a. b, c désignant des fonctions de x. y. z

Si 1 on prend comme nouvelle inconnue, au lieu de z, une fonction 6 de jc. >•, z. assujettie uniquement à vérifier la relation

l'équation définissant 0 sera encore de la forme (4)? mais ne contiendra pas de terme en pq; elle admettra une solution de la même forme que l'équation (4) et réciproquement.

Il nous suffit donc, pour avoir la solution de la question posée, de déterminer trois fonctions a. 6, c de x. v. z telles que l'équation

(5) 5 -H ap -^ bq -^ c ^^ n

admette une solution de la forme (i).

3. Substituons les valeurs ('3) de p^ q, s et annulons les coefficients de «m-i- pn^i- <x„i+t~>n-i', nous obtenons les trois relations

•' • " ' -' = — tt -r-~ = o.

f)yda„i àdmà^ii " " '^^mà.Jh-i ' ^^2,

dont la première doit être identique et dont les deux dernières

4o8 NOTES ET ADDITIONS. — NOTE III, PAR M. COSSERAT.

doivent être vérifiées lorsque l'on a remplacé z par /dans a et b.

La relation (6) Ciprime que -^ ne renferme pas 6,i etque-r^ ne renferme pas a„i ; les relations (7) et (8) nous prouvent donc que, lorsque l'on a remplacé z par/, a dépend linéairement de [3„ et h linéairement de a,,^; nous sommes ainsi conduits à diflérenlier ces relations respectivement par rapport àj(3„ et à a,„.

Diffcrentioiis (7) une première fois par rapport à (3,(; il vient, en se rappelant que -^ ne renferme pas |3„,

Différentions de nouveau par rapport à (3/,; — ^ n'étant pas nul, il vient

àz- \//i„ / ()z (Jj-^^

Cette dernière relation est identique, si a ne dépend pas de z\ ce cas à examiner étant supposé écarté, l'expression

<n a àa TJ^'lz

doit, après la substitution de ^, être égale à

al, par suite, ne pas dépendre de oi.„i] elle doit donc être indépendante de ^5 et l'on a alors deux cas à distinguer suivant que sa valeur est nulle ou non.

D'ailleurs, ce que nous avons dit pour a se répète pour b\ il suffit de prendre la relation (8) pour point de départ au lieu de la relation (7); on obtiendra, en différentiant par rapport à a,„, les relations

,r-h [ Of \2 dh (pf

àz- \àx,n j ' àz à'xl,

d'où résultent pour h des conclusions analogues à celles obtenues pour a.

Les deux fonctions a et l> ne peuvent donc être que de lune des trois formes suivantes :

( I 1 me'^'— n.

( I ï ) m z ^- II.

(III) m.

<«», m. n désignant des fonction^ des seules variables x eiy.

Il reste ainsi, pour avoir toutes les solutions de la question, à associer ces trois formes deux à deux et à examiner les différents cas qui peuvent se présenter.