MP^=.FP.FT

En d'autres termes, les foyers F, F' divisent harmoniquemenl le segment formé par le point M et son symétrique relativement au plan de contact.

Le lecteur pourra vérifier celte relation en étudiant directement la congruence rectihgne formée par l'axe du cercle (C); il reconnaîtra également ce fait important que l'angle 'j sous lequel le plan de contact est coupé par une des sphères demeure le même pour chaque position de (0) et de (B^) lorsqu'on substitue au point M tout autre point M, invariablement lié, lui aussi, à (8). Nous préférons établir ce dernier résultat par la méthode suivante.

940. Soient M, M| deux points du système mobile invariablement liés à (6). Les perpendiculaires abaissées de ces points sur le plan de contact de (0) et de (0i) engendrent deux congruences distinctes dont les développables se correspondent, puisqu'elles correspondent au même système conjugué de (0). Envisageons dune manière générale les congruences engendrées par deux droites parallèles et pour lesquelles les développables se correspondent. Voici les propriétés générales que nous avons déjà signalées à leur égard (n" 920) et que nous compléterons en les dt'uiontranl de nouveau par une voie directe ('V

(') Ribaucour y avait été conduit de son côté et les a énoncée* dans une Note Sur les systèmes cycliques insérée le 17 août 1S91 au Tome CXIII des Comptes rendus de l'Académie des Sciences (p. 004 et 324).

941. Soient {d) cl {d') {fig. 85) les deux droites parallèles; F, Fi les points focaux de la première; F', F'^ les points focaux correspondants de la seconde. Quand les droites varient, ces points focaux décrivent les nappes focales des deux congruences, nappes que nous désignerons respectivement par les lettres (F), (F'),

Fi"r. 85.

(Fi), (F'j ). Cela posé, quand la droite (c^) engendre une développable, elle demeure tangente, par exemple, à la courbe décrite par le point F et alors la droite {d!) demeure tangente à la courbe décrite par le point F'. Les deux courbes décrites par F et par F ayant leurs tangentes parallèles ont, par suite, leurs plans osculateurs parallèles; et comme ces plans osculateurs (n" 318) sont les plans tangents aux nappes (F,), (F'^), il en résulte que ces deux nappes se correspondent par parallélisme des plans tangents. Eu considérant l'autre série de développables on démontrera de même que les plans tangents aux points correspondants de (F) et de (F') sont parallèles. D'après les propositions énoncées au n" 319, les développables engendrées par (fi?) et par (c?') correspondent à un système conjugué tracé sur les quatre nappes, et, d'après d'autres propositions données au n" 426, on sait que, lorsque deux surfaces se correspondent par plans tangents parallèles, les courbes du système conjugué commun ont, sur les deux surfaces, leurs tangentes parallèles. De plus, lorsqu'on se déplace suivant l'une des courbes du système conjugué commun, la droite qui joint les points correspondants des deux surfaces engendre aussi une développable. Nous voyons donc qu'ici les droites FF', F, Y\ engendreront des développables en même temps que les droites (â?) et (c?')-