SEPTIÈME LEÇON
Du travail des forces élastiques. — Théorème de M. Clapcyron. — Travail d’une traction. — Travail d’une compression. — Puissance d’un ressort. — Application aux constructions.
§ 3t. — Lorsqu’une force tire ou presse un corps solide, dont au moins trois points sont fixes, le produit de cette force par la projection , sur sa direction, du déplacement total qu’elle a fait subir à son point d’application, représente le double du travail effectué, depuis l'instant où le déplacement et la force étaient nuis . jusqu’à celui où le déplacement et la force ont atteint leurs valeurs finales. Soit, par exemple, un fil métallique, fixé verticalement par son extrémité supérieure , ayant une longueur /, une section <7, et qui se trouve allongé de a, sous une traction f s’exerçant à son autre extrémité; E étant le coefficient d’élasticité, on a , par sa définition ,
ou
de là on déduit
fda. =
a n 3 I eu
et si l’on désigne par F la traction finale, lorsque rallongement est définitivement a, il vient
n¥ — 2 jf fd'x.
Travail des forces élastiques
Ce qui démontre ou vérifie le lemrne énoncé , car j>
est évidemment le travail ellcctué.
Telle est l’expression connue, et seule enseignée, du travail des efforts exercés sur la surface d’un corps solide, et qui produisent sa déformation. M. Clapeyron a trouvé une autre expression du même travail, dans laquelle interviennent toutes les forces élastiques développées dans l’intérieur du corps solide. L’égalité de ces deux expressions constitue un théorème, ou plutôt un principe, analogue à celui des forces vives , et qui paraît avoir une importance égale pour les applications. Dans notre théorie, ce nouveau principe se démontre de la manière suivante.
Théorème § 32. — Il s’agit d’un corps solide homogène et d’élastih ciapejron. constante, parvenu à un état d’équilibre d’élasticité; on fait abstraction de son poids, ou des X 0 , Y 0 , Z 0 , § 28. Les équations déduites de l’équilibre de l’élément dxdydz se réduisent alors à
/ rfN, rfT, rfT,
I dx dy dz ° ’
\ dx dy dz
\ dx + dy + dZ 0 ’
les N,-, T, ayant les valeurs du § 26. Ajoutons ces trois équations après les avoir respectivement multipliées par (n, v, w); multiplions le résultat par dxdydz , pour l’intégrer dans toute l’étendue du corps; intégrons par partie, et séparément, les différents termes de l’intégrale triple; chaque terme , par exemple
u dxdy dz ,
SU H l’élasticité.
peut ètço remplacé par
du
dx
dx dy dz ;
et «le même pour tous les autres termes; si l’on interprète, comme au § 10, les intégrales doubles détachées par celle opération , on arrive facilement à l'équation
(X u -4- Yp 4- Z«>) ct
Le premier membre est la somme des produits des composantes des forces agissant sur la surface du solide, par les projections des déplacements subis par leurs points d’application; c’est la première expression connue, §31, du double du travail de la déformation ; le second membre en est donc une autre expression .
Lorsque le corps est homogène et d’élasticité constante, J C8 1(W1
d(x,y, z § 26, lesquelles donnent
. fe, +N, -t- N,
du N, — 10 dv N, — 10 «/«v N, — 10
dx 2 fi ’ dy 2 (a dz 2 p
/ dv div\ T, / dtv dtt\ T, / du dv \ T,
dy J u ' \ </x dz J u ’ dx ) (a
Substituant ces valeurs dans la parenthèse soumise à l’in té—
sont liés aux N,, T„ par les équations (i) du
8a LEÇONS
gration , au second membre de l’équation ( 2 ) , celle na réutilisé devient
À ( N, 4- N, 4- N.,)’ TJ H- TJ 4- TJ
et peut sc mettre sous la forme
— ; , N, 4- ^ ■+• Nj)’
— -(NjN,4-N,N, 4- N,N, — T; — TJ — TJ) P
Posons, pour simplifier,
( N, N,, 4 - N. N, 4 - N, N, — TJ — TJ — TJ = G ,
et rappelons la valeur du coefficient d'élasticité E, § 29; la parenthèse (4) devient ( EF* — - et l’équation ( 2 ) prend la forme
(6) 2( XH -+- Y, ’-*- z,v ) n = ///( Ef, -ïW' ft '
C’est cette équation qui constitue le théorème de M. Clapeyron. 11 faut remarquer que F et G (5) sont précisément les coefficients de l’équation ( 12 ), § 22, dont les racines sont les trois forces élastiques principales; que conséquem-
mentF, G, et, par suite, la parenthèse ^EF* — ^ conservent les mêmes valeurs numériques quand on change d’axes coordonnés. C’est-à-dire que cette parenthèse a une valeur déterminée et fixe, en chaque point du milieu; multipliée par l’élément de volume o>, quel qu’il soit, elle représente le double du travail intérieur de cet élément lui-même; et.
sun l’élasticité.
]a moitié du second membre de l’équation (fi) est la somme des travaux de tous les éléments, ou le travail du volume , total du corps. C’est ainsi que toutes les forces élastiques développées concourent à former la seconde expression du travail de la déformation.
§ 33. — On peut introduire dans l’expression
Travail
d’uliP traction
du travail de l’élément o>, les forces élastiques principales A, B, C, en remarquant que F est leur somme et G lasomme de leurs produits deux à deux; ce qui donne
