X -f- 2 f i dz

Si les X 0 , Y 0 , Z 0 sont des constantes (ci , b,c), on trouve facilement qu’il faut prendre

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>. 4-2 {JL 2 J '

Sachant faire diparaitre les termes en X 0 , Y 0 , Z 0 , on peut les supprimer dans les équations (5) ou (9), ou, comme l’on dit, en faire abstraction , et s’occuper uniquement de la recherche des intégrales de ces équations ainsi réduites. Mais la suppression des termes dont il s’agit peut s’appuyer sur un autre motif : les fonctions («, e, te) étant définies par des équations linéaires, le groupe («„, e 0 , tv 0 ), ainsi que les autres groupes de termes qui composent les intégrales, représentent autant d’états particuliers du milieu solide, lesquels se superposent sans que leurs lois soient altérées; or, dans les corps solides que nous aurons à considérer, la déformation qui résulte de l’action de la pesanteur, ou de toute autre force extérieure , sur ces corps seuls , c'està-dire celle que mesurent les (m„ , e 0 , ie 0 ), est le plus souvent tout à fait insensible; les corps rigides peuvent donc être considérés comme si ces forces extérieures n’existaient pas, quand il s’agit d’étudier l’elfet d’actions d’une autre nature, exercées sur leurs surfaces, et non pas sur leurs masses. C’est ainsi qu’il faut entendre qu’on fait abstraction des X., , 3 0 , Z 0 •

§29. — Les coefficients constants, À et (2, introduits parles

valeurs (t), sont des quanti tés de même espèce que les N, , T, ,

. , <i( u, v, tv) , ,

puisque les —f - — — ~r sont des rapports; us s exprimeront a (-C, X j z)

donc par les mêmes unités que les forces élastiques, c’est-

Déterminâtion

de»

coefficients

Coefficient

d'élasticité

à-diro par un certain nombre de kilogrammes pressant l’unité de surface. Les valeurs numériques de ces coefficients , pour un corps solide homogène et d’élasticité constante, de nature donnée, pourraient se déduire d’expériences faites sur ce corps, dans les deux cas d’équilibre d’élasticité les plus simples.

Lorsque le solide est soumis à une pression uniforme ( — P) sur toute sa surface, il doit se contracter en restant semblable à lui-même; de là , et en supposant que l’origine des coordonnées reste fixe , il suit que les projections du déplacement seront représentées par les valeurs

u — ax , v = a y, w = az y

où a est un coefficient constant à déterminer, et qui vérifient évidemment les équations ( 9 ) quand on fait abstraction de la pesanteur. Par ces valeurs, les Tj (i) sont nuis, les N, se réduisent tous les trois à N = (3X -f- 2 y) «, et cette composante normale, partout la même, n’est autre

que — P; on a donc a = — =-r ; c’est la contraction

linéaire. L’expression ( 2 ) de 0 devient 0 =3 a = — .r- ;

c’est-à dire que

est la compressibilité cubique de l’unité de volume, sous une pression égale à l’uni té. Si des expériences ont fait connaître a, on aura une première relation (n) entre X et y.

Supposons le corps prismatique et ses arêtes verticales ou parallèles aux z ; s’il est soumis à une traction F, par chaque unité de surface de ses deux bases horizontales, il y aura étirement parallèlement aux arêtes, contraction uniforme parallèlement aux bases, et les projections du dépla-

Sl,R L'ÉLASTICITÉ.

cernent seront représentées par les valeurs

« = — ax , v = — ay , iv = cî,

où a et c sont des constantes à déterminer, et qui vérifient les équations (9) quand on fait abstraction du poids du corps. Par ces valeurs, les T,- (1) sont nuis, et l’on a

N, = N, = (c — 2 a) X — 2 au, N, = (c — 2a)>-+-2cfi;

or N, , Nj, partout les mêmes, sont nuis à la surface latérale du prisme, et Nj, partout le même, est nécessairement égal à F ; on a donc les relations

Xc — 2 (X -+- (i) a — o , (X-t-2p)c — i\a — F,

d’où l'on conclut

6 = c — la :

3X -t- 2 p ’ •>. ft 3 X 2 « 3X + 2 ji

Ainsi, il y a dilatation, et le cocilicient de cette dilatation

> ou le tiers de a. du cas précédent. L’al-

cubique est „ —

longement de l’unité de longueur du prisme, par une trac-

tion égale à l’unité, c’est-à-dire —1 ou -r.» *-*81 0 7 zr r

Si des expériences ont fait connaître ( 3 , on aura une seconde relation (b) entre X et y.

Les deux équations (a) et (b) donnent

Si l’on admettait la relation X = y . . à laquelle on est conduit

Comparaison tics méthodes.

7<i I.KÇONS

par la méthode défectueuse indiquée au § 15, les équations

(«) et (/>) donneraient a = gfc, (3 = ga. Certaines expériences de M. Wertheim le conduisent à X = 2 fx, ce qui donne a = /3 = g- • Mais il peut se faire que le rapport -

ne soit ni égal à l'unité, ni égal à 2 , et qu’il varie d’un corps à un autre. C’est un point qui ne peut être éclairci que par de nombreuses expériences. On est convenu d’appeler coefficient d’élasticité d’un corps l’allongement de l’unité de longueur d’un prisme, formé avec ce corps, sous l’influence d’une traction égale à l’unité-, c’est le coefficient |3 (b) ; nous le désignerons dorénavant par E. Ainsi

K = îi

est la valeur, en X et u, du coefficient d’élasticilc.

§ 30. — Ici se termine ce que nous avions à dire pour démontrer les équations générales de l’élasticité, et particulièrement celles qui appartiennent aux solides homogènes et d’élasticité constante. On trouvera peut-être longue et minutieuse la marche que nous avons adoptée, en la comparant à celle qu’ont suivie Navicr, Poisson et d’autres savants ; mais il ne s’agissait pas seulement d’établir rapidement ces équations , il fallait bannir tous les doutes que l’ancienne méthode et ses résultats immédiats ont laissés dans l’esprit des géomètres et des physiciens. Nous croyons avoir atteint ce but. Notre marche réduit à néant toutes ces discussions sur la forme de la fonction F (£) , § 4, sur les grandeurs relatives de deux intégrales définies, dont les éléments se composent de cette fonction inconnue, multipliée par des puissances dillérentes de discussions qui

SUR L’ÉLASTICITÉ. * j ~]

prouvent uniquement que la question avait été mal abordée, puisque l’on voulait prendre pour principe le point même que la théorie doit éclaircir par ses déductions et ses conséquences nécessaires. Car, pour nous, cette fonction F (£) est complètement inconnue; nous n’avons besoin de présupposer aucune de ces lois, sinon que celte fonction est insensible dès que £, au contraire, est sensible, puisque les faits prouvent que toute adhésion cesse entre deux parties d’un même solide séparées par une distance appréciable.

Chez nous, plus d'intégrations autour d’un point, lesquelles supposent évidemment la continuité de la matière, hypothèse absurde et complètement inadmissible, même par abstraction; mais, au lieu de cette continuité imaginaire, existe la continuité réelle des déplacements géométriques , § 11 . Pour nous , le nombre des couples moléculaires, dont les actions composent la force élastique, est ou petit ou grand, et reste inconnu ou non déterminé. Par l’ancienne manière de voir, les solides homogènes d’élasticité constante étaient très-difficiles à concevoir, et, par suite, à admettre; on était obligé de recourir à une certaine moyenne d’intervalles moléculaires assez vaguement définie, et qui laissait planer, sur la théorie, le soupçon d’un certain genre d’approximation qu’il serait impossible d’évaluer. Ces difficultés et ce soupçon sont écartés par le fait analytique que nous avons signalé, §§ 17 et 20, savoir, qu’il peut exister, dans un solide , un mode de distribution des molécules, symétrique par rapport à des plans déterminés, et tel que le corps se déforme de la même manière lorsqu'il est tiré ou tordu, quelle que soit la direction de la ligne de traction ou de l’axe de torsion. F.nfin , la méthode de l’intégration autour d’un point conduit à l’égalité de deux coefficients (X , ut), et, par suite, à des formules usuelles , dont l’expérience a constaté l'inexactitude ;

par noire théorie, ces deux coefficients sont distincts, et leur rapport reste inconnu ou non déterminé. En un mot, s’appuyant sur des hypothèses, l’ancienne théorie avait établi des formules douteuses qui devaient expliquer tous les faits, et auxquelles la nature devait en quelque sorte obéir; tout au contraire, s’appuyant sur les faits, la nouvelle théorie ne suppose rien de ce qui nous est encore inconnu, elle démontre des formules qui sont à l’abri de tout doute, et qui peuvent réellement servir, de concert avec l’expérience et l’observation , à nous dévoiler les secrets de la nature physique.

sun l’élasticité.