ONZIÈME LEÇON

Vitesses de propagation des actions élastiques. — Vitesses des ondes planes. — Equations qui régissent les petits mouvements intérieurs des solides homogènes d'élasticité constante. — Classement des états vibratoires.

§ 58. — Avant d’appliquer la théorie de l’élasticité à des solides de forme déterminée, il convient d’étudier une dernière propriété générale : celle qui concerne la vitesse de propagation des actions élastiques, ou les retards relatifs des déplacements moléculaires que font naître ces actions. Les différences déphasés qui ont lieu, au même instant, entre les états vibratoires de deux points éloignés, conduisent à la détermination de cette vitesse. Elles fout voir que la vitesse dont il s’3git a deux valeurs différentes, suivant que le déplacement communiqué est parallèle ou perpendiculaire à la direction de sa propagation. De là résulte une classification naturelle des états vibratoires, qui jette un jour nouveau sur la formation du son dans les corps sonores. Ayant ainsi besoin de recourir aux vibrations pour arriver à la connaissance d’un élément aussi important que la vitesse de propagation, il fallait d’abord étudier les vibrations en elles-mêmes, et l'exemple des membranes élastiques facilitait celle étude. C’est ce qui justifie l’ordre et les développements des Leçons précédentes, et ce qui nous permettra d’ètre plus rapide dans la Leçon actuelle.

Considérons un milieu solide, homogène, d’élasticité constante, et indéfini dans tous les sens. Une cause quelconque déplace brusquement une ou plusieurs de ses molécules, situées dans un très -petit espace, que nous appellerons centre ff ébranlement. Les forces élastiques qui

Vitesses do propagation des nitlons élastiques

Vitesses de propagation dos

ondes planes.

i 38 lüçoxs

résultent de ce déplacement partiel et instantané, déterminent le déplacement des molécules voisines, d’où naissent de nouvelles forces élastiques qui déplacent les molécules plus éloignées ; et l’ébranlement se communique ainsi de proche en proche, à tout le milieu, avec une certaine vitesse de propagation V qu'il s’agit de déterminer. L’homogénéité et la constance d’élasticité du milieu indiquent que cette vitesse est uniforme , et la même dans toutes les directions ; c’est-à-dire que les molécules, situées sur la surface d’une sphère de rayon R, dont le centre est celui de l’ébranle-

ment, seront toutes déplacées au meme instant, —unîtes

de temps après l’origine du phénomène ; le déplacement

emploiera un temps — — à se communiquer de la surface

sphérique de rayon 11 à celle de rayon R'^>R. Si R est extrêmement grand, ou si l’on ne considère qu’une trèspetite étendue des deux surfaces sphériques, on pourra leur substituer des plans ou bien leurs plans tangents, lesquels seront parallèles entre eux, comme étant tous deux perpendiculaires à la direction suivant laquelle se propage le déplacement. Ou exprime cette transformation en disant que l’on substitue, aux deux ondes sphériques, les ondes planes avec lesquelles elles se confondent , à une très-grande distance du centre d’ébranlement.

§ 59. — Plaçons l’origine O des coordonnées sur la pi emière onde plane ; soient (m, n , p) les cosinus des angles que la normale à cette onde, ou la direction de la propagation, fait avec les axes des (x,y, s); P étant la distance fR' — R) des deux ondes planes, l’équation de la seconde sera P = rnx -+- ny -4- pz ; d’où l’on conclut qu’une molécule M, ayant (x,y,z) pour coordonnées , et située sur la

deuxième onde plane , ne se déplacera que ^

SU H L’ÉLASTICITÉ. l3ç)

unités de temps après le déplacement de la molécule située à l’origine O. Supposons maintenant que le déplacement instantané, au centre C d’ébranlement, soit immédiatement suivi d autres déplacements dus à la même cause, et qui se succèdent de manière à composer une suite indéfinie de vibrations isochrones, ayant £ pour durée commune - , tous les déplacements élémentaires se propageront dans le milieu , à la sui te les uns des autres , avec la même vi tesse V ; en sorte que la molécule O, puis la molécule M , se mettront à v ibrer ou à exécuter des vibrations de même durée E que les molécules en C; seulement l’état vibratoire eu M

sera en retard sur celui en U de — unîtes clé

temps; donc, si le déplacement variable de O est exprimé par

r, = c„ cos 2 TT r — le déplacement de M le sera par

: CCOS ITt

tu j' 4- tu y -t- pi -

Mais, à cause de la grande distance au centre d’ébranlement, comparée à P, ou parce que nous ne considérons que des étendues très-petites des ondes sphériques, les deux amplitudes c 0 et c peuvent être regardées comme étant égales entre elles, et aussi les deux déplacements variables peuvent être considérés comme ayant lieu sur deux droites parallèles ou dans une même direction.

Cette direction des vibrations progagées par l’onde plane n a, jusqu ici, aucune liaison nécessaire avec celle de la vitesse de propagation; mais, soient (£,«,£) les cosinus des angles que cette direction commune des vibrations en <) et en M fait avec les axes, les projections du déplaee-

ment variable de M sont

( 2 ) « = Ç U , i> = u U , iv = Ç U ,

et il faut que ces valeurs particulières vérifient les équations aux différences partielles, qui régissent tous les petits mouvements intérieurs du milieu considéré ; or cette vérification essentielle établit une dépendance entre les deux directions dont il s’agit. Lorsque l’on fait abstraction des forces extérieures (X 0) Y 0 , Z 0 ), les équations qui doivent être vérifiées sont

1 ( x + f i )^ + f lA, « = P 7F’

' „ , rfô d'v

f ,, . rffl d'tv

OÙ

du dv div ^ d‘ . d 2 . d J .

dx ' dy dz dx 2 dy 2 dz x *

§ 26; si l’on pose, pour simplifier,

mx - 4 - ny -f- pz\

( 4 ) m \ -4- n* -f- pï> = 7, c sin 2 ir '

les valeurs ( 2 ) et ( 1 ) donnent