EL .A

i -+- sin 1 a\ sin a cos a J

Si l’on veut maintenant disposer de l’angle a de telle sorte

da ,

que a soit un minimum, on trouve, en égalant — à zéro,

lang a = c’est-à-dire que la hauteur h du triangle ABC V2

doit être la moitié de la diagonale du carré dont le côté est L ; alors la li mi te de 0 , ou de 2 A, 1 cos a , est 2 ^ ^ ■ a X ; celle de a devient « F, A h .

SL’ Il l’élasticité. 91

§ 38. — 11 csl facile de traiter de la même manière des r.aprrucimassemblages plus complexes, formés de pièces de bois, de eénémuuitoi» fer ou de fonte, destinés à s’opposer à des efforts d'autre nature. Dans tous ces cas divers, on déduit du théorème de M. Clapeyron , que l’on peut appeler principe du travail des forces élastiques , les dispositions les plus avantageuses de la construction qu’on étudie. Jamais, je crois, on ne s’était approché aussi près de la solution générale du fameux problème des solides d'égale résistance , qui préoccupait tant Girard, et dont la nature a donné des exemples si remarquables. ÏSous aurons l’occasion d’appliquer le principe du travail des forces élastiques à divers cas d’équilibre d’élasticité. On verra tpie ce principe conduit directement à la relation la plus importante, parmi toutes celles qui résolvent la question , et que l'on eût pu d’ailleurs démontrer d’une autre manière; c’est , comme l'on sait , une propriété remarquable du principe des forces vives en Mécanique rationnelle. En outre, les deux principes sont également précieux, en ce qu’ils donnent les moyens d évaluer des travaux résistants, qui resteraient inconnus sans leur emploi.

En réalité, l'un vaut l'autre, ou peut-être le nouveau n’est-il qu’une extension , qu’une transformation de l’ancien.

La marche que M.. Clapeyron a suivie pour établir sou théorème, justifie cette idée d’une manière frappante: adoptant la méthode de Navier. il reproduit l’équation générale et unique de l’équilibre iutéricurdcs corps solides élastiques, déduite de l’application du principe des vitesses virtuelles; puis il substitue, dans cette équation générale, les déplacements réels (n, v, ie), aux déplacements virtuels (d// , de, die) ; et l’équation particulière qui résulte de cette substitution, étant convenablement transformée, le conduit à L équation (fi). La répugnance que nous devons avoir mai u- "lenant, pour toute méthode qui évalue les forces élastiques

LliCONS

à l'aide d’intégrations autour d’un point, nous a fait rejeter ce mode de démonstration ; si celui que nous avons adopté est réellement plus simple, cette simplicité repose en partie sur les préliminaires dont nous pouvions disposer, et ne peut d'ailleurs entrer en parallèle avec le mérite de l’invention; le seul avantage qui lui appartienne, c’est de mettre à l’abri de tout doute uh principe utile, qui ne pouvait se déduire que de la théorie mathématique de l'élasticité , dont il résume les propriétés les plus importantes.

* L’objet de la Leçon actuelle fait naître une réflexion; admettons que le théorème de M. Clapeyron ne soit pas un principe nouveau, qu’il soit une extension, une transformation du principe des forces vives, ou, pour parler un langage aujourd’hui de mode, du principe du travail. Celte extension est toujours une conquête de plus , pour le même principe du travail, déjà si riche de conséquences. Apportet-elle un nouveau motif pour réduire l’enseignement à ce seul principe , pour bannir ou négliger l’usage approfondi de l’analyse dans les cours de Mécanique rationnelle? Mais ce serait abandonner l’instrument créateur, pour lui substituer une chose créée, complètement incapable de s’étendre par elle-même. C’est ce qu’ont pensé Navicr, Coriolis et M. Clapeyron: géomètres avant d’être ingénieurs, ils ont eu recours à l’analyse mathématique, aux anciennes méthodes de la Mécanique rationnelle, pour résoudre les problèmes dont ils lisaient, et l’énoncé et l’utilité, dans leurs connaissances pratiques. Aussi ont-ils réussi; s’ils n’avaient voulu se servir que du principe du travail, ce principe attendrait encore ses plus belles propriétés.

SUR l/ÉLASTJClfÉ.