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le triangle ayant pour hauteur h = 3 /, etpour côté a — il\'i , ou peut écrire

(16) Jh((*,v)

+ fi-j H- v 2

Telle est l’expression générale de tous les sons, à l’uuisson desquels la membrane triangulaire équilatérale peut vibrer. Ces sons se distribuent en autant de séries qu’il existe d’arguments m de la forme ( u? -4- pv 4- v 8 ), non carrés, et non divisibles par un carré. 11 y a de plus une série ayant pour

base virtuelle

et qui comprend toutes les solutions

en nombres entiers de l’équation

[A 2 -4- ,MV ~h V 2 = J* ;

le son X> = 7 -- > qui correspond h fx = 5 , v — 3 , appartient à cette série. A un même son peuvent appartenir plusieurs termes de W ; c’est ce qui arrive, par exemple, pour la

base de la série dont l’argument est 91 , car on a % = ~ y/9 1 , en prenant, soit (p — 6 , v = 5 ), soit (p = 9 , y = 1). Eu général , pour trouver tous les termes du son 0 Z> = J ~ y/m, il faut avoir recours aux solutions entières de l’équation

u 7 -f- y.'j H- v 1 = ni J%

lorsque J est de l'espèce des arguments, ou de la forme («* -f- 36’), car on a identiquement

Le son le plus grave de la membrane triangulaire est = y ; c'est aussi le son le plus grave d’une membrane carrée dont la diagonale serait M 33. Quand (y, v) sont tels que — y-ltJL es t ] a somme de deux carrés (a* -+- (S*),

le son devient 3T> = ' cl appartient aussi à la mem-

brane carrée dont le côté serait - ; c'est le barré inscriptiblc dans le triangle: celte circonsiance a lieu, parexemple, pour ( y = 5 , v = a) d’où Jô = c \J 1 3, pour (y. = i o, v = y) d’où

•70 = ^ 73 . Lors(jue v — y,/. = — au , ou que les deux nombres (y, v) sont égaux, le son appartient à la série dont ( * ^ est la base; on parvient alors à mettre la somme N ( 12 ) sous la forme

V = OSItl UL7T -r SIU U7T — Sin U 17 — >

où p [,) = l — P 10 , en sorte t|ue ( />, />', p") sont les distances d’un point de la membrane aux trois côtés du contour; le système nodal, provenant de l’annulation de celte valeur de V, se compose de droites parallèles aux côtés, lesquelles partagent la membrane en y * concamérations triangulaires égales. Pour les sons des autres séries, où (y, v) sont inégaux, le système nodal peut être beaucoup plus complique et souvent courbe.

* L'objet decellc Leçon paraîtra sans doute fort peu important aux ingénieurs qui s'intéressent spécialement à l’équilibre d’élasticité. Mais, outre qu'il est souvent nécessaire d’étudier l'effet des vibrations sur certaines constructions, le temps n’est-il pas venu de se demander si l’état moléculaire des corps dont le repos nous parait le mieux établi, est bien réellement un état statique; s’il n’est pas, au contraire, le résultat de vibrations très-rapides, et qui ne s’arrêtent jamais? Tout porte à penser, en effet, que le repos relatif des molécules d'un corps n’est qu’un cas trèsexceptionnel , une pure abstraction, une chimère peut-être. Cette idée pourra paraître singulière; mais, patience, avant peu le nouveau mode d’enseignement de la Mécanique aura porté scs fruits; on voudra tout expliquer par le mouvement, par le travail, et cette même idée deviendra banale. Sous ce point de vue, tout ce qui concerne les états vibratoires mérite d’être étudié avec soin, aGn de préparer les voies à ces futures explications. Or, comme nous le verrons, les vibrations des solides dont aucune dimension n’est trèspetite, conduisent aux mêmes problèmes d’analyse, aux mêmes discussions, que la corde vibrante et la membrane élastique; il y avait donc un intérêt réel à traiter, le plus complètement possible, ces deux premiers exemples. Ces considérations nous semblent mettre hors de doute l’utilité de l’étude des vibrations; et, répélons-le, cette élude, reconnue nécessaire, serait superficielle et incomplète, si l’on n’avait pas recours aux propriétés des formes quadratiques des nombres entiers, à cette théorie des nombres , si souvent anathématisée par les détracteurs de la science pure , par les praticiens exclusifs.

SUIl l'élasticité.