ro l< 'z^ 7,. Lk -ro ! < y v'2 — 5 j
donc a fortiori
ou
.r — jKu
V'a \Jo.
51 ^Pi
on prouve de même que \}\ — r\ \<io\.
Prenons alors }', ) ", > "', trois positions de j', dans le plus petit
GÉODÉSIQUES A INTEGRALES QUADRATIQUES. SgS
des cercles concenlriques G', E' et x dans le plus petit des cercles concentriques C, F. Les trois systèmes de valeurs
sont intérieurs au champ (TCp. p', o,, p, ) car il suffit que. r,j' soient intérieurs à E. E respectivement pour que Xi, Vi soient intérieurs à G,, G',.
Désignons par /( r. y') la fonction ii; nous sommes en droit de poser les équations
Ge sont là trois équations linéaires X. X', X". qui pourront être résolues par rapport à ces quantités, si un certain déterminant ï n'est pas nul. Réservons ce cas; nous aurons, en particulier,
où iR. est composé rationnellement avec les fonctions Xf [ -^ ]»
Y(y^, Y(r'), Y(y") et leurs dérivées. Si donc on laisse y, >-^, y constants. (K{x) est une fonction uniforme de x en même temps que les six premières de ces fonctions, c'est-à-dire, eu égard aux choix de v', >■',%. tant que j reste intérieur au cercle E. La fonction dl(j") est donc uniforme et dénuée de points singuliers autres que des pôles dans tout le cercle E.
II V a deux cas à distinguer :
1° Le cercle Eestintérieurou égal aucercleG;noussommesalors en droit d'écrire
a" Le cercle E est extérieur au cercle G: la fonction X est uniforme dans le cercle C et égale dans tout ce cercle à une fonction (K {x) que
nous savons être uniforme non seulement dans le cercle C, mais encore dans le cercle plus grand E. La fonction ûl(x) permet donc de prolonger la fonction X dans tout le cercle E. Reste à savoir si cette fonction ainsi prolongée vérifie bien encore l'équation il=zo.
Nous voyons bien que le rayon d'uniformité p de X peut être remplacé par le rayon plus grand 1 <7i , mais nous ne savons pas si H est
nulle dans le champ C ( '.cti, &', p,, p', \. Or. c'est à quoi répond le
théorème qui a été établi plus haut. En vertu de ce théorème, la fonction Q.. qui est déjà nulle autour de x", 1», doit l'être encore dans tout le champ d'uniformité des fonctions X, \, X<, ^4.
En résumé, nous voyons que, si p est plus petit que 1 o-^ . la fonction X, qui vérifie l'équation ^ ^= o, est susceptible d'un prolongement analytique dans l'intérieur d'un cercle de rayon y a, sans cesser de vérifier l'équation; nous pouvons donc écrire dans tous les cas, p étant le rayon d'uniformité de X,
On prouvera de même qu'on peut prolonger au besoin la fonction Y de manière à avoir
et cela sous lé bénéfice de l'hypothèse qu'un déterminant analogue à i, et que j'appelle H, ne soit pas nul.
Maintenant, la symétrie de l'équation i^ = o nous prouve que l'on peut permuter dans les raisonnements les couples de variables .zr, y et Xi , Yi ainsi que les couples de fonctions X, Y et Xi , Yi . Puisque, dans l'état actuel, on a
en désignant par a la plus petite des quantités p, p', on prouvera que l'on peut prolonger X,, Y^ de manière que les nouveaux rayons de convergence pi , p\ de X, , \ ^ soient au moins égaux à ^ o-, c'est-à-dire
au moins égaux à ( ^ | o-, . car a- est au moins égal ù 4 cr< . Si l'on
GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. Sgô
désigne par <7, la plus petite des quantités p,. o,. on aura donc
Si l'on répète indéfînimentce raisonnement en prolongeant tour à tour le couple X. ^ et le couple X,. \ (. onvoitqueles nombres a. s^i croissent indéfiniment, cest-à-dire que les fonctions X. \, X,. ^ , ont autour dex".j>'", ^*. jKi ^^^ ravons d'uniformité in6nis. Les formules qui servent à prolonger les fonctions nous apprennent de plus que nos quatre fonctions n'ont, à distance finie, d autre singularité que des pôles (').
Il T a un cas où la démonstration précédente tombe en défaut, c'est celui ou l'un des déterminants Z. H ou bien l'un des deux déterminants analogue- Z,. H| relatifs aux fonctions X,. Y, serait nul. On constate que la liaison de symétrie et le changement de »' en — -v permettent de s'en tenir au cas où c'est Z qui est nul. Or Z =: o est une équation facile à discuter et le résultat de la discussion est que le théorème ne cesse pas d'être vrai.
1 1 . Les pôles des fonctions X, \ , Xj . \ i possèdent des propriétés déterminées que nous allons démontrer. En premier lieu, on a ce théorème :
Tout pôle a fie toute fonction X , ^ . X, , \ , est double et le résidu qui lui est relatif est nul, en sorte que. dans le voisinage du pôle a la fonction possède la forme
:^^ r- VJ z — a\
OÙ E(^ — a) représente une série entière en ^ — a. Pour démontrer ce théorème pour la fonction X on posera, m étant l'ordre du pôle
ix\— 7 î- -: r -t-. . .-H — :- tl X — a),
^ ' (x — a)"' (or — a)"'-' x — a "
OÙ E( x — a) est encore une série entière en j? — a; en portant cette valeur dans Q., on aura un résultat de la forme
P,„, P.,^, P. ZL^E.>-a).
(') Ce théorème et sa démonstration sont sasceptibles d'ane extension que jai énoncée dans les Comptes rendus.
SgG NOTES ET ADDITIONS. — NOTE M. PAR M. G. KŒNIGS.
Gomme il doit être nul, il faut, avant tout^ que 1 on ait
et notons, en passant, que ces conditions expriment seulement que il reste Jlnij quel que soit r, pour x =^ a. Or on trouve tout d'abord
ce qui donne la condition très importante
On trouve ensuite
rn ( m — :>. )
Si la quantité entre crochets est nulle, on voit, d'après le résultat de la différentiation de l'équation (26), que X<, ¥< sont constants. Le ds- est celui du plan; or, sur le ds- du plan, le théorème se vérifie (t;oir le Tableau III). Ce cas exclu, il reste donc
rn — -j. = o,
le pôle est double.
En outre, on trouve pour P,,», c'est-à-dire P-i, cette expression
donc P2= o nous donne A, = o, en mettant de côté le cas du plan pour lequel, du reste, le théorème est vrai. Quant à P, , il se trouvs nul de lui-même.
Le théorème est donc démontré et, en outre, nous pouvonsajouter que, si, pour un pôle double a, à résidu nul, de X(j7) a lieu la relation (26), la fonction il reste finie d' elle-même pour x '-^ a. quel que soit y.
Ajoutons que l'on prouve les mêmes propositions pour les fonctions y, \i, Y,. Par exemple, si b est un pôle de \, on doit avoir l'équation analogue à (26)
GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 197
L'existence de plusieurs pôles entraîne la périodicité. En partant de l'équation i 2() ) ou de Téquation (27't, on prouvera les théorèmes suivants :
Si a, a' sont deux pôles de X ou deux pôles de Y, l'expression ^(a — a') est une période des fonctions X, et \ f.
Si a est un pôle de \ et b un pôle de \ , les fonctions de z
sont paires.
Si zéro est un pôle de \ , les fonctions X, (z), ^ , {z)sont identiques.
Ce théorème est curieux, car il caractérise les formes de Liouville
du tjpe
[ =( j- -!- >-) — ç( j- — } 1] àx dy.
Il est clair que dans ces divers théorèmes on peut permuter les couples de fonctions X, Y et X|. Yi.
12. Je vais montrer l'usage que l'on peut en faire pour déterminer
toutes les solutions doublement périodiques de l'équation 12 = o.
Il résulte d'abord des théorèmes ci-dessus que, si a, a\ a' sont
trois pôles de X ou trois pôles de X tels que le rapport —i ne
soit pas un nombre commensurable, les fonctions X,, Y,, X, Y sont doublement périodiques.
En ertet. les fonctions X,. Y,, uniformes dans tout le plan, admettent comme périodes \''^{a' — a). ^'2(0'' — a); ces expressions étant incommensurables entre elles. X,. Y, sont des fonctions doublement périodiques.
Ces fonctions admettent nécessairement des pôles, soient a, un pôle de X, et &j, ',)i' un couple de périodes primitives de X, : comme a, -h 'jj, ai-f-o' sont encore deux pôles de X,, il en résulte que
\ 2 [( rti -*- 10 I — ai ] = \ ? w et \ 1 L'i'
sont des périodes par X. Y qui sont, dés lors, aussi doublement périodiques.
Il convient d'observer qu'on peut ajouter sans inconvénient.
SgS NOTES ET ADDITIONS. — NOTE II, PAR M. G. KŒNIGS.
à x^ y, des constantes arbitraires sans changer l'aspect des focnlions X, Y, X<, Y^. INous profiterons de cette remarque pour amener X et Y à avoir zéro comme pôle. Dans ces conditions les fonctions X,, Y^ sont identiques et de plus sont des fonctions paires. Posons alors
Xi ( .r O = F ( v 2 X, ) = F ( .r -4- .>• ), Yi(j-i)-F(v/^r,)-F(^-.T-).
On constate que, si w est une période pour X,, w y/2 est une période pour F(^).
L'avantage de ces notations est d'amener F, X, Y à avoir les mêmes périodes.
Soient a, a', a!' . ... les pôles de X, autres que zéro, h. b'. b\ . . . les pôles de Y. Les expressions telles que \'Q.a, \J 2 a sont des périodes pour Xi ; donc 2 a, 2 a', .... 26, ib' ^ . . . sont des périodes pour Y[z).
Désignons par 20,, 2003 un couple de périodes primitives de F(^), nous devrons avoir des relations de la forme
na T= 'ini wi -4- 2 n to,, 26 = ip Mi-\- 1 q o)»,
^. a' = 2/n'cO] -f- an'wo, ib' =^ ip' iùi-\- iq' m-,,
i a" = 2 in"ii}i -4- 2 /i"oj5, 2 b" = ip"oii ■+■ 2 <?" w»,
où m, 7i, m', /i', ...;/?. ^, y?', q' , . . . sont des nombres entiers. Les quantités a, a', . . . , 6, i', ... sont donc de la forme générale
IJLDJj -+- VC02,
où ^, V sont des entiers; or, à des multiples prés des périodes, les expressions de cette forme sont égales à l'une de ces quantités
O, (0], OJj. 10 :j, où 0)3 =:: (Wi-f-OJo).
Soit maintenant a^ un pôle de X,.
Comme 2—4; 2-^ sont deux périodes primitives de X,, il en
résulte que \f2 ( «1 -t- 2 -^4: j — '?i = 2 w^ et 2 wo sont des périodes
pour X et Y.
Ainsi X et Y admettent toutes les périodes de F.
GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 899
\ous pouvons maintenant construire l'expression générale de X, Y au moyen de la fonction p{z)y qui admet 2 0),. 201)2 pour
couple de périodes primitives.
Dans le voisinage de son pôle zéro, X a la forme — ^ -^ E(j7);
les autres pôles de X sont congrus à l'une des quantités ûJ|, ojo, o), ;
dans le voisinage de (o^ X aura donc la forme ; — ^-^^r -{- E(ic — «,) ;
on prendra A,= o si o), n'est pas un pôle. Formons alors l'expression
\ — Ao p(.r~) — At p(ar -1- a)|^ — A. p(jr h- (Oj) — Ar!p(x -H tO:î\
qui admet les périodes 2 gj, , 2 w,, qui est uniforme dans tout le plan et, grâce aux choix des coefficients, n'a plus de pôles à distance finie. Cette fonction ne peut être qu'une constante. On a donc
\ = An pi •ar; -h Ai p( j* h- wi) -»- A» pt jr -(- w*)-*- A3p(x -i- wj) -t- A4, Y = Bo pi V I -t- Bi p( V -!- (0|) -4- Bîp(^ -♦- toj) -1- B3 p('v -4- w-) -(- B;.
Nous construisons de même la forme générale de F(5). Si /.
k est un pôle de F(5), -^est un pôle de X, et l'on a dés lors,
d'après un théorème déjà démontré,
^(^)-fe) ■ •
ou plus simplement, t étant l'argument variable,
(•28) \^t)^\Kk — t).
Les pôles de X , \ sont congrus à l'une des quantités o, w, , o).,, o), ; ceux de X(A" — /) sont donc congrus à l'une des quantités
L'identité précédente exige donc que A" lui-même soit congru à o, 'j),, &).j ou 0)3. Donc, tout pôle k de F(5) est congru à l'une de ces quatre quantités et l'on en déduira, comme pour X, Y, celte forme générale de F(^),
F(;: I = Lp pi^i) -H Li pv - -t- t'-i) -I- L; pf- h- Wj^ -i- LjpT^ -f- o),"» -t- L».
Ayant ainsi la forme générale de X, Y, F, la coordination des résultats n'offre plus aucune difficulté.
On remarque d'abord qu'on peut supposer toujours L,, différent de zéro; alors X, Y sont deux fonctions identiques, paires.
Si L,, L2, L3 sont nuls, on a les ds- de courbure constante et X, Y vérifient l'équation quelles que soient les constantes Aq, Ai, Aj, A:j, Aj. Si, outre L^, L| est aussi différent de zéro, on constate que l'on doit avoir
par application au couple des fonctions X, Y et au pôle oo, de F(^) du théorème exprimé par l'équation (28). L'équation (29) s'écrit
Aop(0 ■+" A.ip(^ -I- Wi) -I- P^ïpit -+- M-i) -+- A;ip(< -(- OJ;.)
= Aop(^ -f- Wi) -I- A,p(< -I- 2t0,) -+- A2p(/' -1- W, -+- (0.) -+- A3p(/ -1- (0, -f- Oi-i)
ou encore, eu égard à la relation a), + (Oo + f*>:s = o,
= Anp(^ H- (Oi) -+- A) p(/ j H- A.2p(< -t- CO.t) -+- A3p(/ -+- lù-,)^
ce qui exige seulement A„ = i, A.. =:A:(. On retrouve le type essentiel de révolution.
Enfin, en supposant Lo, Li, Lo différents de zéro, on trouve qu'il faut avoir
et le même calcul que ci-dessus donne A„ = Ai = A2 = x\:t ; nous trouvons donc le ds- réciproque du ds- à courbure constante; attendu que
Ainsi, il n'y a pas d'autres solutions doublement périodiques que celles qui ont été déjà obtenues.
13. Les solutions simplement périodiques ou rationnelles s'obtiennent par un procédé analogue. Il importe toutefois de remarquer que l'on peut s'en tenir à la recherche des types essentiels, ce qui simplifie déjà considérablement le problème.
Nous laisserons même de côté les ds- de révolution ou à courbure constante, qui ont été déjà obtenus.
GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 4oi
Prenons une forme essentielle de notre ds-, soit X(x) un coefficient de transformation de ce 'Js': la variable ^. définie par la quadrature
sera une variable essentielle, el si l'on pose î( ç > = ^r t-j ^(£)
sera un coefficient de transformation d'une autre forme essentielle du même ds-.
Mais, daprès ce qui a él^ dit des formes essentielles, l'aspect analytique des fonctions ^(E), X(x) doit être le même ; elles seront en même temps périodiques ou rationnelles.
En partant de là on parvient à démontrer que tout coefficient de transformation d'une forme essentielle a l'une des formes suivantes, en faisant abstraction des solutions doublement périodiques :
i" Ou bien une constante;
2" Ou bien
3» Ou bien -^ -
Il est ensuite facile de coordonner les résultats et d'établir qu'il n'existe pas de solutions en dehors de celles qui figurent au Tableau VII.
14. Je lerminerai en faisant connaître un mode de représentation sur le plan des géodésiques des surfaces qui nous occupent et dans lequel ces géodésiques ont pour images les coniques d'un réseau tangentiel.
Si Ton considère le ds- contenu dans la formule
fFt.ri F^vH [• dx- dr*- 1
■ [gÏJ')^ GÎyÎJlGix) G(r)\'
où F(j:), G(j") sont deux polynômes du quatrième degré, en essayant de le mettre sous la forme
[ç(x -i-.v) — ~(x — y}]dxdy,
on se trouve amené par la discussion aux diverses formes du Tableau Vil. Cela résulte d'ailleurs facilement du principe de réciprocité que nous avons appliqué aux ds- de courbure constante pour former le Tableau ^ II.
Or. il résulte de la forme (33) du n" o8i (111. p. 1 1) que les
DARBOrX. — !▼. 26
géodésiques de ce ds- auront l'éqiialion finie que voici :
^''^ /v/G(..;tpF(..)^/;
= const.
où p désigne une constante arbitraire.
Considérons dans un plan la conique C, représentée par l'équation
\-^— 4XZ:-o;
on vérifie cette équation en posant
Si d'un point M(X, Y, Z) on mène les deux tangentes à la conique, les valeurs du paramètre t qui correspondent aux deux points de contact étant désigécs par ^, j', on trouve aisément que X, Y, Z s'expriment en a;, y par les formules
( 32 ) X =. xy, X = x + y, Z = i .
Les paramètres or, y constituent un système de coordonnées du point M qui a été considéré pour la première fois par M. Darboux dans son Ouvrage Sur une classe remarquable de courbes et de sur/aces. Nous allons introduire ces coordonnées dans la représentation des géodésiques.
Rappelons d'abord comment l'équation d'Euler s'intègre par le moyen d'un faisceau tangentiel de coniques. Soit l'équation d'une conique
AX^ + A' Y2 -1- A"Z2 -+- 2 BYZ -h 2 B'ZX -+- 2 B'XY = o ;
si l'on y remplace X, Y, Z par leurs expressions (Sa), on trouve l'équation en coordonnées oc, y de cette conique
:)(x,y)= A^-'-r-H- A'(.r -Hj^j'-t- A"
-h 2 B( >• -hv) -h 2 B' xy -f- 2]yxy(x -t- jk) = o.
Introduisons les notations de la forme adjointe
a ^ A' A"— B2, «' = A" A — B'^ a" = A A' — B"2, b = B'B'— AB, 6'= B"B — A'B', h" ^ BB' — A"B"; faisons en outre
H{x)=[B"x'^-h(A.'-i-B')x -hB\^ — {Xx-^-f-7.B"x-h \'){i'^'x^--h2Bx-^A') = — a"x'--^ 2 b x^ — \a' -h 2 b' ) x- -h 2 b" x — a.
On trouve alors que l'équation 9(37, y) =^ o peut s'écrire
GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 4o3
Mais, l'équation étant >vmétrique en x et y. on pourra écrire
Gela posé, concevons que le point M^x. y) décrive la conique représentée par l'équation 0 = 0. nous aurons
-— cl.c H — (h = o,
'Jx ax '
c'est-à-dire, eu égard aux équations ci-dessus.
ilx dv
ce qui est l'équation d'Euler.
Prenons réciproquement une équation d'Euler quelconque
>Lr >ly
\ Ix* -^- mx^ -i- nx--*- px -^ p \ />'*-(-/« 1 •*-»-//»■--*-/> i-»- ^ si on l'identifie avec l'équation précédente, on trouve
a' = — /. <7 = — q. a -^ "i b =^ — n. ■> h ^ ni. 2 b' ^ />.
et nous trouvons ainsi que l'équation (33) est vérifiée en tous les points (Xf y) de la conique dont l'équation tangenlielle serait
(34) — ' «/"-i- f~' — "JT,^ -h nX: — /'^■r, i-^« ' f^i" — ;X I = o.
Comme il figure dans celle équation une constante arbitraire a . on peut en conclure que les coniques contenues dans cetle équation tangenlielle fournissent l'intégrale générale de l'équation d'Euler proposée.
11 faut observer que les coniques dont (34) est l'équation tangen-
tielle forment un faisceau tangentiel de coniques dont fait partie la
conique C. Les coniques de ce faisceau sont donc inscrites dans
un quadrilatère circonscrit à la conique C; les paramètres des points
où C est touchée par les côtés de ce quadrilatère fixe sont les racines
de l'équation
H( / I = //♦— mP-+- n/--i-pf -h q — n.
Appliquons ceci à l'équation d'Euler ( 3 1 ) qui donne les géodésiques du </5=(3o). Si l'on fait
P(t)= H* ~ mt^- — lit- — pt ^:- q.
, G( /) = l't^^m t- —Il t--~ p't — q',
4o4 NOTES ET ADDITIONS. — NOTE II, PAR M. KŒNIGS. — GÉODÉSIQUES.
et si l'on regarde p comme donné, il faudra dans l'équation (34) remplacer / par la + /', rn par m^ + m', . . . , ce qui donnera
On obtiendra ainsi, quand p, a' prendront toutes les valeurs possibles, un réseau tangentielà& conic^nas', et chaque conique de ce réseau, rapportée aux coordonnées x, y autour de la conique C, fournira une solution de l'équation (3i). Nous nous trouvons donc avoir représenté sur le plan, point par point, la surface qui admet le ds-(Zo), de sorte que les géodésiques ont pour images les coniques de ce réseau tangentiel.
Nous nous bornerons ici à signaler les résultats suivants : Si les coniques du réseau sont inscrites dans un triangle Jixe^ le ds-[?>o) a sa courbure constante.
Ce théorème est en relation étroite avec cet autre déjà connu que les surfaces de courbure constante peuvent seules avoir des droites comme images de leurs géodésiques sur un plan.
En etïel, les coniques inscrites dans le triangle X = o, Y = o, Z = o ont cette équation générale
À v^X -t- \i- V V -f- V y'Z = o, et il suffit de la transformation ponctuelle
X' = v^'X, Y' = V V, 7/ ^ \rî
pour transformer ces coniques dans les droites du plan.
Supposons maintenant que les coniques du réseau représentatif touchent deux droites fixes ; dans ce cas le ds- ( 3o ) convient à une surface de révolution.
A l'égard des ds- de révolution à intégrales quadratiques, le lecteur démontrera facilement la proposition suivante, que l'on pourrait presque attribuer à M. Lie, tant ce géomètre s'en est approché :
Tous les ds- de révolution à intégrales quadratiques sont représentables géodésiquement les uns sur les autres.
Les ds- à intégrales quadratiques qui ne sont pas de révolution donnent lieu à un théorème analogue; chacun est représentable géodésiquement sur un ds"^ réductible au type Vllf.
