VI.i admet .. VU
Il est à remarquer que le dernier type VII5 du Tableau VII n'admet aucune forme singulière.
Ces divers résultats s'obtiennent sans difficulté; il suffit d'effectuer pour chaque ds- la transformation ('j) en prenant pour X, Y les expressions les plus générales possibles.
Par exemple, le ds- VII5 admet les coefficients de transformation ( o, - \ ; ses variables essentielles sont données par les quadratures
r dx , r ' dr
changer x, y en -7:^5 -^— est sans importance; nous pourrons
donc toujours supposer que m, qui ne saurait être nul, est égal à i .
Les formules (20) deviennent
en négligeant des constantes additives sans importance. Si l'on introduit ces nouvelles variables dans le ds-Wl^,, on trouve que ses quatre coefficients (Aq, A^, A2, A3) doivent être remplacés par les suivants (Aq, Ai, A^ — nAo, A3 — ^A,), en même temps que X, y par x' , y'. Le type n'est donc pas changé et l'on reconnaît ainsi que Vll^ est un type essentiel, sans type singulier.
8. Le calcul analogue pour le passage de VI, à VIL est plus compliqué; il offre un exemple intéressant de calcul de fonctions elliptiques.
GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 887
Considérons le type Vil,, on constate que son tjpe singulier VI<
peut recevoir la forme
Au Aj Aj Aa dxdy
\ sin '— >in- '— LOï- — — '— 00s- '— ]
et que, par un choix convenable des variables, on peut aussi l'écrire
L (" — ^" ' (M -+- t)- ( I — i/r;- ( I ■+- uv )-\
Ce ds^ n'est autre que celui qui a été considéré à la page 21. 5 du Tome II. [1 présente une propriété remarquable qui consiste en ce que, si Von échange entre eux les coefficients Ao, At, A3, Ai. d^ une façon quelconque, le ds- reste équiialent à lui-même : les transformations correspondantes effectuées sur les variables u. iforment un groupe de substitutions linéaires, savoir
Si, dans le type VII,. on change les invariants g-i, g-:^ des fonctions elliptiques, ce type reste équivalent à lui-même. Les divers types VII, ne diffèrent les uns des autres que par les valeurs des constantes A,,. A,, .\2, A3, entre lesquelles il n existe aucune relation d'ordre et qui interviennent svinétriquement. Nous leur donnons le nom d'invariants du ds-.
9. Si l'on cherche la condition pour qu'un ds- de la forme VII, admette pour ses géodésiques une transformation infinitésimale qui ne conserve ni les lignes de longueur nulles ni un réseau orthogonal de coniques géodésiques, on trouve qu'il faut et il suffit que l'un des invariants soit nul, par exemple Ao= o, et que les trois autres vérifient une équation de la forme
= V A^ = V A^ = v' Aj = o.
Tout ds- réductible à lune des formes du Tableau \ II se trouve être représentable géodésiquement (n" 597 et suivants) sur un dsdu type VII,, On voit que l'on connaît ainsi tous les types du Tableau VII qui admettent des transformation? infinitésimales de leurs géodésiques.
Colle remarque conduil à la solulion complète du problème partiellement résolu par M. Lie des gcodésiques à transformations infinitésimales.
10. Nous allons actuellement montrer que les Tableaux formés ci-incliis fournissent la solution complète du problème que nous nous sommes proposé.
11 s'agit, au fond, de l'intégration complète de l'équation 12 = 0. Pour les équations de cette nature, Abel propose d'éliminer toutes les fonctions inconnues, sauf deux, entre l'équation proposée et celles que l'on en déduit par différentialion. Les deux fonctions conservées devront dépendre d'arguments différents z et t. En laissant constant l'un des arguments, t par exemple, il reste une ou plusieurs équations différentielles que doit vérifier la fonction unique de z qui a été conservée. C'est ainsi, par exemple, que l'équation (17) a lieu seulement entre \-\ et Yi ; en laissant x^ constant, nous obtiendrons une équation différentielle pour \i. Mais cette équation est très compliquée. La forme simple de l'équation ii = o se prête par contre à une étude directe des fonctions X, Y, X<, ¥4 et à leur détermination complète.
Nous démontrons en premier lieu que ces quatre fonctions sont uniformes dans tout le plan et ne peuvent avoir à distance finie d^ autre singularité que des pôles doubles à résidu nul.
Les démonstrations, dans le genre de celle que nous allons exposer, exigent des précautions particulières, dont l'oubli enlèverait toute valeur au raisonnement; aussi allons-nous préciser, pour commencer, ce que nous entendons par un système de solutions de l'équation 12 = o.
Les fonctions X, Y, X|, Y, seront avant tout des fonctions analytiques de leurs arguments, au sens que M. Méray, en France, et M. Weierstrass, en Allemagne, ont précisé; c'est-à-dire que, pour chacune de ces fonctions, il existera une région du plan affectée, s'il y a lieu, de coupures ou de singularités isolées, mais autour de chaque point Zq de laquelle, sauf aux points singuliers, la fonction soit représentable par une série entière en z — ^05 convergente dans un cercle de rayon non infiniment petit. Tel est le cas des intégrales des équations différentielles, et tel est par conséquent le nôtre, puisque la méthode d'xA.bel permet de former
GEODÉSIQLES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. 889
pour chacune des fonctions une équation dilTérenlielIe qu'elle doit vérifier.
Appelons (K^ . {.•xy . tH.5 . tRy^ les régions du plan où sont définies les fonctions X, Y. X,, Y^ respectivement. L'équation il = o suppose entre les arguments x, y, x%, y, les relations
il faut donc admettre qu'il existe dans cR^x une région S^ et dans (Sx^ une région 5»^ telles que si x est dans Sx et l' dans Sy les points ar, , > , qui leur correspondentparles formules (24) sont dans les régions tRj , cR-y^ et telles, en outre, que H v est nul idendiqueraent.
Prenons alors un point jt" dans "S-^. un point » " dans e>y de
manière à éviter pour x". r" et pourx'^ = -:=^ — > y\ = rr^— les
positions singulières. On pourra tracer autour de x'> comme centre
un cercle à l'intérieur duquel X est représentable par une série
entière en .r — x^\ on pourra même augmenter le ravon du cercle
de façon à v laisser pénétrer des pôles de X s'il s'en présente, mais
en s'arrétant assez à temps pour exclure du cercle toute autre
espèce de singularité. La même chose peut être dite pour ^ . X, . \ , .
Les points j;<',v''..rj. y',' sont ainsi les centres de cercles C,C', C<. C,^ de ravons 0. p', pi, p', , à l'intérieur desquels les fonctions X, \ . \,, Y| sont respectivement des fonctions uniformes, dénuées de singularités autres que des pôles.
11 faut bien observer que nous ne savons pas a /?r/o/7 si les cercles C. C sont entièrement compris à l'intérieur des régions S^, Sy; mais on peut au moins affirmer l'existence de cercles D. D' conceniriques aux cercles C. C . intérieurs respectivement à ces cercles et aux régions Sx- Sy.
Je dirai que le sjslème des valeurs x, y. j-|, i,, appartient au champ C(p, p'. pi, p, ) si ces valeurs vérifient les conditions suivantes :
1" Les relations
.ri — ■ - j V -i 2* Les inégalités
jj,-— JTÎK i,.
Sgo NOTES ET ADDITIONS. — NOTE II, PAR M. G. KŒNIGS.
en sorte que les poiiits représentatifs des variables x^ r, x^ . r'i sont respectivement intérieurs aux cercles G, C, G,, C, .
Présentons quelques remarques relatives au champ (5 (p, o', o, , p'J.
Soit x\ v', x\^ y\ un système de valeurs appartenant au champ et que nous représentons par quatre points dans les plans représentatifs.
Sur le segment rectiligne x^ x je prends un point x tel que le
rapport des longueurs -^;— 7 =>. ; >. est compris entre o et i. De
même je prends sur r" >' un point r tel que-;p-7 = >., et je pose alors
.Ti = ~-^ )-|
Il est clair que le système des valeurs \x^ y, ari , yi ) est intérieur au champ e(p, p', p<, p'J.
Seconde remarque. — Gomme l'on exclut le cas où le système des valeurs x\ > ', iPi, y\ seraient sur la limite du champ, les quatre différences
sont toutes négatives et aucune n'est nulle.
Appelons 3î une quantité positive inférieure à la plus petite des valeurs absolues de ces différences; les expressions
• j" I -+- i>.s — y 2pi
sont encore toutes négatives.
Gela posé, décrivons autour des centres x, y déjà construits deux cercles D;., D7 de rayon £ ; prenons dans D7 un point x et dans D- un point >•, posons ensuite
^1= — 7=^j rt= — ^; y 2 y 9.
je dis que le système de valeurs (x, )', j?< , r, ) appartient au champ
^(P^ p'- Pir p', )•
GÉODÉSIQUES A INTÉGRALES QUADRATIQUES. Sgi
On a. en effet,
; .r — j~" ' = I X — X ^ X — J-Oj < ' j- — ./- — .r — x'~' '.
mais, par hvpolhèse, on a
; .r — jr I < c, X — J-» j ^ ! x' — X* I,
donc
[x — jr" i < : x' — -r" — i.
or le second membre est inférieur à p d'après les inégalités (25). On prouve de même que |v — ^>'" ' < p' et que ^x^ — x°',<Zpf,
Nous allons déduire de ces diverses remarques la proposition suivante :
La fonction iî supposée nulle quand x est intérieur à S^ et y à c)y se trouve nulle dans tout le champ C(p, o', pi, o\ ),
En effet, soit x , y . x\ = r^» y\ = -^ un système de
valeurs pris dans le champ et 3 le nombre positif dont il vient d'être question.
Je divise le segment x'^x en ni segments égaux, et de même le segment r^v'. J'appelle
les points de division et je suppose m assez grand pour que la distance de deux points consécutifs soit, pour les deux segments, moindre que £. J'observe que. d'après la première remarque, le système de valeurs
est intérieur au champ (3(p, p. p,, &,). De plus, d'après la seconde remarque, si l'on décrit les cercles D^., D,j, de centres x^, y' et de ravon c. un point x pris dans D,.. et un point » pris dans D,; définissent un système de valeurs x, r, X\, v, intérieur au champ.
Cela posé, nous aurons d'abord un cercle Djj>et un cercle D,, de centres x^, v". Ces cercles sont concentriques aux cercles D. D' déjà définis et à l'intérieur desquels la fonction il est nulle.
Sga NOTES ET ADDITIONS. — NOTE II. PAR M. G. KŒNIGS.
Si donc D et D' couiprennenl l),.», D,o, la fonction il est nulle dans ces doux dernierscercles, c'est-à-dire, si x est pris quelconque dans D^o et y quelconque .dans l),a. Par contre, si D,» et D^» sont l'un ou l'autre (ou bien l'un et l'autre) plus grands que leurs cercles concentriques D, D', la fonction il qui se trouve nulle dans D et D', c'est-à-dire dans des portions finies de D ^.c. et de D,^ et qui de plus est uniforme dans ces cercles devra être nulle dans toute leur étendue. Ainsi, dans tous les cas, Q. est nulle dans les cercles D^o, D,*.
Passons aux cercles D,.,, D,,. La fonction 12 est encore une fonction uniforme de x, y dans ces deux cercles ; de plus, elle est nulle dans les portions finies que ces cercles ont en commun avec les deux précédents (la distance des centres étant plus petite que la somme des rayons qui sont du reste égaux); donc la fonction il est encore nulle quand x est pris quelconque dans D^., et >' quelconque dans D,,. On continuera ainsi de proche en proche jusqu'aux derniers cercles D ,,, D, .
La fonction il sera nulle dans ces deux cercles, et en particulier, au point (x', ^■'), ce qui démontre le théorème.
Il est maintenant facile de déduire de ce théorème la proposition fondamentale que nous avons en vue.
Désignons par a^ la plus petite des quantités p,, p\ et appelons E
un cercle, concentrique au cercle G, de rayon ■'[ <j^\ appelons aussi E'
le cercle concentrique au cercle G' et de rayon ( /ï— j\ a,.
On constate aisément qu'il suffit que x soit dans le cercle E et ^^ dans le cercle E' pour que les points x^ = - — h^> >< = '■ — — ^ soient
intérieurs respectivement aux cercles Gi et C, . On a, en eflet, par hypothèse,
