VS

rff’ G 1 5 ’

et la substitution de ces valeurs, dans la première des équations (3), donne, en supprimant le facteur commun

et multipliant par V*, la première des rcla-

lions ,

/ (^ -+- ((* — pV 1 )! = o, (X -4- (i) nq ■+■ (p — pV*) » = O ,

■ ( x +f l )P7 + (f* — pV*)ç=r o;

les deux autres résultent de la substitution des valeurs (2), faite de la même manière dans la seconde, puis dans la troisième des équations ( 3 ).

Si l’on ajoute les trois relations (6), respectivement multipliées par (ni, n, p ), d’après la valeur (4) de <7, et parce que ni* -f- «’ 4- p* = 1 , on trouve

cette relation déduite doit être vérifiée, il faut donc que l’on ait , ou (X 4- 2 u — p V*) = o, ou q = o. Dans le premier cas,

et, puisque u — p V* = — (X 4— p.) , les relations (6) deviennent

mq = \, nq = r>, pj = Ç ;

si on les ajoute, après les avoir respectivement multipliées par (£, rj, £), d’après la valeur (4) de q , et parce que £’4- r? 4- Ç* = 1, on trouve

or q est le cosinus de l'angle que font entre elles la direction de la vibration et celle de la propagation ; cet angle est donc nul. C’est-à-dire que toute vibration normale à l’onde plauc se propage avec la vitesse

,8) , 1 = yAiî£.

i4a l.KÇONS

Dans le second cas, puisque q = o, la dilatation S ( 5 ) est aussi nulle, la vibration s’opère sur le plan même de l’onde , et les relations (6) se réduisent à

c’est-à-dire que toute vibration parallèle à l’onde plane a lieu sans que la densité du milieu soit altérée, et se propage avec la vitesse

En résumé, quand une onde plane se propage dans un milieu solide, homogène et d’élasticité constante, si la vibration qu’elle apporte lui est perpendiculaire, sa vitesse de propagation est il (8) ; celte vitesse est moindre, et égale à o) (9), si l’onde apporte des vibrations parallèles à son plan. De là résulte que tout déplacement, au centre même de rébranlement, se décompose, pour chaque direction, pour celle de R par exemple, en un déplacement parallèle à R, et en un déplacement perpendiculaire, lesquels se séparent immédiatement, puisque le premier se propage plus vile que le second. Autrement, la molécule O, séparée du centre d’ébranlement par la distance R , sera atteinte par le déplacement parallèle à R, au

bout de unités de temps, à partir de 1 instant où C est ébranlé, et ce 11c sera que plus tard, au bout de — unités

de temps, que la même molécule obéira au déplacement perpendiculaire à R. w

11 importe de remarquer que les deux vitesses de propagation , il et to, restent les mêmes, quelles que soient les durées et les amplitudes des vibrations propagées; et

SDR I.’ÉLASTICITÉ. <43

de sc rappeler que les vibrations qui se propagent avec la vitesse fi sont seules accompagnées d'une dilatation variable 0; tandis que les autres, celles dont la vitesse de propagation est », ont lieu sans que la densité du milieu éprouve aucun changement. Le rapport des deux vitesses

est - = t ; suivant Poisson, qui admettait Légalité «Vf*

de À et u, on avait - = v3 ; suivant M. Werthcim, qui ad- ‘ 6»

met que X est double de u, on aurait - = a ; mais il y a lieu

de penser, § 29, que ce rapport est réellement incommensurable.

§ 60. — Par l’introduction des deux vitesses de propagation , les équations aux différences partielles qui régissent les petits mouvements intérieurs d’un corps solide homogène et d’élasticité constante sont ;

on les déduit des équations (6), § 26, en faisant abstraction des (X 0 , Y 0 , Z 0 ), divisant par o, et remplaçant les coefficients par les valeurs (8) 01(9). Les fonctions («, e, te), intégrales de ces équations linéaires, se composeront d’une iniinité de groupes de termes, vérifiant chacun ces mêmes équations, et satisfaisant aux conditions de la surface, pour le corps que l’on considérera; puis, les coefficients de

Éqnalfons des petit»

mouvemenls

Vibrations arec dilatations et contractions.

tous les groupes seront déterminés par l’état initial. Chaque groupe de termes, qui pourrait exister seul, représentera un des étals vibratoires possibles, et le mouvement général sera la superposition de tous ces états auxquels les coefficients trouvés assigneront leurs amplitudes relatives. Or, parmi les états vibratoires, élémentaires ou simples, les uns auront une périodicité qui dépendra de fl, les autres de ça; les premiers seront accompagnés d’une dilatation variable et périodique; les seconds auront lieu sans changement de densité. 11 est possible, d’après cela , de trouver les propriétés différentielles des groupes de termes qui composent séparément ces deux classes.

§ 61. — Les valeurs particulières de (u, f, tv) appartenant à l’un des mouvements vibratoires dont la périodicité dépend de fl, devront annuler les parenthèses multipliées par o)’, dans les seconds membres des équations (to) ; elles seront donc telles que

dv dw d \ ]> dw du d\ j< du dv d\ J<

' dz dy dx ’ dx dy dy dy dx dz

étant une certaine fonction , nécessairement de même périodicité que (u, r, w). Les équations (to) se réduiront alors à

, . d* u d 0 d l v dO

i' 2 » HT' = a T r '

d'w t dO dt‘ dz

de la seconde différentiée en z , retranchant la troisième différentiée en il vient — = o, ou la pre-

mière des relations

dt*

dt ~ ° ’

tiz

dt »

SUH L’ÉLASTICITÉ. l /|5

chacune îles deux autres se déduisant des équations (12) par une combinaison semblable. Mais , puisque la fonction i p est essentiellement périodique, les relations (i 3 ) démontrent quelle doit être nulle. O11 aura donc nécessairement

dv dw dw du du dv

dz dy ’ dx dz dy dx

ou bien , ce qui est la même chose ,

d’où

rfF dy '

F étant une fonction périodique comme [11, e, iv) , et qui devra vérifier l’équation aux différences partielles

rf’F

1ÎF

= ft’A’ F,

à laquelle se réduisent alors les trois équations (12).

§ 02 . — Les valeurs particulières de («, v, te) appartenant à l’un des mouvements' vibratoires dont la périodicité dépend de h), devront être tels que 0 = o, ou

du dv du‘

Tx + Ty + dï = n '

elles seront donc de la forme

dy dx dz dy dx ’

(£, r ‘i £) étant de nouvelles fonctions, périodiques comme («, f, iv). Ces valeurs donnent

dv dw dz dy

du dv dy dx

dw du do

dx dz dy

Vibrations sans changement de densité.

r.iAMcment des états vibratoires.

1 /|0 I.EÇOKS

où l’on a

d\ dn <il

0 dx dy ^ dz

par la substitution dans la première (10) , «'die équation devient

les deux autres (10) sc transforment de la même manière, et les trois équations transformées conduisent à

dt-

»* A 7 ij -f-

~dô

dif

dÿ'

dt 7 dz

(f étant une nouvelle fonction que l’on peut supprimer; car les valeurs (17), où (£ , «, £) vérifient les équations («8), donnent

d' u d'v (O iv

= ur A 7 u , = ut* A 7 r , — - — zxz ut 7 A 7 n* ,

dt' ’ dt' ' dt 7 ’

quelle que soit cette fonction 9. Ainsi , les groupes de termes correspondant aux états vibratoires qui ont lieu sans changement de densité, auront les valeurs (17), où (£, yi, £) sont des fonctions .qui vérifient l’équation aux différences partielles

' ’ dt 7

§ B 3 . — On sait. que la formation du son dans les instruments à vent trouve son explication naturelle dans le con-

suit l’ÙLASTICITK. i4 7

«•ours de deux systèmes d'ondes , les unes directes , les autres réfléchies; et que la coexistence de ces ondes assigne les positions des nœuds et des ventres de vibration dans l’intérieur du tuyau , et, par suite, la hauteur du son produit. La même explication doit s’étendre à la formation du son dans un corps solide : des ondes directes et des ondes réfléchies se propageant nécessairement avec la même vitesse , fi ou w , établissent, par leur coexistence dans l’intérieur du corps, des surfaces nodales dont les molécules restent en repos, et d’autres surfaces où l’agitation est à son maximum; et la permanence plus ou moins prolongée du mouvement général détermine un son, qui se communique à l’air ambiant, et dont la hauteur dépend de la forme et des dimensions du corps sonore. D’après cette théorie physique, la seule admissible, les états vibratoires d'un solide sonore sont nécessairement de deux espèces , correspondant aux deux vitesses de propagation fl et o>. La première espèce est celle des vibrations longitudinales , la seconde celle des vibrations transversales.

On étudiera séparément ces deux espèces , savoir : à l’aide des formules du § 61 quand il s’agira des vibrations longitudinales, et à l’aide des formules du § 62 quand il s’agira des vibrations transversales. Cette distinction nous paraît capitale; elle éclaircit singulièrement la théorie mathématique des corps sonores, et facilite les applications qu’on en peut faire. Lorsqu’il s’agira d’exprimer analytiquement tel ou tel état vibratoire dont l’observation aura indiqué les lois, soit par la mesure du son produit, soit par la forme des lignes nodales et des lignes de plus grande agitation sur la surface du corps sonore, il sullira de chercher directement le groupe de termes (h, t>, iv) qui le représente, dans l’une ou dans l'autre des deux classes étudiées aux §§ 61 et 62; l’expression analytique trouvée permettra de compléter les données de 1 observation; en outre, elle déduira de ces

to.

Conditions relatives aux surfacA.

données mêmes des relations numériques propres à déterminer Cl ou fo. Cette manière d’appliquer la théorie dispense d’intégrer complètement les équations ( 10 ) , et de déterminer par l’état initial les coefficients des valeurs intégrales de (u, t», w).

§ Oi. — Mais le groupe de termes qui représente l’état vibratoire que l’on étudie et que l'on considère seul, nonseulement doit vérifier les équations aux différences partielles de sa classe, il faut aussi qu’il satisfasse aux conditions relatives à la surface. Ces conditions seront, suivant les circonstances, ou la fixité des points de la surface, c’est-à-dire l’annulation des valeurs de (h, e, nv) appartenant à ces points; ou, si la surface est libre, certaines relations entre les valeurs des forces élastiques qui la sollicitent. Dans ce dernier cas, il faut, et il suffit, que les composantes tangentielles de la force élastique qui s’exerce sur chaque élément de la surface libre, soient nulles ; la composante normale doit rester variable et non déterminée. C’est cette composante normale qui communique scs variations à la pression de la couche gazeuse voisine, d'où résulte la propagation dans l’air du son produit; et les composantes tangentielles doivent être nulles d’elles- mêmes , parce que le gaz ambiant ne peut réagir que normalement.

D’après les considérations qui précèdent, l’intégration des équations (io) faite uniquement dans le but d’étudier un corps sonore, doit se borner à la recherche de tous les groupes de termes des (u , e, iv), qui rentrent dans les deux classes définies aux §§ 61 et 62. On doit alors regarder le mouvement le plus général comme étant en quelque sorte permanent et dû à la superposition de tous les états vibratoires, élémentaires et simples, qui pourraient s’établir isolément dans le corps que l’on considère. Or, les équations ( 10 ) étant linéaires, les propriétés différentielles des groupes de termes des deux classes définies, appartiennent

SU» UÉI.AST1CITK. l/ t f)

• ‘ aussi à la somme tic tous ces groupes, multipliés par des

coefficients constants; on peut donc dire que, bornées à l’usage indiqué, les valeurs générales des («, y, iv) sont

d F tir, dÇ

tlx fl z dy

d F dÇ d\

dy tlx dz ’

d¥ dÇ tU

dz dy dx

(F, £, r , , étant des fonctions de (.r, y, £ , /)qui vérilient les équations aux différences partielles

tir

d* (Ç,» ou O fil 1

w , A 3 (Ç,n ou Ç ,

d'où l'on déduit, pour la dilatation ,

valeur indépendante des fonctions ( f , >3 , £) .

Mais, si l'on voulait représenter, non-seulement le mouvement permanent et hypothétique d’un corps sonore, mais aussi le mouvement réel, en vertu dutpiel les vibrations superposées vont en diminuant d’amplitudes, et les sons coexistants finissent par s’évanouir, les intégrales (21) seraient insuffisantes. Et, lors même que l’on parviendrait à former des intégrales qui pussent embrasser ces deux mouvements généraux, il existerait encore une infinité d’autres mouvements intérieurs des corps solides, non périodiques, et non décomposables eu mouvements vibratoires permanents ou évanescents, que ces nouvelles intégrales ne représenteraient pas. Tel parait être le caractère des équations aux différences partielles embrassant tout un ensemble de phénomènes : il est souvent très-difficile, pour ne pas dire imjtos-

sible , d’en trouver des intégrales qui possèdent la même généralité.

La marche que nous indiquons n’est pas complètement analytique; elle emprunte à la Physique une analogie ou un principe, celui de la formation des états vibratoires par la coexistence de deux systèmes d’ondes , l’un direct , l’autre réfléchi. Mais tel est, suivant nous, le véritable rôle de l’analyse dans les questions de Physique mathématique; elle doit s’éloigner le moins possible de la science des faits, marcher pour ainsi dire de concert avec elle, adopter son langage et ses lois; autrement, elle ne tarde pas à perdre de vue le monde réel, et ses recherches sont sans application. Les exemples d’états vibratoiresquenous traiterons dans la suite, et qui sont presque tous signalés dans le Cours de Physique, montreront l’utilité du classement établi dans celte Leçon. Le groupe de valeurs intégrales, défini au § 61 , et qui concerne les états vibratoires de la première classe, se présente tout naturellement, dès qu’on veut aborder l’intégration des équations de l’élasticité. Poisson le cite et le traite, mais en répétant plusieurs fois qu’il ne s’agit là que d’un cas très-particulier. Pour nous, ce cas, si particulier, est assez général pour embrasser toute la moitié de la théorie des corps sonores; et l’autre moitié est régie par le groupe de valeurs intégrales défini au § 62.