BC -I- CA -H AB
S’il n’existe qu'une seule force élastique principale A, les deux autres étant nulles, le travail de l'élément w est simplement — — • S’il en est ainsi dans toute l’étendue du
corps solide, de volume V, et si la force élastique principale unique est la même partout, le travail total du eorps élastique sera
EA r V
Cette circonstance sc présente souvent dans les applications. Par exemple, dans le cas d'un fil métallique de longueur/, de section c, qui s’est allongé de n, sous l’influence d’une traction finale F, § 31, la première expression du
travail de la traction étant —5 on obtiendra la seconde
en substituant, dans la formule (8), a l h \ , ~ h A, ce qui
donne — EF*; et ces deux expressions sont effectivement
l'ravnil dune compression.
fl r,, '
égales , puisque - = E -i d’après la définition du coefficient d’élasticité.
Si l’on n’avait pas fait abstraction des forces X 0 , Y 0 , Z 0 dans les équations (i), l’opération qui nous a conduit à l 'équation (a) aurait introduit, dans le premier membre, la somme 2 (X 0 içH- Y 0 e-|- Z 0 m)pw, on pM est l’élément de la masse. Dans le cas du fil pesant, tiré verticalement, que
nous venons de considérer, cette somme se réduit à — ? où p
est le poids du fil, ainsi qu’on le trouve aisément, en fai— *sant usage des formules du § 28. On devrait donc ajouter
le terme ^ à la première expression du travail de la
traction; mais ce terme disparaît, à cause de la petitesse de j> comparé à F.
§ 34. — S’il s’agit d’un corps solide homogène d’élasticité constante, et de forme quelconque, qu’une pression — P, exercée sur toute sa surface, a uniformément comprimé, § 29, les trois' forces élastiques principales sont égales entre clics et à — P dans toute l’étendue du corps. I.e travail de la compression du corps entier, dont le volume est V, sera ~ ^ V P ! , ou substituant à F. sa
valeur, plus simplement,
2 3 1 — t- 2 fi
VP’;
or, la compressibilité cubique est alors, cl partout , le volume total Y, devenu Y', a donc diminué de
3 X -f- 2 fi ’
3 PV
et l’expression du travail do la compression est définitivc-
ii.cn I
SU u l'élasticité.
Celle expression csl nulle quand N ' = \ . Mais il importe de remarquer que, en général, le travail d un corps élastique ne dépend pas uniquement des variations de volume; il peut même arriver que le travail soit très-considerable, sans que le volume ait changé. Ce caractère fondamental, qui sépare complètement les solides des fluides , se déduit très-nettement du théorème de :M. Clapcyron : en effet , si 0 = o, il s’ensuit (3)
N. +• N, -+- N, = o , ou F = o ;
N,Nj 4-N,N 1 4-»,N, = — i(NÎ -t-N; + NÎ)i
d’où
et l’on obtient définitivement
n; -+- -+• ai; +- ai; z-rj)
pour le travail de l’élément de volume»), invariable dans le cas actuel: et ce travail ne pourrait être nul que si les N>, T, étaient tous égaux à zéro, c’est-à-dire s’il n’y avait aucune force élastique développée.
Ç 35. — Supposons que le corps solide soit employé Puissunco
J r -iii» » f il on ressori-
coramc ressort pour amortir le choc d une masse M, ammée d’une vitesse U. La vitesse U ne s'annulera qu’en développant, sur le ressort, un certain travail dont le double est égal, comme on sait, au produit Ml 1 ; or, ce double travail est précisément égal au premier membre de l’équation (fi). On peut donc dire que la force vive amortie Mil* aura développe, dans 1 intérieur du corps élastique agis-
Application aux constructions.
sant comme ressort, un travail dont le double est représenté par le second membre de la même équation (6). La nature du ressort, sa forme, sa position relativement au choc, indiqueront généralement ceux des points intérieurs qui seront les plus actifs, c’est-à-dire ceux où les forces élastiques prendront le plus d’intensité. Or, cette intensité ne doit dépasser mille part une certaine limite, mesurée par l’expérience, et au delà de laquelle il y aurait à craindre des altérations permanentes. Si donc on donne cette valeurlimite à la plus grande des trois forces élastiques principales appartenant au point le plus actif, le second membre de la formule (6), calculé numériquement, mesurera le plus grand ell'et que l’on puisse attendre du ressort proposé, la plus grande force vive qu’il puisse amortir sans se détériorer, enfin, ce que l’on peut appeler sa puissance.
Le second membre de l'équation ((S) étant ainsi l’expression analytique de la puissance d’un ressort, on pourra y faire varier les quantités dont on peut disposer, savoir les dimensions et les directions relatives des différentes parties, de telle sorte que cette puissance soit la plus grande possible sous le même volume ou pour le même poids. C’est ce problème général, dont la solution intéresse un grand nombre d’industries, que M. Clapeyron avait jen vue, lorsqu'il a trouvé son théorème. Nous lui laisserons le soin de publier les résultats qu’il a obtenus sur la théorie des ressorts, et nous indiquerons une autre application du même principe.
§ 36. — Lors de l’établissement de toute construction, de quelque genre qu’elle soit, ce principe fournira une relation dont on pourra faire usage, pour trouver les proportions les plus convenables des différentes parties de cette construction. Généralement on dispose les difïcrcntes pièces, en charpente ou en fer, de telle sorte qu’elles éprou-
SU» I, lOI.ASTlCITK. 87
veut dos olldi Is dii igés dans le sens do leur longueur ; c'està-dire (ju'il n’y ait, en chaque point intérieur, qu’une force élastique principale, la même dans toute l’étendue d’une même pièce. Si 1 une de ces pièces, de longueur /, de section 7, d’une substance dont E est le coefficient d’élasticité, est tirée ou pressée par une force F agissant longitude’
dinalcmcul, - sera la force élastique principale unique , et
le double travail de
pièce sera
ou
- F*/; 7', E', P représentant les mêmes choses pour une
seconde pièce, 7 ", E", F", pour une troisième, etc., le
double travail intérieur et total sera
Par exemple, si la construction dont il s’agit est destinée à supjwrler un poids II, a étant la tlcxiou, ou la quantité dont ce poids s’abaissera par suite du resserrement ou de l’extension des diverses pièces, on aura
lin = - F ! / -t- -, F ' 1 F " 2 /"
Généralement, les clforts F se déduiront de II par les règles ordinaires de la Statique , en ayant égard à la disposition relative des pièces assemblées; chacun d’eux F w sera égal à II multiplié par un facteur trigonométrique la relation (9) deviendra alors, en divisant par II,
(10) n — ( — / -t — — < y’’ /’H — '~r, nj"' l -4- • • • J n.
’ c fj n J
Eu outre, la distribution et la disposition des pièces établira des rapports entre leurs longueurs /' ,J ; chacune d’elles / ,J sera égale à une certaine longueur I, multipliée par un facteur trigonométrique tL*' 1 ; la relation (10) prendra la
forme
Sous toutes ces formes, on voit que la flexion a restera la même si on change la nature d'une des pièces, en lui conservant la même longueur , pourvu que la nouvelle section s (i> soit à l’ancienne cr < * ) , comme le nouveau coefficient d’élasticité C est à l'ancien E 1 ^ ; la relation (i i) deviendra
C étant le coefficient d’élasticité d’un seul genre de corps qui remplacerait toutes les pièces; 5, s 1 , s étant les diverses sections qu’il devrait avoir.
11 conviendra de donner aux sections s® des grandeurs proportionnelles aux efforts longitudinaux (f,- 17 , supportés par les pièces correspondantes , afin que ces pièces ne travaillent pas plus les unes que les autres, ou que la force élastique principale ait la même valeur absolue dans toute la construction. Posant donc
il viendra définitivement
<Jle> j
(l4) a (?’}' “f - f" + • • •) CLa^o.
Si l’on connaît la limite que la force élastique principale unique ne doit pas dépasser, et que <A, soit cette limite, le
poids II ne devra pas surpasser , et la dernière valeur
de a sera la limite de la flexion. Or, si plusieurs des angles qui entrent dans la parenthèse trigonométrique 4- q/tj/ -f- + ...) sont indéterminés, on pourra
en disposer de telle sorte que cette parenthèse, et par suite
sun l'élasticité. 89
la flexion n, soit un minimum. Cela fait, la construction proposée satisfera évidemment aux conditions du moindre volume et du maximum de stabilité, relativement au but qu’elle doit remplir, celui de supporter le poids IL
§ 37 . — Prenons pour exemple le cas simple d’un assemblage triangulaire ABC, composé de deux pièces de charpente également inclinées, AB, AC, et d’une pièce horizontale BC qui relie les deux premières; ces trois pièces sont de même nature, E est leur coefficient d’élasticité. Un effort vertical II s’exerce au sommet A , qu’il fait fléchir verticalement de a-, chaque pièce inclinée, AB ou AC , est pressée longitudinalement par une force F, telle que
Il = 2F cos a , a étant le demi -angle en A ; d’où F = — — :
2 cos a
la pièce horizontale BC est tirée longitudinalement par une
force = F sin a = ° Sm * : les trois pièces ont d’abord la 2 cos a ' 1 ,
même section <7 ; BC = L ; la longueur / de chaque pièce
inclinée est telle, que il sin a = L, d'où / = — ^ — ; l’ap- ’ 1 2 sin a 1
pareil est disposé verticalement sur des supports rigides en B et C; que le plan horizontal passant par B et C s’abaisse ou ne s’abaisse pas , c’est à ce plan supposé fixe que nous rapportons le mouvement relatif a. On aura , d’après la formule (9),
*rjL(ï y +L (s*îî)n î
a LSina\2COSa/ \ 2 cos a/ J
d’où l’on conclut
RL II / 1 -f- sin 3 a v
4 a \ sin a cos’ a J
Si l’on demande pour quel angle a la flexion a sera un
Cas d'un assemblai:?
triangulaire
minimum, on remarquera que
sin-a
-+- sin a
sin a cos’a sin a cos’a
sin a (i — sin a)
et l’on voit de suite que le minimum cherché correspond à sin a = j, c’est-à-dire au cas où le triangle ABC est équilatéral ; la parenthèse trigouométrique de a est alors égale
... ,, 3 EL ri
a 3 , et I on a a — 7
Mais, pour que les différentes pièces travaillent également, il faut leur donner des sections proportionnelles à leurs efforts longitudinaux; alors, a étant la section des pièces inclinées, a sin a sera celle de la pièce horizontale , ce qui donnera , en appliquant encore la formule ( y) ,
ELII / i -4- sin 2 a\
4 <r \ sin a cos’ a /
rapportons cette valeur à la limite <A. de la force élastique
