AT,+T 1 T ; -.\.T

pour représenter le plan cherché ; ( < r / , z') étant ici les

coordonnées d’un point quelconque du plan, (.r,)', z) les coordonnées appartenant au point 31 , et dont A et les N,, T, sont des fonctions.

§ 23. I.es grandeurs, les signes et les directions des forces élastiques principales au point M , étant supposées connues , transportons l'origine en ce point , et prenons pour axes coordonnés les axes mêmes de b ellipsoïde d’élasticité.

Plana sollicité* par les forces élastiques.

(jo LKÇOSS

L'équation do oel ellipsoïde sera

Les forces élastiques exercées sur les plans coordonnés étant actuellement normales , on aura

N, “ A , N, = B , Nj = C , I , = T, = T, = o ,

et les équations (1) donneront

pour les cosinus (///, n, p) des angles que fait, avec les axes nouveaux, la normale à l’éléincnt-plan tj, sur lequel s’exerce la force élastique représentée, en grandeur et en direction, par le demi-diamètre D, dont l’extrémité a pour coordonnées ( , y , , z, ) . D'après ces valeurs ( t 7 ) , le plan cr aura pour équation

c’est-à-dire qu’il sera parallèle au plan tangent à la surface, dont l’équation est

au point où le diamètre D, vient la rencontrer, K ! étant une quantité positive quelconque.

Lorsque les trois racines de l’équation (12) sont de même signe, c’est-à-dire quand elles représentent ou trois tractions, ou trois pressions, la surface (19) est un ellipsoïde, concentrique à celui d’élasticité (16) , ayant les axes dirigés de la même manière, mais de grandeurs proportionnelles aux racines carrées des forces élastiques principales; alors

SUR l’éi-asticité.

(il

tout demi-diamètre D, représente une force élastique de meme espèce que les forces élastiques principales, c'est-àdire ou une traction, ou une pression oblique. Lorsque les racines de l'équation (12) ont des signes différents , c’està-dire quand elles représentent ou deux tractions et une pression ,*ou deux pressions et une traction , la surface (19) est l’ensemble de deux hyperboloïdes , l’un à une nappe, l’autre à deux nappes , ayant un même cône asymptotique, dont l’équation est

alors, si le demi-diamètre I), rencontre l’hyperboloïde à une nappe, il représente une force élastique de l’espèce qui est double parmi les forces élastiques principales; s’il rencontre l’hyperboloïde à deux nappes, il représente une force élastique de l’espèce unique. Le passage de l’une à l’autre des deux espèces se fait sur le cône (20); tout demi-diamètre D,, couché sur cette surface conique , représente une force élastique tangentielle, laquelle s’exerce sur le plan tangent au cône, suivant l'arête D,. On peut appeler le cône (20) , cône des forces élastiques tangenliel/es, ou plus simplement cône de glissement .

§ 21. Lorsque le dernier terme de l'équation (12) est nul ,' il existe en M un élément-plan sur lequel ne s’exerce aucune force élastique, et l’égalité des composantes normales réciproques, § 9, indique de suite que ce plan contiendra toutes les forces élastiques. Si on le prend pour celui des x, )', par rapport à l’origine M, en dirigeant les axes des (x, y) suivant les deux forces élastiques principales A , 15 , qui resten l lorsque C = o ; si , de plus , on dé- * signe par y l’inclinaison de l’éiéin£nt-plan ra, sur -lequel s’exerce la forcé élastique représentée par la droite f), partant de M, et dont l’extrémité a pour coordonnées

Cas ou l’une des forces

élastiques pria ripales est nulle.

) ; les cosinus ( ni , // , p) seront

Si=o

m — « = ^> = cos 7 ;

on aura, par la relation nécessaire ni 1 + «’ + // = 1,

sin 1 •/ ,

et le plan ct aura pour équation

-I- z cos 7 =

D’après ces relations, les forces élastiques exercées sur tous les plans de même inclinaison y sont les demi-diamètres d’une ellipse, ayant ses axes proportionnels à sin y, et respectivement à A, B. Le plan gj, d inclinaison y, sur lequel s’exerce la force élastique représentée par un demidiamètre D, de cette ellipse, a sa trace parallèle à la tangente à la courbe dont l’équation est

au point où ce demi-diamètre la rencontre. L’équation (22) représente une ellipse, si A et B sont de même signe; deux hyperboles conjuguées, si A et B sont de signes contraires.

Dans ce second cas, si D, a pour équation j = dzx

il représente une force élastique tangentielle, s’exerçant sur le plan, d’inclinaison y, dont cette droite D, est la trace. Aux diverses inclinaisons correspondent autant d’ellipses

semblables (21) ; pour la plus grande, y = '-■> et u est per- #

pendiculaire au plan des forces élastiques. Toutes ces conséquences se déduiraient . d’ailleurs, delà considération des

plaques elliptiques et hyperboliques, auxquelles se réduisent les surfaces (16) et (19), quand C = o, en interprétant convenablement l’indétermination apparente des plans tangents, aux bords infiniment courbes de ces plaques.

§ 25 . Le cas où C = o, B = o , et où A existe seul , n'ollre aucune difficulté; .le théorème du § 9 , sur l'égalité dos composantes normales réciproques, suffit pour le résoudre complètement. D’après ce théorème, dans le cas dont il s’agit, toutes les forces élastiques sont nécessairement dirigées sur la même droite L que A, seule force élastique principale qui subsiste; donc la force élastique qui s exerce sur un élément-plan a , dont la normale est /, s’obtient en projetant A sur /, et en reportant la projection obtenue sur L. Quand deux des racines de l’équation (12) sont égales, les surfaces (16) et (19) sont de révolution; il arrive alors que tous les demi-diamètres appartenant à l’équateur de l'ellipsoïde (16) représentent des forces élas- ‘ tiques normales. Si les trois racines de l'équation (12) sont égales, les surfaces (16) et (19) sont des sphères; toutes les forces élastiques sont normales et ont la même valeur.

Telles sont les lois qui régissent les forces élastiques, en un même point, d’un milieu solide. Elles sont d’une trèsgrande généralité, car les équations (8), § 9 , qui les renferment toutes ne supposent ni homogénéité ni approximation d’aucune espèce. Elles sont à l’abri de tout doute sur la nature des actions moléculaires, dont on peut se dispenser de parler, en adoptant, pour la force élastique, la seconde définition du § 5 . Leur démonstration est facile, tellement que nous avons pu craindre le reproche de développer ici une analyse par trop élémentaire. Leur énoncé a la forme géométrique, la plus goûtée des ingénieurs. Enfin, elles sont d’une utilité incontestable, et les praticiens trouveraient à chaque instant l’occasion de les utiliser, s’ils les

Cas où deux des forces

élastiques principales sont nulle*

connaissaient. iVy a-t-il pas lieu de s’étonner qu’une lliéo- * rie si simple, si naturelle et si féconde en applications, n'entre régulièrement dans aucun cours classique?

La Mécanique rationnelle emploie de même, pour étudier les moments d’inertie, la considération de l’ellipsoïde; mais, on en conviendra, cette surface ne s’y présente pas aussi naturellement que notre. ellipsoïde d’élasticité. En outre, ici les deux genres d’hyperboloïdes, et le cône, et l’ellipse, et les hyperboles conjuguées interviennent également. En un mot, les surfaces et les courbes du second ordre, pourvues de centre, viennent remplir, dans la théorie de l’élasticité, un rôle aussi important que les sections coniques en Mécanique céleste; clics lui appartiennent aux mêmes titres, elles en traduisent les lois avec autantdcclarté, et même plus rigoureusement, car les lois des forces élastiques autour d’un point ne subissent aucune perturbation. Si, dans l’avenir, la Mécanique rationnelle, courant plus rapidement sur les problèmes, aujourd’hui complètement résolus, du monde planétaire, se transforme pour s’occu- " per avec plus d’étendue de physique terrestre , la théorie que nous avons exposée dans cette leçon formera l’un de scs premiers chapitres, et des plus importants, comme la la suite du Cours le démontrera.