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L'exposition suivante, où l'on a mis à profit, en plusieurs points, des indications précieuses de M. Darboux, constitue le développement de cette proposition.

2. Remarquons d'abord que si l'intégrale générale de l'équation proposée est déterminée par une équation de la forme

¥\x,y,z, ^i(u), ?2(«0j ■■•, 9m{u), '^i(v), ■!t>iii'), ■■■, ■lnif')] = o,

où u et (^ sont deux fonctions données et distinctes de a;, y, z et où (B< et J^j sont deux fonctions arbitraires dont les dérivées successives sont désignées par cp^, (p^, . . . , 9^ et par <J>o, (j'^, • . • , ^z», on peut effectuer un changement de variables consistant à prendre u etp pour nouvelles variables indépendantes; il nous suffira donc de chercher toutes les équations du second ordre admettant une intégrale générale de la forme ( I ) z =^ /{.'-, y, a,, y..,, ... , a„,, 3,, 3., 3„ ),

où a< désigne une fonction arbitraire de x dont les dérivées successives sont désignées par ^3, «d, ... etoù|3, désigne une fonction arbitraire de r dont les dérivées successives sont j3.,, (Sa, ....

Il est clair que l'expression ( i ) ne peut vérifier une équation du second ordre que si cette dernière ne contient pas les dérivées /• et ^ de ;; et est, par suite, de la forme (2) S-+- ç{x, y, z, p, q) = o.

Cherchons donc à déterminer toutes les équations de la forme (2) admettant comme intégrale une expression de la forme ( i ) ; et, à cet effet, substituons cette valeur ( i ) de ^ dans l'équation (2).

Convenons dès maintenant de la notation suivante : 0 étant, d'une façon générale, une fonction formée avec :r,j^, a,, 3, et des dérivées de ces deux dernières, nous désignerons par

di> r/b rm d-^) r/M)

dx dy dx- dx dy dy-

les dérivées successives de 0, prises en avant égard aux dillérentes fonctions a,, ^k qui j figurent.

Nous aurons, pour les dérivées p, q^ s de la fonction z définie par l'équation (i), les valeurs suivantes :

dr dy ^k^^^k ' *

d\f dj- dy

Si l'on substitue dans l'équation (2 » et si l'on a égard aux deux dérivées «m-^i? yn-^i qui ne figurent pas dans (i), on voit que Téquation (2) doit être de la forme

( i ) s -^ ç-pq ~r- ap -H bq -*- r = o.