tp 1 C a

1iq'C b

Cos d'efforts normaux et «-(instants sur ebnquc’faco du prisme

1 6 a LEÇONS

on outre, de l’identité 0 — <l> on déduit

8 abc

< 1 * dy dp dot.

Les coefficients (y, g, h) étant maintenant conlius , les formules (16), (iq) et (ao) donneront les déplacements et les forces élastiques pour tous les points du polyèdre; toutefois, deux des coefficients {f, g 0 , h 0 ) resteront indéterminés, car leur somme C 0 (a 5 ) est seule connue.

Nous arrivons ainsi à la solution du problème dont voici l'énoncé : Le prisme rectangle proposé est en équilibre d’élasticité ; la dilatation intérieure est une Jonction connue, paire par rapport aux trois coordonnées, et dont le paramètre différentiel du second ordre est nul : on demande quelles forces appliquées normalement aux faces du polyèdre ont pu produire cette dilatation. Il résulte de celle solution que l’équation

(?.6)C. -+- T Ar EC'C" -+- y -“ E'C"C -+- T A r E"CC'=4>

^ qt b ri,"

doit être une identité pour les valeurs des (,r, y , z) comprises entre les limites (qp/i, qp b, qr c) ; l I> étant une fonction paire relativement aux vaiiables, et qui vérifie l’équation A ! <I> = o; P, Q, R, C 0 ayant les valeurs ( 23 ) et (a 5 ). Cette formule (26) est analogue à celle de Fouricr; mais, avant d’en faire usage, il serait indispensable d’en constater l’exactitude par les méthodes rigoureuses de M. Dirichlet. On remarquera que les doubles séries du premier membre cessent d’être convergentes, quand les variables ( x , y, z ) dépassent leurs limites.

§ 68. — Quant au problème général énoncé au § 66, il n y a qu’un seul cas qui puisse être résolu : c’est celui où les fonctions 4 >,, <J>, , d> n sont des copstantes. Alors tous les

( f-, g-, fi) sont nuis, et il ne reste que g„, //„. On a

u—f»x, v=zg a y, iv = /i„ 3 ;

T, = o , Tj = o, T, = o; 0 -+- go -f- f‘o — C„ ;

^ C . -t~ 2 't* l , X. C 0 -f- 2 fi go — <T, , X C 0 — f- 2 fl //(, rzr *1*, J

il ou l’on conclut, pour les valeurs des constantes,

,, < l‘i ■+• 4- 4>j , < I>, — À Ca

3 X -f- 2 fi ’ /o — *.=

2fl

On voit que l’ellipsoïde d’élasticité est le même pour tous les points intérieurs, ou que les forces élastiques principales sont partout égales et parallèles aux forces données. Ce cas, d’une simplicité extrême, est heureusement un des plus utiles ; car, dans la plupart des constructions, on fait en sorte que les prismes rectangles soient uniformément tirés* ou pressés normalement à leurs faces.

Rien de plus facile alors que d’obtenir tous les renseignements dont on a besoin, sur les allongements et sur les forces élastiques intérieures ; car il suffit d’appliquer les lois les plus simples de l’élasticité. Supposons, par exemple, qu’il s’agisse d’un tirant horizontal à section rectangulaire, rivé à deux parois, planes et parallèles, d’une chaudière à vapeur en activité ; soient — P la pression sur les faces latérales, F la traction longitudinale sur l’unité de surface; on aura

F— 2 P 3X -f- 2fi'

/• (X-f-p)F + XP

f.(3X+ 2fi) ’

/ (X-f-2,x)P-t-XF \ \ 2fl(3X-t- 2fx) /

ce qui donne la dilatation cubique C 0 , l’allongement longi-

tudinal 2 f<,a, les contractions transversales 2 L’ellipsoïde d’élasticité et le cône des forces tangentielles ont pour équations

jr’

les plans tangents au cône sont inclinés sur l’axe de traction

d’un angle dont la tangente esty/^i et la force élastique;

tangentiellc qui les sollicite est \ ; PF. 11 suffit d énoncer ces résultats, qui se déduisent immédiatement des théorèmes de la cinquième Leçon.

Dans notre ancien Mémoire sur l'équilibre intérieur des corps solides homogènes, nous avons donné, M. Clapeyron et moi , les solutions de deux problèmes généraux qui peuvent se traiter, en employant les coordonnées ordinaires , à J’aide de la formule de Fourier. Le premier considère un milieu solide terminé par un seul plan; le second, l’espace solide compris entre deux plans parallèles , ces plans étant sollicités par des forces données. Nous nous dispensons de reproduire ici ces solutions analytiques, malgré quelques conséquences dont l’énoncé est simple et qui pourraient être utilisées. Ce ne sont là que des essais entrepris dans le but de chercher une solution générale, et qui 11e paraissent pas placés sur la route qui doit y conduire.

SDK L M.ASTICITK.