SÀ’U (IX
dO dO
O, — (-eA : i<=: 0, )- lA’w^O,
rfy- f/Z
datis lesquelles la fonction 0 et la constante £ sont
du dv dw u.
dx dy dz K -+- u
et qui , étant substituées dans les formules
du
f dv dw\
\ dz + dy )
' dv
l dw du\
\ V*,z=\Q-+- 2 fi — ,
dy
w/.r dz )
1 dw
( du dv \
! n 3 = xo -f- 2fx — ,
\dx~*~ dy )
donnent
pour j: — <7 ,
pour y — ±b, pour z = db c.
De ce que les fonctions < 1> ) . 4», sont paires, on conclut
aisément des formules (i4) que la fonction u doit être impaire en x , paire en^ et en z ; v impaire cn y, paire en z et en x ; vu impaire en z, paire en x et en y. d’où 6 paire en x , en r, en z. Rappelons qu’une fonction est dite impaire si elle change de signe, en conservant la même valeur absolue, lorsqu’on change le signe de sa variable.
On arrive, sans aucune difficulté, eu faisant usage de coefficients indéterminés cl des notations du § 05, aux séries.
qui doivent exprimer les fonctions cherchées (u, v, iv). Chaque groupe de termes , au même coefficient ( f , g, ou h), vérifie les équations (12), et donne des forces tangenticlles nulles sur les six faces. Les groupes composent trois classes distinctes : le facteur exponentiel est en x dans la première classe, en y dans la deuxième, en z dans la troisième. A chaque classe correspond une suite infinie, et à double entrée, de coefficients arbitraires ( f , g , h). Dans chaque fonction (u, v, iv), les termes généraux des trois classes sont affectés d’un double sigma, dont les limites sont — 00 et -f- 00 , relativement aux deux entiers (i 1 et t # ), ou [i" et t), ou (teti') des paramètres circulaires (4); le terme où les deux entiers sont nuis, est distrait de chaque double sigma, et les trois termes analogues, pour chaque fonction («, v, ou iv), sont réunis en un terme unique go J, ou h 0 z).
Les considérations du § 65 , et la substitution directe, font voir facilement que chaque groupe des trois termes, ayant le même coefficient (f, g , ou h) , pris dans les (u, v, iv ) (16), vérifie les équations aux différences partielles (1 •>.). E11 outre, on déduit deces valeurs générales (16),
par des dillérentialions faciles.
^ = J/w (f - i E)s'S” + 2 W /fS" c + 2WC8',
Il = (r -^E')s"s
-+- /«roi t f SC' ,
= fpn !r S' C" H- gqm S' C"S
hmn
^F"— pE'^SS',
et l'on
voit que ces valeurs donnent
pour x = ± <7,
pour y ■=. ± b ,
pour z = ± c;
c’est-à-dire que les forces tangentiellcs sont nulles sur les six faces du polyèdre, en sorte que, des neuf équations à la surface (i5), six sont vérifiées; mais la solution s’arrête à celles qui expriment que, sur la surface, les composantes normales des formes élastiques doivent être égales aux forces données. Cherchons au moins la forme de ces trois dernières équations de condition, dont la vérification nécessaire reste en suspens.
Les fonctions (a, e, iv) ayant les valeurs (ifi), la formule (i3) donne, pour exprimer la dilatation,
0 = C u -t-2«2V EC ' c " + « 2 « fe ' C " C
+ 2tTr//E"CC', C. = /.-+- g, -I- A,,
iGo. LEÇONS
valeur qui vérifie l’équalion A s 0 = o , comme cela devait être, § 27, et les formules ( 1 4 ) donnent
«» r')c"C4-2 a ^*üLV-«‘r )cc',
