IF

(X-t-ap.) — -4-p*

(X -t- ap)

[ , ( dv dw\ .(du dv I

-M-Ml-v.

^i-.,UZ±Jj +pZ .

~dr '

"rff 7 '

Le plus souvent, les X 0 , Y 0 , Z 0 se réduisent aux composantes de la pesanteur; nous supposerons, plus généralement, qu’elles proviennent d’attractions ou de répulsions émanant de centres extérieurs fixes, et qui suivent la loi de la raison inverse du carré des distances; alors X 0 , Li Z„ seront respectivement les dérivées en (x, y, z) d’une même fonction F 0 , vérifiant l’équation

dx 1 dy 2 dz'

on aura donc , dans ce cas général ,

V rfF »

*" dy ’

et , d’après l’équation (7) ,

< /X, r/Y, dZ.

dx dy c/z °’

En vertu de cette dernière relation, si l’on ajoute les trois équations (6), après les avoir respectivement difl’ércntiées par rapport à (x, y, z), les forces extérieures disparaîtront du résultat; les parenthèses au coefficient pi s’annuleront aussi ; le second membre ne sera autre chose que

il 1 ô

p — , d’après la valeur ( 2 ). O 11 aura donc

. /<P9 d 7 9 rf’9\ d 7 9

équation remarquable, qui régit la fonction 6, ou la dilatation cubique, dans le milieu solide légèrement déformé.

cm § 27. — Quand il s’agit de l'équilibre d’élasticité, les • "I v ;r:r fonctions (u, m, w), et par suite 0, sont indépendantes de t ; les équations (5) deviennent

! .. . rf9 I d 7 u d 7 u

^^dï ['dï + 'dP'

. .dQ ! d’v d 7 v

J-+-pX 0 o,

— j-t-pY.-o,

.. . d 9 / d 7 tv d’tv d 7 tv\

+ + + + +pZ,=o,

et l’équation (8) se réduit à

c’est-à-dire que la dilatation d, dans l’intérieur d’un corps solide homogène en équilibre d’élasticité, suit la loi de la température, dans le même corps solide en équilibre de chaleur, et la même loi régit le potentiel ( — F 0 ), dans l’attraction des sphéroïdes. Ce double rapprochement, entre des théories physico-mathématiques en apparence si différentes, est un fait analytique très-remarquable , et qui pourra servir de point de départ quand il s’agira de ramener à l’unité toutes les théories partielles.

Pour énoncer généralement les propriétés des fonctions qui se présentent dans la théorie actuelle , et pour simplifier en même temps l’écriture des équations que ces fonctions

doivent vérifier, il nous sera eonimode et utile d'employer une expression et une notation que j’ai introduites. On sait , et l'on peut d’ailleurs vérifier aisément, que F étant une fonction des trois coordonnées ( x , y, s) d’un point dans l’espace, les deux expressions différentielles

Vit' y (<IV / r/ F \ 1 d'Y r/’F r/F rTi] + + ’ IT'+lÿ+lÜ'

conservent les mêmes formes et les mêmes valeurs numériques en chaque point, pour tous les systèmes d’axes coordonnés rectangulaires. J’appelle ces expressions paramètres différentiels du premier et du second ordre de la fonction F, et je les désigne par A 1 F, A’ F. Nous dirons donc : la dilatation dans un corps solide en équilibre d’élasticité , la température dans h; même corps en équilibre de chaleur, et le potentiel de l’attraction des sphéroïdes , sont des fonctions dont le paramètre différentiel du second ordre est nul ; et nous écrirons les équations (9), (7), (10) de la manière suivante :

dx ~° ’

-1- (JL A J V -4-

dy ~ °’

2fl)

-f- fJL A 3 «v -f~

dz ~°'

Ainsi r prendre le A* d’une fonction ou d’une équation , c'est faire la somme des trois résultats obtenus , en dillércntiant successivement cette fonction ou cette équation deux fois par rapport à x, deux fois par rapport à y, deux fois par rapport à s. Or, si l'on prend les A* des trois premières équations (11), et qu’on ait égard aux deux dernières,

011 aura

à 1 .à 1 u — o, Ck , .Ck 1 vz=o, A 1 .A J «’=o;

et, comme les N,, T, sont des fonctions linéaires et à coef-

ncients constants des — -» il s ensuit que les J\,

T, , ainsi que les (u, e, iv), vérifient l’équation (12) . A 2 . A’ » = o ,

c’est-à-dire par la notation ordinaire

\ dx 1 dy 7 dz 7 /

l dx' dy 7 dz 7 )

dx ' 1

dy 7

af' ? \

dz 7 J

ou bien, en développant,

dx'

dy' dz' ^ dy 7 tlz 7 * dz 7 dx' dx 7 dy 7

Tel est le caractère général des fonctions qui expriment, soit les projections du déplacement moléculaire, soit les composantes des forces élastiques, dans l’intérieur d’un corps solide homogène et d’élasticité constante , lorsqu’il est en équilibre d’élasticité 5 c’est-à-dire que le paramètre différentiel du second ordre du paramètre différentiel du second ordre de ces fonctions est nul.

On sait que l’équation A ! F = o est vérifiée par l’intégrale triple

(,3) t= ff f ^-’i ^^dfidv.

SUR I. KLASTICITK.

dans laquelle le dénominateur II est

Or, ou s'assure aisément que l'équation (12) est vérifiée par cette autre intégrale triple

(. 5 ) ? = ////(*. P. 7 ) KdaLdpdn

en ell’et , cette valeur de o donne

ïu = ^ ’ ? ’ 7) "TT d 2 d ^ d 7 ’

La l'onction F ( 1 3 ) , dans laquelle les signes d’intégration peuvent être remplacés par celui d’une somme de termes , a reçu généralement le nom de potentiel ; si l’on convenait de l’appeler potentiel inverse, on pourrait donner à la fonction y ( 1 5 ) le nom de potentiel ilirect. Ou, mieux encore, en s’appuyant sur une analogie remarquable avec les intégrales elliptiques, on pourrait appeler F potentiel de la première espèce, y potentiel de la seconde espèce. Nous dirions alors : la température ou la dilatation dans un corps solide homogène en équilibre de chaleur ou d’élasticité est une fonction de même nature que le potentiel de première espèce; les projections du déplacement moléculaire, et les composantes des forces élastiques sont des fonctions de même nature que le potentiel de seconde espèce. Ces rapprochements et ces analogies sont loin d’être futiles : ils établissent un lien entre les divers sujets dont s’occupent les géomètres , entre le passé et l’avenir de leurs recherches ; et ce lien, d’abord imperceptible et douteux, peut grossir un jour de manière à faire voir que tant de travaux si différents convergent vers un but commun.

LECOKS

Sur les forces émanant de centres extérieurs.

§28. — Les équations aux différences partielles (5) ou (y) sont linéaires et à coefficients constants, mais elles ont des termes donnés. Les fonctions ( « , v , iv) se composeront donc de deux espèces de termes : les uns formant les intégrales générales des équations (5) ou (g), dépourvues desX 0 , Y 0 , Z 0 ; les autres destinés à faire disparaître ces quantités, ou à vérifier les équations (5) ou ( 9 ) complètes. Désignons par (h 0 , t/ 0 , iv 0 ) les termes de la seconde espèce. Si les X 0 , Y 0 , Z 0 ont la forme

d F. d F„ dy dz

F 0 , vérifiant l’équation ( 7 ), sera un potentiel pris négativement, et conséquemment delà forme

dotdfidy,

R étant l’expresion ( 1 4). Posons alors

i‘—^f f ?> 7)- Rrfstrf ? rf i.

et prenons

v d<f, v d ?• „ v df,

fi je dy dz

K étant un coefficient indéterminé ; on en déduira

et (fo étant indépendant de l , les équations (5) ou ( 9 ) seront

vérifiées si l’on prend K = ^ > et conséquemment

p dfo