ot,T, 4- 2/h 3 b 3 T

T', = /w,/n 3 N, 4 -b 3 « 3 N 3 + p 3 p 3 N 3 4- {u,p 3 4- b 3 Pj)T, 4-(p 3 m 3 4-/> 3 OT 3 ) T, 4- (« 3 b 3 4- m 3 «i)T 3 , T 1 , = Wj/niN, 4-/? 3 niN, 4-p 3 />.N 3 4- ( n 3 p, 4- «, p 3 )T, 4- (/«j»». 4 -p,«« 3 )T, 4- (m 3 n, 4 - m,n 3 ) T 3 , T", = m.mjN, 4-«,n 3 N, 4-p.p 3 N 3 4- («. Pi 4- «)/»,) T, 4 - (p l rn,+p t m l )1, 4 - (»». n, 4 - m,n,) T 3 ,

ce qui complète le faisceau des formules qui nous étaient nécessaires.

Les trois premières équations (y) donnent, par leur addition, et en ayant égard aux relations ( 3 ),

du' dv' dw' du dv div

dx 1 dy' dz' dx dy dz

c’est-à-dire que la dilatation cubique 0 (§ 12 ) peut s’exprimer par la somme des trois dilatations linéaires prises parallèlement aux nouveaux axes; ce qui résultait d’ailleurs de l’indifl’éçence des premiers axes. Les trois premières équations (11) donnent, de la même manière,

théorème dont l’énoncé est facile. L’élimination des neuf

S LT fl I. 'ÉLASTICITÉ. /ji)

cosinus (ni , , //, ,/>,), entre les douze équations (3) el (i i ) , doit conduire à trois relations symétriques entre les N'. , T' et les N,, T,; l’équation (t3) est une de ces relations : pour obtenir les deux autres, il faudrait entreprendre un calcul, assez compliqué ; maisces relations découlent naturellement, et d’une manière très-simple, de la discussion qui fera l’objet de la Leçon suivante.

§19. — Procédons maintenant à la simplification des N,, T,, § 1 3, formules (6) , dans le cas d’un corps solide homogène, etd’élasticitéconstante.S’ils’agitder'!, , composante normale de la force élastique exercée sur l’élément-plan u perpendiculaire à l’axe des .r, la projection «, normale à tj, joue un rôle distinct, les projections tangentielles e, iv, joücnt

des rôles identiques ; d’où il suit que aura un coefficient A,

distinct de B, coefficient de ~ et de que le binôme

( -r -4- I aura un coefficient I), distinct de E, coefficient \dz dy ]

commun des binômes (y- -h -7^ et ( -7- -t- ~ V Comme \ <lx dz ) \ dy dx J

des changements dans la dénomination des axes transformeraient N, en en N s , sans que les coeflicients puissent changer, dans le genre d’homogénéité supposé, on aura nécessairement pour N,, pour iVj , les mêmes coefficients A , B, D , E; en observant que , pour IN, c’est e qui est la projection normale, pour IVj c’est «\ S il s’agit de T, , lequel est à la fois composante des deux forces élastiques exercées sur les plans perpendiculaires aux y et aux z , il arrive encore que \> et te jouent le même rôle, « un rôle distinct, et les mêmes motifs limitent à quatre (A. , D!>, A, £) les coefficients des T,. Ce qui donne en tout huit coefficients, distribués comme l’indique le tableau :

Réduction des N/, Tj-, dans le cas de l’élas liclté constante

Mais, si la loi du déplacement est exprimée par les valeurs (a), § 16, on doit avoir

T, — o , T, — o; le tableau (i4) donne alors

T 3 =A,e, T, = DU;

il faut donc cpic JL = o , itb = o. Si la loi du déplacement est exprimée par les valeurs (b), § 17 , pour y = o, on doit avoir

N,=o, T, = o, T : = o, N., = o; le tableau (i4) donne alors

N,=])M.r, T 3 = T-=ü«x, Ni= Eux; il faut donc que

Ainsi les N, , T,, dans lé cas actuel , ne contiennent que trois coefficients; posant 11 = ^, A = X-f- 2 p, et remplaçant

'lîÿ P ar ^ eu,s valeurs sont

sun l’élasticité. 5 1

Avec T homogène i lé cl la constance d'élasticité supposées, si l’on change d'axes coordonnés, on doit retrouver les mêmes formes et les mêmes coefficients pour les K'- , T' ; par exemple, on doit avoir

Or, en calculant N' par la première équation (i t) , àYaide des N, , T,- (t5), on trouve

, du , dv

( du dw\ l n ' P ' \dz + Yy)

‘•'Yz)

dz )

(du

et le coefficient de 2p. est égal à — diminué du coefficient

de 2 A, d’après la première équation ( 7 ); donc, pour que cette valeur se réduise à ( 16 ), il faut cjue A = p. Le calcul des autres N'., T' conduit au même résultat.

§ 20. — Par cette méthode de réduction, on obtient définitivement, pour les N ; , T,, dans le cas des corps solides homogènes et d’élasticité constante , les valeurs

contenant deux coefficients, 1, p. Quand on emploie la méthode indiquée à la fin de la troisième Leçon, on trouve = p, et il ne reste plus qu’un seul coefficient. Nous ne saurions admettre cette relation, qui s’appuie nécessairement sur l’hypothèse de la continuité delà matière dans les milieux solides. Les résultats des expériences de M. Wcrtheim

Formules particulières des Ni. T,,

5a LEÇONS

font bien voir que le rapport de X à p n’est pas l’unité, mais ne semblent pas assigner à ce rapport une autre valeur fixe et bien certaine. .Nous conserverons donc les deux coefficients X et p, en laissant leur rapport indéterminé.

La réponse à la question du § 17 est actuellement facile. Les lois trouvées pour les phénomènes de la traction et de la torsion quand le corps présente, par rapport aux anciens axes coordonnés, les dispositions moléculaires symétriques , définies aux §§ 16 et 17, exigent que les N,-, T, aient la forme (i5 ) ; or, si A = p, les N,- , T, auront la forme ( 17 ) , et les JN'. , T' , relatifs à d’autres axes quelconques, auront encore et nécessairement cette même forme ( 17 ) avec les mêmes coefficients ; ces N’ , T' reproduiront donc , pour la traction et la torsion , identiquement les mêmes lois que les N, , T,. C’est-à-dire, par exemple , qu’il sera indifférent de tirer le corps parallèlement aux z ou parallèlement aux.z'; de le tordre autour de l’axe des z ou autour de l’axe des z 1 . Cette indifférence est certainement la définition la plus claire et la plus naturelle de la constance de l’élasticité. Pour qu’elle ait lieu , il faut et il suffit que A = p dans lès formules (i5) , ou que les N, , T, aient la forme (17 ).

SUIl l.’ÉLASTICITIC.