HUITIÈME LEÇON

Équilibre et dilatation d’un fil élastique. — Cordes vibrantes. — Lois des vibrations transversales ot longitudinales des cordes.— Sons simultanés.

§ 39. — Après avoir établi les équations et étudié les propriétés générales de l’élasticité considérée dans les corps solides homogènes, il convient de les appliquer d’abord aux deux cas extrêmes d’un fil ou d’une corde mince , d’une surface élastique ou d’une membrane , en équilibre ou en vibration. Ces deux questions ont été traitées, à l’aide de principes particuliers, longtemps avant la création de la théorie mathématique de l’élasticité. Il importe de faire voir aujourd’hui que la mise en équation de ces anciens problèmes rentre dans la théorie générale. C’est ce qu’a pensé Poisson et ce que nous essayerons après lui , d’une manière plus rapide et peut-être plus simple.

Les anciens géomètres ont pu croire qu’avant d’étudier les corps élastiques à trois dimensions finies, il convenait d’essayer d’abord les fils minces et les membranes peu épaisses; c'est-à-dire les lignes et les surfaces avant les so lides. Mais cette marche, qui paraissait naturelle et logique, a complètement manqué son but, car la vraie théorie de l'élasticité n’a rien emprunté à ces premiers essais; elle est née tout à fait en dehors de ce champ d’exploration. Ces études préliminaires ont été néanmoins très-utiles, mais sous un autre rapport : façonnant en quelque sorte les mathématiques au maniement des phénomènes naturels, elles ont abordé et résolu les problèmes généraux d'analyse que l’on retrouve dans toutes les questions de Physique mathématique. ,

Lignes cl surface» élastiques.

équilibre d'un (U étatique.

En réalité, les lignes, les surfaces élastiques sont des abstractions, et leur étude, intéressante d’ailleurs, ne peut conduire qu’à des découvertes purement analytiques. Dans la nature , le diamètre d’un fil , l’épa : sseur d’une membrane ont toujours des dimensions appréciables, quoique trèspetites, et les forces élastiques peuvent y éprouver de trèsgrandes variations; si l’on suppose qu’elles y conservent la même intensité, on veut considérer un cas particulier, et il faut avoir recours à la théorie générale pour savoir si ce cas est possible et à quelles conditions; absolument comme s’il s’agissait d’un corps d’une antre forme, dont aucune dimension ne serait très-petite. En un mot, les deux cas extrêmes dont il s’agit sont deux exemples à traiter, et ce ne sont pas les plus simples.

§ 40. — Dans un milieu solide homogène et d’élasticité constante, tel que nous l’avons défini et étudié, imaginons un filet à axe courbe, dont la section z s , normale à cet axe, soit partout très-petite. Supposons qu’il soit possible que des forces agissant sur les sections extrêmes de ce filet et sur les différentes parties de sa masse, puissent maintenir son équilibre d’élasticité sans exiger qu’aucune force élastique agisse sur sa surface latérale, et de telle sorte que les forces élastiques exercées sur une même section ta , aient la même direction et la même intensité sur toute l’étendue de cette section. Cet équilibre ne sera pas troublé si l'on vient à enlever le reste du milieu, et il ne restera que le filet ou un fil , tel qu’on le considère en Mécanique rationnelle. Prenons pour variable indépendante l'arc s de l’axe courbe, comptée partir d’une des extrémités du fil jusqu’au point M,

... dx dy ilz , . .

que nous considérons; — > —-■> — seront les cosinus des an- 1 ’ ds ds du

glcs que fait, avec les axes rectilignes des (ar,j, z ), la tangente à l’àxe courbe en M, ou la normale à la section tô

SUU L’ ÉLASTICITÉ. ()5

faite an même point; les composantes de la force élastique exercée sur cette section auront pour valeurs, d’après les formules (8) du § 9,

tlx dr dz

x= * + r ‘* + T 'Â’ JT=T.ÿ+S.4 + T.^,

fis tls fis

<lx c/) „ rf:

f/j fis ris

Dans les circonstances supposées, considérons un élément c r r/5, compris entre deux sections normales u et 13 ', infiniment voisines. Sous l’action des forces élastiques ( — Xo, — Y et , — Lu) sur u, des autres composantes

f/Z GJ

[ ( Xn + (Ya + dY £- (zbt , ^

sur nr', et des forces extérieures (oX 0 bA, pY 0 utls , pL^urfs) sur la masse pu (h , cet élément doit être en équilibre; et cet équilibre s’exprimera par les équations

rfXc

• pX, BT

d Y BT ds

+- 0 Y j ET = O,

d'Lrz

-f- ù Zi) TS

où p est la densité du fil en M, si les forces élastiques sont nulles sur la surface latérale de ut/s, qui fait partie de celle du fil. Voyons s’il est possible que cette dernière condition soit satisfaite.

Soient (m, n , p) les cosinus des angles que fait, avec les axes rectilignes, une normale quelconque en un point M' du périmètre de 13 , laquelle normale peut être considérée comme étant perpendiculaire à la tangente à l’axe courbe; on aura d’abord, entre ces cosinus, les deux relations

dx d\ dz

Ts +

96 leçons

On admet que les ÏN, , T, conservent les mêmes valeurs surtoute l’étendue de la section vs , et conséquemment sur tout son périmètre ; la force élastique exercée latéralement en M' aura donc ses composantes exprimées par les seconds membres des équations ( 8 ) , § 9, déjà citées 5 et, puisque cette force élastique doit être nulle, il faudra que l’on ait

1 N t rn -}- T 3 n -|- T 3 p = o ,

T, ni -4- T, n -f- N 3 p — o ;

et cela pour toutes les positions de M'; c’est-à-dire quels que soient les cosinus ( m , n , p ) , vérifiant d’ailleurs les équations (3) et (4). De là résulte la nécessité que chacune des trois équations (5) soit identique avec l’équation (4) ; car si le groupe (5) fournissait une équation distincte de (4), cette équation, jointe aux relations (3) et (4), suffirait pour déterminer m, n, p-, c’est-à-dire qu’en deux éléments , au plus, de la surface latérale, la force élastique serait nulle , tandis qu’il en doit être de même pour tous les éléments.

On verra facilement que l’identification des trois équations (5) , avec l’équation unique (4) , exige que l’on ait

y, y, n 3 t, Ti t 3

/ il je \ 1 / dy\* / (7z \ 5 il y dz dz dx dx dy '

\d.i ) y \ds J ds ds ds du ds ds

ou bien , T étant une certaine fonction , valeur commune des rapports précédents , on doit avoir

T — ■ — ds ds 1

t— . ^ • ds ds ’

cl ces valeurs des JN., T, peuvent seules rendre nulles les

SUU 1.’ ÉLASTICITÉ. yj

forces élastiques sur toute la surface latérale du fil, quelle que soit d’ailleurs la fonction T. Si l’on substitue ces mêmes valeurs ( 6 ) dans les équations (i), on trouve, en rappelant

f » uc (ê)’ + (S) + (S) = ■’ simplentcnt

X = T ^ , Y = T ^ , Z = T ~ , ns as fis

ce qui indique à la fois , et que la fonction T est la grandeur de la force élastique exercée sur la section cr, et que celte force doit agir normalement, ou doit être parallèle à la tangente à l’axe courbe du fil. Ainsi définie, la fonction ou la force élastique T est ce qu’on appelle la tension du fil au point M.

Mais il faut encore que les équations (2) soient satisfaites, sinon le fil ne serait pas en équilibre. Par la substitution des valeurs nécessaires (7), ces équations ^2) deviennent

, t dx dy

fl . CT T — fl . CT 1 —

fis fis

-f- p ct X,, — O, f- p ct Y fl =r: o ,

fis

(/.BT7

fis

p rr Z 9 o ,

ou, en développant,

dx rfcT • ds ds

CT T — h p CT X , O ,

fis

dy du T „ ds

— ■ + nT — ; —

ils ds ds

pciY, = o.

du T

-+- nT

•+■ pmZ„ = o.

LEt'ONS

Dilatation

ila m.

Si l’on ajoute ces trois équations, respectivement multipliées par (dx, dy, dz ), en observant que

( ^ dx i iljr

I dx ds dy ils

dz ds

\ ds ds (is ds

t/s ds

obtient pour résultat

) i/.nT -t- pci [\„dx -)- Y„dj

-4- 7j#(Iz

Les équations (8) peuvent servir à résoudre deux problèmes inverses : si la forme du 111 est connue , ainsi que nous l’avons supposé, ces équations donneront, par l’élimination de T à l’aide de l’équation ( 10 ), deux conditions que devront vérifier les forces extérieures (X 0 , Y 0 , Z 0 ), pour que le filet, puisse être en équilibre d’élasticité; ces conditions étant remplies, l'intégration de la ditî’érentielle (to), entre des limites données, déterminera la tension T en chaque point du fil. Si , au contraire, on connaît les forces extérieures (Xo 5 Y 0 , Z 0 ), en fonction de (x,y, s), les équations (8) doivent déterminer la forme du fil qu’elles pourraient maintenir en équilibre d’élasticité, et ensuite les lois qui régissent la tension. Ces deux questions sont traitées d’une manière très-simple et très- élégante dans le Cours de Mécanique rationnelle, et doivent y rester.

§ il. — Mais ce qui appartient à la théorie de l’élasticité, ce qu’elle seule peut mesurer, c’est la dilatation linéaire qui accompagne la tension, ou que cette tension détermine sur chaque élément du fil. Désignons par o la dilatation linéaire dont il s’agit, en sorte que l’élément de l’axe courbe en M, qui était primitivement ds, soit devenu (1 + i) dt.; on déterminera celte inconnue delà manière la plus simple, en faisant usage du théorème de M. Clapcyron. Appliquée

suit l'élasticité. 99

au seul élément vsils du fil, l'équation qui constitue ce théorème se réduit à

( 1 1 ) T a . 8 .cls = ^EF 7 — — J ci tls ,

car le terme en X 0 , Y 0 , Z 0 qu’il faudrait ajouter au premier membre, § 33, disparait, comme étant un infiniment petit d’ordre supérieur à celui des termes conservés. Or, par les valeurs (6), les fonctions F et G (5), § 32, sont ici F = T, G = o; l'équation (ii) donne alors, en réduisant,

(12) o = ET ;

c’est-à-dire que la dilatation cherchée en M est égale à la tension au même point, multipliée par leyoellicient d’élasticité.

On voit, de plus, que le travail de l’élément élastique tj ds a pour expression, soit jT à.tu/s, soit j ET* . usds. On remarquera, enfin, que l'équation ( 12 ), § 22, dont les racines sont les trois forces élastiques principales en M, se réduit, dans le cas actuel, à A 3 — T.A* = 0 ; car F ctG'sont les coefficients du deuxième ctdu troisième terme, et, par les valeurs (G), non-seulement F = T, G = o, mais le dernier terme de la même équation est nul aussi. Donc, en chaque point du fil, des trois forces élastiques principales, deux sont milles, la troisième est la tension T, et se dirige suivant la tangente au fil } propriété qui indique clairement comment toutes les conditions imposées peuvent constituer un cas particulier, réellement compris dans la théorie générale de l’élasticité.

§ 42. — Un fil homogène, .de section et constante, est tendu sur Taxe des ;c, par un poids P qui a augmenté sa longueur / de a; on l’écarte un peu de la position en ligne droite qu’il occupe entre ses extrémités fixes , puis on 1 aban-

Corde

vibrante.

IOO LEÇONS

donne ; le fil ou la corde entre en vibration : il s’agit de trouver les lois de ce mouvement vibratoire. A une époque t, un point du fil , qui avait primitivement pour coordonnées (x , y — o z — o), aura pour nouvelles coordonnées ( x -f- u„ -|- U , j=o + t', z=o-t-m); i / 0 simplement fonction de x étant le déplacement dû à la traction opérée par le poids P ; U , o, ie, fonctions de x et de t , étant les projections du déplacement dû au mouvement vibratoire. Ici la somme (;/ 0 -t- U) compose et remplace la projection u\ la

... . , . , , . du ! du, r/U\ ,,

dilatation linéaire 6 ( 12 ) est — ou I — - 4 - — I , et 1 on a

Or — est la dilatation produite par le poids P seul , et sans dx

mouvement subséquent , elle est constante dans toute l’étendue du fil , et égale à y ; on a donc

a rfU d T 1 rf’U

7 dx ’ dx E dx' 1

A l’époque t considérée, le fil forme une courbe, différant très -peu de l’axe des x ; la différentielle ds = \jdx* -|- dy* -f- dz 1 de l’arc de cette courbe, puisque^ et z se réduisent à e et iv, devient ds — \J dx * -t- r/e* -f- dw* ; or les <7e, d\v sont négligeables devant les dx , dans le genre d’approximation que nous adoptons, ou pourra donc prendre

die

ds = dx, — - — 1 , dy = dv , dz — dw.

On admet que le poids P qui tend la corde est assez grand : i° pour que j soit toujours incomparablement plus grand

loi

'/II r .

nue -7— > u ou

SUR l.’ÉLASTIUITIC.

et 2° pour qu'on puisse négliger le poids des différentes parties de la eorde.

D’après ces relations et ces conditions diverses , les X„ , ^ 0 ) Z 0 , des équations ( 8 ), se réduiront aux forces d’inertie '/'IJ d 1 e rf’iv

— — jjp* — ~dp' 01 ’ puisque nr est constant, que ils

est égal à dx , ces équations deviennent , dans le cas actuel ,

l P rf’U '/'U P d 7 v d’v P d 7 u/ d'tv

a o rlx : ' dt 7 çt dx‘ dt 1 ’ a d.c ' * dt 7

Appelant p le poids total de la corde , dont la longueur est /, la section n, la densité 0, d’où p = gpvsl, et ors — —1 011 peut écrire ainsi ces équations ,

d 7 U 8^ /■ g P ^d 7 v rl’iv gP

fit 7 a p dx 7 dt 7 p rlx 7 ’ fit 7 p dt 1 ’

et si l’on pose, pour simplifier,

on obtient définitivement

</'U '/'U d 7 v à 7 v d 7 w tl ‘ iv

M lit 7 =n FF' dF~ b 'dl 7 ' ÜF =b dF'

équations bien connues du problème des cordes vibrantes; la première renferme la loi des vibrations longitudinales, l’une des deux autres celle des vibrations transversales.

Yibraliou»

transversales.

§ 43 . — La connaissance de ces lois résultede l’intégration des équations aux différences partielles (17) que 1 on donne, avec tous les détails nécessaires, dans les-Cours de Calcul infinitésimal et d’ Algèbre supérieure. On sait que cette intégration peut se faire de deux manières : par des fonctions arbitraires, et par des séries trigonomélriques à coefficients indéterminés. Les conditions données, qui résultent de la fixité des extrémités de la corde et de l'état initial du mouvement, font connaître soit la forme et la nature des fonctions arbitraires, soit les valeurs nécessaires des coefficients indéterminés. Dans la méthode d’intégration par série tri— gonométrique, chaque terme de U, u ou te, vérifie seul l’équation aux différences partielles (17 ) correspondante, et satisfait à la condition de fixité des extrémités; son coefficient est déduit, avec tous les autres, de l’état initial ; or, l’état initial pourrait être tel que ce terme existât seul; il représente donc un des mouvements vibratoires possibles. Le mouvement général de la corde résultede la coexistence ou de la superposition de tous les mouvements simples représentés par les différents termes de la série; et l’état initial, qui détermine les coefficients, assigne à ces mouvements partiels leurs amplitudes relatives.

Considérons les vibrations transversales. Supposons que chaque point de la corde ait été écarté et vibre ensuite, parallèlement à l’axe des z , ou que U = o, r> = o; il ne restera des équations (17) que la troisième,

tl'w

~dr ~ ~dx''

Chaque terme de la série iv sera de la forme

. . x bt

te, = Ai sin nt — cos mt — ,

Ai étant son coefficient et i un nombre entier quelconque.

suit l'élasticité. . lo3

Ce terme (ty) vérifie l'équation aux différences parlielles («8), donne iv, = o, <|uel que soit £, pour x = o, x= /, coordonnées des extrémités fixes. 11 représente un état vibratoire particulier dont voici la loi : Si G, représente la durée d une vibration complète; si X,- est le nombre des vibrations exécutées pendant la seconde i " , prise pour unité de temps, ou la hauteur du son correspondant, on aura nécessairement

Si l’on prend pour unité ou pour son fondamental celui pour lequel i = i, et qui a pour mesure

tous les sons simples de la corde vibrante, et qui sont représentés par les différents termes de la série

. w-\ . .r bt

(21) <«• = ^ A, sin ir. - eos ir — »

formeront la suite naturelle 1 , 2 , 3 , 4 > 5,... , dont la hase est le son n ( 20 ). Si la corde figure un cylindre de rayon /■, on a /> — pg.zr' /, et

C’est sous celle forme qu'on évalue le son fondamental d'une corde dans le Cours de Physique; les lois de ses variations, quand la longueur /, le rayon r, la tension P, la densité p viennent à changer, s’expriment alors par autant de proportions dont l’expérience vérifie l’exactitude. On vérifie aussi la position des nœuds et des ventres de vibration, lorsque la corde produit un des sons X,; si 1 est plus grand

Sons

simultanés.

que I unité, et qu on imagine la longueur l partagée en i parties égales, les points de division seront immobiles comme les extrémités, car te, ( 19 ) est nul , quel que soit l , pour les valeurs de x appartenant à ces points qu’on appelle nœuds ; les milieux des parties aliquotes , où l’amplitude de la vibration est la plus grande , sont les ventres.

§ 44. — La série (ai) donnant o quand t — o, se

rapporte au cas où les points de la corde, d’abord écartés, ont été abandonnés sans vitesse. Les coefficients A, se déterminent par la condition que

{ 22 ) ^ A, sin inj = F(j) ,

F (x) exprimant la loi donnée des écarts primitifs, c’est-àdire des valeurs de tv lors de l’état initial, ou pour i = o; or, cotante ou le sait, le premier membre de l’équation ( 22 ) donnera les mêmes valeurs que F(.r), de x — a à x= l, si l’on prend

F (p) sin i7r y d p.

Supposons, par exemple, que la corde, pincée en sou milieu, ait eu pour forme initiale un triangle isocèle de hauteur /t, ayant la longueur l pour base; alors, pour obtenir l’intégrale définie (23), il suffit d’intégrer de (3 = o à l 2 h

(3 = en prenant F (fi) = — (3, et de doubler le résultat ; on trouve ainsi

8/1 ros j tt ( 2 / 4 - !)’*’’

SLIï l'élasticité.

cl la série (21) devient

x bt . ry x bt

sin n j cos n -j sin in - cos i n -j

: x bt

SI» 5 K - cos 5 k —

c’csl-à-dire que, dans le cas actuel , la corde produira à la fois, ou simultanément, le son n (20) pris pour unité, et

les sons 3 , 5 , , ou l’octave de la quinte, la double octave

delà tierce...; l’amplitude du premier son étant 1, celle du second sera -j, celle du troisième 7^...; cc f l 11 * explique pourquoi l'oreille ne distinguera bien nettement que le premier sou.

Pour que la corde ue produisit qu’un seul son îô. , sans mélange d’aucun autre, il faudrait que la série -.2(21) 11e contint que le seul terme en /, ou que, de tous les coellicients, A, existât seul, les autres étant nuis. Or, il sullirait, pour cela, que la forme initiale de la corde fût la courbe sinusoïdale dont l’équation est

(24) z — h sili in j = F^x).

En effet, on sait, et l’on vérifie d’ailleurs facilement, l’intégrale

sin in j sm i n y dp

que

est zéro quand l’entier i' dillëre de /’, et - quand i —

donc, avec la valeur (24) de F (-c), la formule ( 23 ) donnera A ,< = o, A, = h, et ie (21) deviendra

ie = h sin i

sin i n

ce qui justifie les interprétations du § 13 .

Vibrations

longitudinales.

1 06 l.liÇONS

§ 4 o. — Quand la cordc, à la suite d’un frottement parallèle à la lougucur, exécute des vibrations longitudinales, on a t'nro, w=o, et la première des équations (17) existe seule. L’étude de la série U se fait absolument de la mémo manière que celle de la série iv, avec cette seule différence, qu’au lieu de b, il faudra prendre a (16). Ainsi, les sons résultant des vibrations longitudinales formeront une suite naturelle 1, 2, 3 , 4 i 5 ,..., dont la base, ou le son fondamental, pris pour unité, aura pour mesure

On remarquera que le rapport des sons n' et n est

Fi— /n?

L’exactitude de ce rapport a été vérifiée par l’expérience.

SUR l’élasticité.