NEUVIÈME LEÇON

Équilibre des surfaces élastiques. — Cas d’une membrane plane. — Equation qui régit les petits mouvements d’une membrane plane et tendue. — Intégration de cette équation.

§ -4(5. — Après l’exemple du (il en équilibre ou de la corde vibrante, vient celui de la surface ou de la membrane élastique. Ce nouvel exemple est à la fois plus simple et plus compliqué : plus simple, en ce qu’il correspond à un cas moins exceptionnel , moins ombilical en quelque sorte, de la théorie générale de l’élasticité; plus compliqué , en ce * qu il exige l’emploi de fonctions d’un plus grand nombre de variables. Sous le premier point de vue, on voit que la théorie de l’élasticité s’applique, généralement aux corps solides dont aucune dimension n’est très-petite, exceptionnellement aux membranes peu épaisses, plus exceptionnellement encore aux fils trcs-minccs. Ordre tout à fait inverse de celui qui se déduirait logiquement des abstractions de la Géométrie. L’ignorance de celte anomalie apparente, cl qu’il était difficile de prévoir, est venue s’ajouter à l’abus des méthodes et des lois de la Mécanique céleste, pour retarder les véritables progrès de la théorie de l’élasticité.

Dans un milieu homogène et d’élasticité constante, tel que nous l’avons défini, imaginons une sorte de feuille courbe, comprise entre deux surfaces extrêmement voisines, ou dont l’épaisseur e soit partout très-petite. Supposons qu’il soit possible que des forces agissant sur le contour de celte feuille et sur les différentes parties de sa masse , puissent maintenir son équilibre, sans exiger qu’aucune force élastique s’exerce sur ses deux faces, et de telle sorte que les forces élastiques intérieures aient la même direction

Kquilibro do la surface élastique

et la mt'mc intensité sur toute l’étendue de la ligue qui mesure l’épaisseur £ ; cet équilibre ne sera pas troublé si l’on enlève le reste du milieu, et il ne restera que la feuille ou la membrane élastique telle que les géomètres la considèrent. Supposons la membrane telle , et tellement disposée par rapport au plan horizontal des xj , que toute verticale parallèle aux z rencontre ses deux faces en deux points toujours très-voisins. Soit

l’équation de la surface qui occupe une position moyenne entre les deux faces, et soit M un point de cette surface. Le plan tangent à la surface, en M , aura pour équation

dz dz

(2) dz —pdx -f- qdy, où p = — > <7 = ^ ;

si l’on désigne par (a, /3, y) les angles que la normale au même point fait avec les axes des (x ,jr, z), on aura , connue l’on sait ,

\ cos 7 = T ’ h — V ' + P' -+- <l\

( cos x = — p cos 7 , cos §=. — q cos 7.

On peut admettre que celte normale à la surface moyenne coupe aussi normalement les deux faces de la membrane, et que l’épaisseur e se mesure sur elle.

Par hypothèse, sur toute l’étendue de e, et conséquemment aussi à ses extrémités, les N,, T, doivent avoir les mêmes valeurs qu’au point M : donc , si les forces élastiques sont nullcs sur les faces, il faudra , d’après les formules (8), § P , que l’on ait

N, cos a -t- Tj cos (3 -t- T, cos 7 = 0,

T., cos ï + iL cos (3 4- T, cos 7 = 0,

T, cos a -t- T, cos (5 -f- N : , cos 7 = 0 ,