CINQUIÈME LEÇON
Oc l'ellipsoulc claslieitc. — Forces élastiques principales. — Plans sollicités par les forces élastiques. — Cas particuliers.
§21 . — Les valeurs des N,, T,, élaul maintenant connues en fonction des dérivées “ K il faudra substituer
ces valeurs dans les six formules principales de notre seconde Leçon ; on aura ainsi les équations générales de l’élasticité : les trois équations aux diilérences partielles (4), § 8, devenues du second ordre par rappoft aux fonctions (u,e,tv), exprimeront les lois qui régissent ces fonctions dans toute l’étendue du milieu solide; les équations (8), § 9, devenues aux différences partielles du premier ordre, fourniront les conditions auxquelles sont assujetties les fonctions (u,e, w) à la surface du corps. Mais avant d’effectuer cette substitution; il importe de revenir sur les équations (8) du § 9. Ces équations, que nous avons déduites de l’équilibre d’un élément tétraédrique, remplissent un double rôle : ellus fournissent les équations à la surface, comme on vient de le voir, mais en outre elles indiquent de quelle manière varient les forces élastiques , en un môme point du milieu. C’est cette dernière propriété, déjà résumée au §9, que nous allons considérer seule, pour la développer et la présenter sous une forme commode dans les applications.
Il paraîtra que ces développements eussent été mieux placés après la seconde Leçon , qu’il eût été convenable de rapprocher, de réunir ainsi toutes les propriétés relatives aux forces intérieures , dont l'énoncé passe complètement
KUijisoïdo d élasticité
sous silence les déplacements moléculaires. Or, c'est ce silence même qui nous a fait rejeter ici les développements dont il s’agit. Il est sans doute très-remarquable que l’on puisse donner une théorie presque complète des forces qui existent dans l’intérieur des milieux, tant liquides que solides, sans parler de la déformation de ces milieux , en supposant même l'invariabilité des distances moléculaires. Mais comme , en définitive , cette déformation existe, qu’elle peut seule expliquer l’existence des forces intérieures, et leurs variations , l’abstraction de l’invariabilité des distances est inadmissible, absurde et féconde en erreurs. Poisson a donc fait une chose utile en introduisant la considération du changement de la densité du liquide, dans la théorie mathématique de la capillarité. Et nous croyons utile aussi d’étudier simultanément , et en quelque sorte de front, les propriétés des forces élastiques et celles des déplacements moléculaires, afin que leur dépendance nécessaire soit constamment en vue.
Imaginons, par le point M, trois axes rectangulaires, parallèles aux (oc, y, z). Désignons par (x,,j„ z ,) les coordonnées, par rapporta ces axes, de l’extrémité d’une ligne partant de M, et qui représente, en grandeur et en direction , la force élastique exercée sur l’élément-plan ct, dont la normale fait avec les (x,j, m z) des angles ayaut pour cosinus (ni, n,p). I-es formules ( 8 ) , § 9, donnent évidemment
( ni N, -+- /iTj -h p T, = x, ,
(i) < »i Tj -+- «N, +pT,=y ( ,
[ wT,+/iT, -H pT, z i .
Désignons encore- par (x\,j\, z\ ) les coordonnées de la même extrémité, rapportée à trois axes obliques, suivant les trois forces élastiques qui s’exercent sur les élémentsplans perpendiculaires aux (x, y, z) , forces que nous représenterons par (F, , l’t , Fj ) , et dont les composantes sont
sun l’élasticité. 5
respectivement (N,, T,, T,), (T S ,N,,T,), (T*, T,, N,). Les nouveaux axes obliques font avec les premiers, qui sont rectangulaires, des angles dont les cosinus ont les valeurs assignées par le tableau
St
Ta
Fa
Na
Fa
Fa
ce qui conduit immédiatement aux formules de transformation
Ta , , T, , Na
La comparaison des deux groupes (i) et (3) fait voir que
Car, si l’on résolvait les équations (i) par rapport à (»t,
drait évidemment les mêmes valeurs, puisque les deux groupes du premier degré ont les mêmes coefficients. Or on a nécessairement ni 1 -+- tî -h p i = i; les relations (4) don-
on oblien-
UT
Forces
élastiques
principale*-
nent «lune
c’est-à-ilire que le lieu géométrique des extrémités des lignes qui représentent, en grandeur et en direction, les forces élastiques s’exerçant sur tous les éléments-plans , menés par un même point du milieu, est .un ellipsoïde; et les forces élastiques qui correspondent à trois éléments-plans rectangulaires donnent trois diamètres conjugués de celte surface, que nous appellerons ellipsoïde d’élasticité.
§ 22. Parmi les systèmes de diamètres conjugués, tous propres à déterminer l’ellipsoïde d’élasticité, il en existe un, et un seul, où les diamètres sont rectangulaires, celui des axes de cette surface du second ordre. Supposons que les plans coordonnés primitifs aient été fortuitement disposés, de. telle sorte que l’ellipsoïde (5) se trouve rapporté à ses axes; les (x\ , y\ , z\) seront rectangulaires, ainsi que les (.r, ,y t , , et les cosinus du tableau (a) devront vérifier, entre autres et simultanément, les deux groupes de relations
suk l’élasticité. 5 7
qui donncul, par 1 élimination des IN, ,
Les F, , F, , F, sont actuellement les axes de l’ellipsoïde ; nous les supposerons inégaux, et ainsi rangés par ordre décroissant de grandeur 5 dans ce cas général , le seul que nous considérerons laissant de côté la discussion des cas particuliers, la première des équations ( 8 ) exige que T 3 = o, T* — o , et les deux autres , que T, = o. Alors les relations ( 7 ) donnent
et les équations (3) se réduisent à
c’est-à-dire que les axes de l'ellipsoïde se confondent avec les normales aux éléments-plans sur lesquels s’exercent les forces élastiques représentées par ces axes mêmes. Ainsi, en tout point du milieu solide, il existe trois éléments-plans, rectangulaires entre eux, qui sont sollicités par des forces élastiques normales. Ces plans sont les sections principales de l’ellipsoïde d’élasticité. Les trois forces élastiques normales, que nous appellerons forces élastiques principales , sont représentées , en grandeur et en direction , par les axes de cet ellipsoïde. Il s’agit maintenant de déterminer, en chaque point du milieu, les grandeurs des forces élastiques principales, et les positions des éléments -plans qu’elles sollicitent.
Soit A la grandeur inconnue d’une force élastique nor-
male, s’exerçant en M; soient (/«, n , />) les cosinus des angles que sa direction, pareillement inconnue, fait avec les (x, j, z). Les formules (8), § 9, donneront, en y remplaçant X par m A , Y par n A , Z par j> A :
| m (N, — A) -h «T, pTj = o ,
on doit avoir, d’ailleurs, m* ■+■ n 3 -h /j* = î : ce qui complète les quatre équations nécessaires pour déterminer les
inconnues (A, /n, «, p). L’élimination des rapports -»
-» entre les équations (io), conduit à l’ équation finale
. . 1 (N, — A) (N, — A) (N : , — A) aT.TjT, — (N, — A) T|
'"M — (N, — A)T; — (N, — A)Tj = o,
ou , en développant et changeant les signes ,
( 12 ) ] -+- (N, N, NjN, -t- N, N, — T| — Tï — T,) A-
I — (N, Nj N, -H 2 T, T, T,- — N, T’ — N, T’ — N 3 t;) = o.
Cette équation du troisième degré donnera non-seulement les axes de l’ellipsoïde d’élasticité, mais en même temps les grandeurs et les signes des trois forces élastiques principales : le signe -4- indiquant une traction, le signe — une pression .
Les trois racines de l’équation ( 12 ) étant représentées par (A , 15, C) , on aura , par des formules connues ,
(13) bc-hca+ab=n ! n j +n 3 n,+n,n,— t; — t 3 — tj, ( ABC = N, K 1 N 3 -t- 2 T,T,T, — N, TJ — N 2 T; — N 3 T|.
Comine les axes de l'ellipsoïde d’élasticité doivent rester les mêmes , quand on emploie les N' , T' , au lieu de N/, T, ,
sur l’élasticité. 5 y
ou doit avoir identiquement :
?i', N', 4- Nj N', 4- N', N', - r.» - TV - T’,’
= N,N a 4- N, N, 4- N, N, -T| - 1 \ - TJ ,
n', n', n'j 4- 2 r, r, r, - v, r, » - n', iv - K r.»
= N, N, N, 4- 2 T, T, T, - N, Tî - N, TJ — N, TJ ;
et ce sont là les trois relations symétriques que l’on obtient effectivement quand ou élimine les neuf cosinus (///, , n , , />,) entre les douze équations (3) et(i i) du § 18. On doit regarder cette coïncidence comme une vérification.
Soit maintenant A une des racines de l’équation ( 12 ) ; A sera, en grandeur et en signe, l’une des forces élastiques principales au point M. Pour trouver la direction, ou, ce qui revient au même, la position du plan qu elle sollicite, il faut avoir recours aux équations (to), qui donnent facilement
l = m (AT, 4 -T 3 T 3 — N, T,} T]lj#i + r,Ti » 4- i 1 Tj/> ) — n (AT, 4~ T, T, — N, T,)
( = p (AT, 4- T, T, — N, T,) ;
d’où l’on conclut l’équation suivante :
