(') Voir Moutard, Sur la déformation des surfaces {Bulletin de la Société Philomathique, année 1869, p. 45, séance du 12 juin), ainsi que le Mémoire et la Note insérés aux Comptes rendus, t. LXX, p. 834 et déjà signalés [II, p. 53].

(') Les premières recherches de M. Ribaucour, dont la Science déplore la mort récente et prématurée, remontent à peu près à la même époque et sont contenues dans la Note Sur la théorie de V application des surfaces l'une sur Vautre insérée au Bulletin de la Soriété Philomathique, année 1869, p. 3-].

sur l'autre, fa sur/ace (S), lieu du milieu des segments MM, dont les extrémités sont des points correspondants sur les deux surfaces, et la surface (S,) obtenue en menant par un point fixe quelconque de Vespace des droites parallèles et proportionnelles aux segments MM, se correspondront point par point avec orthogonalité des éléments linéaires. El, réciproquement. si deux surfaces (S), (S,) se correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires^ et que Von mène, par chaque point de {S), deux droites^ égales et de sens contraires, parallèles et proDortionnelles au rayon vecteur qui joint un point fixe de l'espace au point correspondant de (S|), les extrémités de ces deux vecteurs décrivent deux surfaces (2), (2i), applicables Vune sur Vautre.

Ainsi il revient au même de chercher un couple de surfaces applicables l'une sur l'autre, ou un couple de surfaces se correspondant avec orthogonalité des éléments linéaires. Mais il importe de remarquer que. si Ion sait résoudre le problème des éléments rectangulaires pour une surface ( S'i, cest-à-dire trouver toutes les surfaces qui lui correspondent avec orthogonalité des éléments linéaires, on ne saura pas pour cela déterminer toutes les surfaces applicables sur (S). On pourra seulement connaître des couples de surfaces applicables l'une sur l'autre et contenant des constantes ou des fonctions arbitraires.

855. C'est dans une Communication présentée par l'auteur à la Société mathématique de France, le i - décembre 1 878 ( ' 1, qu'a été établi pour la première fois le lien entre le problème des éléments rectangulaires et celui de la déformation infiniment petite que nous avons signalé plus haut. Si l'on emploie les définitions que nous avons adoptées, la proposition qui a servi de point de départ aux recherches de M. Moutard prend la forme suivante :

Lorsqu'on connaît une déformation infiniment petite de (S), SI l'on porte à partir de chaque point de (S'> sur les droites

(') Cette Commanication est restée inédite. Voir une Note Sur les équations aux dérivées partielles insérée aux Comptes rendus, t. XCVI, p. 766: mars i883.

directrices de la déformation deux longueurs égales et de sens contraires^ proportionnelles au module de la déformation, on obtient un couple de surfaces applicables l'une sur Vautre.

El, réciproquement :

Si deux surfaces (i), ÇL\)sont applicables l'une sur l'autre, la droite MM, qui joint deux points correspondants de ces surfaces est à la fois la directrice et le module d'une déformation infiniment petite pour la surface (S) lieu du milieu de MM^.

Depuis ces premières recherches , MM. Lecornu ( ' ) et Beltrami (-), dans deux Mémoires importants, publiés en 1880 et 1882, se sont préoccupés de l'étude détaillée des forces que met enjeu la déformation infiniment petite d'une surface donnée, M. Weingarten a repris la question en se plaçant au point de vue de la Géométrie ( '). D'importants résultats relatifs au problème des éléments rectangulaires se trouvent aussi dans différents Mémoires de Ribaucour, de MM. Bianchi, Cosserat, Guichard, etc., et seront exposés plus loin.

L'auteur va développer ici les méthodes directes qu'il a suivies dès 1882, dans son enseignement de la Faculté.

856. En voici une que nous allons indiquer rapidement. Soit à résoudre l'équation

(6) dx dxi-^ dv dvi-h dz dzi — o.

On démontrera facilement que l'on peut toujours trouver trois fonctions a, b. c telles que l'on ait identiquement

!dxi = c dy — b dz, dj'i = a dz — c dœ, dz\ = h dx — a dy.

(') L. hmoB^m'i, Sur L'équilibre des surfaces flexibles et inextensibles {Journ. de l'École Polytechnique, XLVIII* Cahier, p. 1-109; 1880).

(') E. Beltrami, SuW equilibrio délie superficie flessibili ed inestendibili {Memorie délie Scienze delV Tstituto di Bolognay?,&Y\ç. IV, tomo III, Gennaio 1882).

(^) J. Weingarten, Ueber die Deformationen einer biegsamen unausdehnbaren Flàche {Journal de Crelle, t. C, p. 296; 1886).

au moins tant que la surface (S) lieu du point (x, r. z^ ne se

réduit pas à une courbe ou à un point (^ ' ).

En effet, introduisons six fonctions a, b, c: a', b', c telles que

l'on ait C

djTi = à,dy — b' dz,

d}\ ^ adz — c' dx,

dzi ^ b dx — ad}.

Si l'on porte ces valeurs dx^, dyt, dz-t dans l'équation (6). il vient

(a — a') dydz -(- (6 — b' ) dxdz -t- ( c — c )dxdy = o.

Comme il ne peut exister aucune relation de cette forme en dx., dy, dz. on doit donc avoir

a = If'. b = b'. c =^ c'.

ce qui donne les formules ( 71.

De là résulte une première solution du problème des éléments rectangulaires.

En effet, si l'on prend pour a, b, c des constantes, on peut intégrer les équations (~) et Ton a. a, 5. y désignant de nouvelles

constantes,

OTi =; a -(- c ) — b z.

\ i = 3-4- a; — ex.

Zi =z '■ ^^ bx — a w

On reconnaît ici les expressions des composantes de la vitesse d'un point quelconque dans le mouvement d'un solide invariable. Ainsi cette solution pour laquelle la surface (Si) lieu du point (\a7i, yi, ^1) serait un plan correspond, non à une déformation, mais à un déplacement infiniment petit de (S); en elTet, deux surfaces égales sont évidemment applicables l'une sur l'autre.

(') Si (S) se réduit à une courbe (C). on verra facilement que la surl'ace (S), lieu du point (x^, yi, z^) ne peut être qu'une développable (A) dont les pians tangents seront perpendiculaires aux tangentes de (C). Alors, à chaque point M(x, y, z) de (C) correspondent tous les points M,(x,, ^1, •=,) de (A) situés sur la génératrice de contact de celui des plans tangents de A qui est perpendiculaire à la tangente en M à la courbe (C).

Si (S) se réduit à un point, la surface (Sj) est entièrement indéterminée.

lO LIVRE VIII. — CHAPITRE I.

857. Laissant de côté ce cas exceptionnel, revenons aux formules (7) et exprimons les conditions d'intégrabililé. Si nous supposons Zt exprimée en fonction de a? et de jk et si nous désignons par jDi, Çi ses dérivées premières, on aura d'abord

(8) b=pi, a = —qi.

Si l'on remplace dz par p dx + q dy, les expressions de diCi , dyi prennent les formes suivantes

i da:t= (c — qpi)dy —ppidœ,

/ dyi = — -gqidy — (c -+- pqi)dx, de sorte que les conditions d'intégrabilité nous donnent

d{c — qp,) àjppi) à(qqi) à(c-hpqi)

^'""^ à^ ~dj^ ' àx ày

Éliminant c par de nouvelles dérivations, on trouve

à-(ppi) à^(qqt) à-

àv- àx- axoy

ou, en développant et désignant par r^,s^^ t^ les dérivées secondes

de ^1,

(11) rt'^-^ti\ — 2ssi = o.

L'intégration de cette équation linéaire fera connaître z^ ; puis les équations (10), qui donnent les deux dérivées de c, et les équations (9) permettront de déterminer c, x^^ y^ par des quadratures de différentielles totales à deux variables.

808. La principale difficulté est donc l'intégration de l'équation (11). Donnons d'abord l'interprétation géométrique de cette équation.

Si l'on adjoint à la surface (S) la surface auxiliaire (So) lieu du point (a?, y, Zi), les points correspondants des deux surfaces sont toujours sur une même verticale et l'équation (11) exprime que les lignes asymptotiques de Vune des surfaces^ projetées verticalement sur Vautre, y découpent un système conjugué.

En effet, les lignes asymptotiques des deux surface (S) et (So)

sont respectivement détinies par les équations différenlielles

rdx- -If 15 dx dy ■+- 1 dy- = o.

Ti dx- -H isxdxdy -h /i dy- = o,

qui feront connaître les projections de ces lignes sur le plan des arv; et l'équation (ii) exprime qu'en chaque point de ce plan les directions relatives à 1 une des surfaces divisent harmoniquement l'angle formé par les deux directions relatives à l'autre surface.

Etant donnés une surface quelconque ( \.'\ et un point O. proposons-nous de trouver une surface (Ao ^ telle que la perspective de ses lignes asymptotiques sur (A), obtenue en prenant le point O pour point de vue. dessine sur (Ai un système conjugué. Il suffira de faire une transformation homographique qui rejette le point O à l'infini, et l'on sera ramené au problème précédent. Par exemple, si l'on veut déterminer toutes les surfaces pour lesquelles les lignes asymptotiques vues d'un point O paraissent se couper à angle droit, il suffira d effectuer une transformation homographique rejetant le point O à l'infini et de déterminer les transformations infiniment petites de la surface du second degré qui correspond, après cette transformation, à une sphère de centre O.

8o9. Appliquons les méthodes précédentes au paraboloïde

défini par l'équation

z ;= xy.

L'équation (i i) nous donnera ici

Pour la commodité des calculs prenons l'intégrale sous la forme

X désignant une fonction de J" et ^ une fonction y. Les inconnues 0, Xi, Vf se détermineront sans difficulté et l'on aura, en choisissant convenablement X, Y et adoptant les notations les

plus simples

c^xX'—\' —y Y' -h Y',

La surface ainsi obtenue, qui dépend de deux fonctions arbitraires, a ses lignes asymptotiques déterminées par l'équatiou différentielle

où les variables sont séparées.

860. Nous ferons connaître plus loin des propositions générales d'après lesquelles le résultat précédent peut être étendu à toute surface du second degré. Mais, dès à présent, il est bon de remarquer a priori que le problème de la déformation infiniment petite peut être résolu pour toute surface du second degré. Nous avons vu, en effet, que toute surface réglée admet une série de déformations finies dans lesquelles ses génératrices demeurent rectilignes. A ces déformations finies correspondent évidemment des déformations infiniment petites qui dépendent d'une fonction arbitraire à une variable. Or, comme une surface du second degré est doublement réglée, l'application de la remarque précédente nous en fera connaître des déformations infiniment petites, qui se distribueront en deux séries bien distinctes, se rattachant respectivement aux deux systèmes de génératrices. Et comme les équations du problème de la déformation infiniment petite sont linéaires, il suffira de superposer ces deux séries particulières de déformations infiniment petites pour obtenir la solution la plus générale du problème proposé.

En terminant ce chapitre nous indiquerons rapidement comment l'étude et la solution du problème de la déformation infiniment petite de la sphère peuvent être rattachées à la théorie des surfaces minima.