DOUZIÈME LEÇON

Intégrale» des équations de l’élasticité en coordonnées rectilignes.— Équilibre d élasticité du prisme rectangle. — Cas où la loi de la dilatation est connue. — Cas des efforts normaux et constants. -

§ Go. — Aous allons appliquer maintenant la théorie de l'élasticité à des corps solides limités par des plans, par des cylindres droits , parties surfaces sphériques; c'est-àdire que nous passerons successivement en revue les exemples ou les cas particuliers qui peuvent être abordés à l’aide des coordonnées, rectilignes ou ordinaires, semi-polaires ou cylindriques, polaires ou sphériques. Cet ordre paraît le plus logique , sous le point de vue des procédés analytiques ; et cependant il est encore précisément inverse de l’ordre naturel, qui doit commencer par les questions plus complètement traitables , et finir par celles dont la solution est plus incomplète. F.n effet, si l’on voulait suivre ce dernier ordre, il faudrait successivement étudier l’élasticité dans la sphère, dans le cylindre et dans le parallélipipède. On voit facilement que le nombre des équations à la surface croit dans le même sens, et c’est ce nombre qui limite ici la puissance de l’analyse mathématique, en multipliant les difficultés qu’elle doit vaincre. Mais comme nos équations de l’élasticité sont exprimées eu coordonnées rectilignes, occupons-nous d’abord du genre de solide auquel ces coordonnées suffisent, ou qui n’exige aucune transformation.

Pour les solides terminés par des plans parallèles aux plans coordonnés , les projections du déplacement moléculaire, ou les fonctious (</, e, w) , sont exprimées par des séries où chaque terme est le produit de trois ou de quatre

Intégrale* de» équation?, de l'élatrilcilcen coordonnée* rectiligne*.

l5a ~ LEÇONS

faclears, ne contenant chacun que l’une (les variables; ce produit doit véritier l’équation

rf’J, , ,

— - = Æ-’A’Ji, dp '

k étant fl ou a), § 6i, s’il s’agit d’un état vibratoire, et l’équation

§ 27, quand il s’agit de l’équilibre d’élasticité ; en outre, les facteurs en x, enjy, en z sont tels, que ce produit , ou le groupe de termes correspondants des satisfait

aux conditions extérieures, quand x , ou y, ou z, a la valeur constante qui appartient à chaque face. On sait que la vérification de l’équation ( 1 ) est obtenue en prenant pour chaque facteur d’un même terme, ou le sinus, ou le cosinus d’un arc, produit de la seule variable que contienne ce facteur, par un paramètre constant, ou bien encore la somme de ces deux lignes trigonométriques multipliées par des coefficients arbitraires. Mais si c’est l’équation ( 2 ) qui doive être vérifiée , un au moi ns des trois facteurs de chaque terme aura une forme plus compliquée, et contiendra sa variable en exponentielle.

Afin de simplifier l’expression de ces facteurs divers, nous emploierons les formes et les notations suivantes. Nous désignerons par

les fonctions exponentielles connues sous le nom de cosinus et sinus hyperboliques; chaque variable entrera sous les symboles E et C , avec un paramètre constant , comme sous les cosinus et sinus. Nous donnerons aux variables (.r , ) > s) les paramètres respectifs (w , n , /) sous les lignes

SUK u’ ÉLASTICITÉ. 1 53

trigonométriques , et les paramètres respectifs (/>, r/, /■) sous les signes F. et £ ; on peut appeler les premiers circulaires, les seconds exponentiels. Nous désignerons simplement les cosinus et sinus de mx par C et S, de ny par C' et S', de Iz par C " et S' ; ; E ( px) et £ (px) par E et £ ; E (qy) et £ ( qy ) par E' et £' ; E (rz ) et £ ( rz) par E" et C". Dans la plupart des exemples que nous traiterons, les paramètres circulaires (m, n , p) seront de la forme

i 7t i* TT i" r.

i, i i" étant des nombres entiers quelconques. Les paramètres exponentiels ( p , q, r) auront une autre forme : le carré du paramètie exponentiel de Tune des trois variables (x, y, z) sera égal à la somme des carrés des paramètres circulaires appartenant aux deux autres ; c’est-à-dire qu’on aura

A la surface du polyèdre , les C, S, E, £ ont des valeurs numériques que nous désignerons en plaçant , comme indice inférieur, la lettre a , b ou c , valeur correspondante de la variable. D’après les formules (4), C„, C*, C" sont l’unité en plus ou en moins; S„, S 4 , S" sont nuis; mais les E„ , E' t , E" elles £„, £' 4 , £" se réduisent à des nombres qui ne sont ni l’unité, ni zéro. Enfin nous emploierons aussi des fonctions mi-exponentielles et mi-algébriques de la forme

nous les désignerons par F et if pour x , par F' et " pour y,

par F" et 5" pour z ; c’est-à-dire que

* K E' ->£,£' f g, y Cl E' b E' h C

(6 bis)

Ici, <?' sont évidemment nuis, et F„ , F M sont

respectivement égaux a — ? p-t 73-» car on a généralement

Ce luxe de notations est loin d’être inutile : il nous permettra d’exprimer les séries (n, e, w ) , leurs termes généraux, et les facteurs de ces termes, d’une manière simple et qui en fasse saisir de suite la véritable portée; autrement, les expressions de toutes ces quantités seraient longues, compliquées, sujettes à erreur, et l’on 11e verrait que péniblement ce qu’elles signifient.

On voit de suite que chaque terme de toute série , vériliant l’équation aux différentielles partielles (1) , sera de la forme

/ H cos 7 1 \

* = (AC + AS) ( A' C' + ,VS' ) ( A" C" -h X" S" ) (^ + H ' sin 7 t ) ’

A , X, A', X' . A", X", H, H' étant des coefficients à déterminer, et le paramètre circulaire de t étant

7 = k ijm 1 -t- -f- / 3 î

011 voit aussi que pour vérifier l’équation aux différences partielles

SU K L ÉLASTIC1TK.

il faut prendre des termes de la forme

( AE -4- AC ) ( A' C' + A' S' ) ( A" C" -+- A" S" ) . ou ( AC -+- »US ) ( A' E' 4- X'ü ) ( A" C" -+- X" S" ) , [ ou ( AC AS ) ( A' C' -t- A’ S' ) ( A" E" + A" C" ).

Mais s’il s’agit de vérifier l’équation (2), et non l’équation (8) , il faut que l’un des trois facteurs soit plus compliqué ; on s’assure aisément que le produit (9) acquiert cette propriété si l oti y ajoute, aux deux termes du facteur exponentiel, deux autres termes de la forme

(10) (BF 4 - ifléJ ), ou (B'F'-t-Db'#')» ou (B"F" -b tfl>"£").

On sait que la dérivée seconde de chaque facteur du terme (9) est égale à ce facteur lui-même, multiplié par le carré du paramètre de la variable, en affectant ce produit du signe -F- si le paramètre est exponentiel , du signe — s’il est circulaire; de là résulte que le A 5 de ce terme sera nul , d’après l’une des relations ( 5 ). Mais si le facteur exponentiel est augmenté de l’expression (10), sa dérivée seconde contiendra , outre le produit du facteur lui-mème par le carré du paramètre , deux fois la dérivée première du coefficient total de la variable, dans l’expression additionnelle (10), mise sous la forme d’un binôme algébrique, c’est-à-dire

2 p(M\>C — BE), ou 2ÿ (!)!>' — B' E'), ou ir — B 'E"),

d’après les formules (6) ou (6 bis) ; de là résulte évidemment que le A* du nouveau terme sera do la forme (9) , et que, conséquemment, son A s A* sera nul.

§ 6fi. — Passons maintenant aux applications. Le problème le plus important que l’on puisse se proposer, sur le genre de corps que nous considérons, consisterait à déterminer

Problème général do l'é* quillbre da prisme reeiauple

complètement les lois de l’équilibre intérieur d'un prisme rectangulaire, dont les six faces seraient soumises à des forces données. On comprendra aisément combien de conséquences utiles pourraient résulter de la solution de ce problème, pour l’art des constructions, où l’on emploie si souvent des solides de cette forme. Malheureusement, ce * problème est en même temps le plus difficile peut-être de la théorie mathématique de l’élasticité, en ce qu’il exige préalablement la solution complète d’une question d’analyse dont les géomètres ne se sont pas occupés, ou dont ils ne sont pas encore parvenus à vaincre les difficultés. 11 nous paraît utile néanmoins de montrer ici en quoi consiste cette question , afin d’appeler sur elle l’attention de géomètres plus jeunes, plus habiles, et qui parviendront peut-être à la solution désirée. Puisse ce qui va suivre leur préparer la voie! C’est une sorte d'énigme aussi digne d’exercer la sagacité des analystes que le fameux problème des trois corps de la Mécanique céleste.

Considérons un parallélipipède rectangle, dont les côtés soient an, 2 £>, a c; plaçons l’origine au centre, et les axes parallèles aux arêtes; les six faces auront pour équations

(il) x — ±n, y — ±b, z = ±c.

On fait abstraction des forces extérieures X 0 , Y 0 , Z„,

§ 28, et l’on se propose de déterminer la loi des déplacements intérieurs, lorsque le prisme est en équilibre d’élasticité, sous l’action de forces dirigées normalement à ses faces. On suppose une telle symétrie entre les forces données, que les fonctions qui les expriment soient toutes paires; c’est-à-dire que chacune d’elles conserve la même valeur et le même signe, lorsqu’on change le signe d’une des deux coordonnées variables qu’elle contient. Cela posé, le problème d’analyse qu’il s'agit de résoudre consiste à

sua l’iîlasticith. i 5y

déterminer des fonctions (u, e, ivj, (jui vérifient les équations

dO