TREIZIÈME LEÇON
États vibratoires du prisme rectangle. — Vibrations longitudinales, transversales, tournantes, et composées d’une lame rectangulaire. — États vibratoires sans manifestation extérieure.
§ (>D. — Si la question de l’équilibre intérieur du prisme rectangle rencontre de grandes difficultés analytiques, nous allons voir, dans la Leçon actuelle, qu'il en est tout autrement de l’étude des vibrations du même corps solide. En général , sauf quelques cas simples, les problèmes relatifs à l’équilibre d élasticité sont incomparablement plus difficiles à traiter par l’analyse mathématique que les problèmes relatifs aux vibrations; aussi les travaux des géomètres sont-ils fort nombreux sur les seconds, très-rares sur les premiers. Une si grande différence dans la facilité d’aborder les deux genres de problèmes pourrait être une indication naturelle. Parmi les questions de Physique mathématique qui résistent aux efforts des géomètres , ou qu’ils traitent péniblement par des formules longues et compliquées, il en est beaucoup dont l’importance est fort douteuse. Au contraire, un grand nombre de questions qui se résolvent par des calculs et des formules simples, sont d’une importance incontestable. Serait-ce donc que l’équilibre d’élasticité joue dans la nature un rôle moins important que les vibrations?
Considérons les différents états vibratoires d’un prisme rectangle solide dont les côtés soient (a, b, c), plaçons l'origine à l’un des sommets et les axes sur les arêtes adjacentes; les équations des six faces seront
Étau
vibratoiredu prisme rectangle
LliCOiSS
On fait abslraction des forces extérieures X 0 , Y 0 , Z 0 ; alors les projections du déplacement moléculaire, ou les fonctions (h, y, ic), doivent vérifier les équations aux différences partielles ( 10 ) du § GO. Cherchons s’il est possible que l’une de ces trois fonctions , par exemple u , existe seule , les deux autres (f, iv) étant nulles partout. La vérification des équations citées exigera que l'on ait
dt 7 dx 7
(*) ! du
, , ' l di (a- — »') — = 0 ,
\ d/ 1 dz 7 ) ’
du
c’est-à-dire que | la fonction unique u doit donc être de la forme ( 3 ) u =z U + U„
U étant une fonction de x et de 1 , U 0 ne contenant pas x. Cette valeur intégrale décompose la première équation ( 2 ) dans les deux suivantes :
^ doit être indépendant de y et de z ;
dni £U (en u. rf’iu
dt 7 dx 7 ’ dt 7 \ dy 7 elz 7 ) ’
la première régit des vibrations longitudinales , la seconde des vibrations transversales, lesquelles peuvent exister ou isolément , ou simultanément.
vibrations § 70. — Nous supposons a 3> b > c ; le prisme est alors Dgitudinaies. une ] ame rectangulaire de longueur a, de largeur b, d’épaisseur c. La première (4) ou
d 7 u j d 7 u dt 7 dx 7
contient la loi des vibrations longitudinales qu’on établit
suit l’élasticité. 1O7
dans la lame eu la frottant parallèlement à sa longueur. Si la lame est pincée en son milieu et libre aux deux bouts, l’état vibratoire sera représenté par une intégrale particulière de la forme
« = cos (ay -H 1 ) ir - cos ( ay + 1) jr — ■>
où j est un entier quelconque. En effet, cette valeur (6)
vérifie l’équation ( 5 ), sc réduit à zéro pour x = - » et de
plus', les T, étant tous nuis , les composantes tangentielles des forces élastiques sont milles sur toute la surface, § (H. Toutes ces conditions devaient être satisfaites pour que le mouvement vibratoire pût s’établir et persister au milieu de l’air, dans la lame considérée. Les IN, 11’existant que
par contiennent sin ( 27 -4- 1) 7t ^ en facteur; de là résulte que sur les faces (,r = o, x = a) qui terminent la lame, les forces élastiques sont nulles, là même où les vibrations ont la plus grande amplitude. Au contraire, normalement aux faces latérales, les déplacements sont nuis, tandis que les forces élastiques existent cl varient. Le paramètre circulaire de t donne
(7) Jfc = (a/-t-i) ^
pour la mesure du son ; le nombre des noeuds s’obtient en
posant cos ( a y -+- 1) n ^ = o , et est ( 2/ -f- 1 ) ; tous les sous
que la lame peut produire forment la série (1, 3 , 5 ,...) dont la base est
Si les deux extrémités de la lame sont fixes, 1 état vibra -
Vibrations
transversales.
toirc sera représenté par une intégrale particulière de la forme
• . * li t
(9/ « = sin — cos/jt — >
i étant un entier quelconque. En effet, cette valeur vérifie l’équation (5), s’évanouit, quel que soit t, pour x=o, pour x — a , et les 1,- étant nuis partout, les composantes tangentielles des forces élastiques sont nullcs sur toute la surface de la lame. La composante N, a pour expression
-, . X .lit
N , = — cos 1 7 . - cos / r — ;
aux extrémités (x= o, x=a), qui sont fixes, celte composante existe et varie périodiquement ; elle mesure la pression variable exercée sur les obstacles qui assurent la fixité de la lame. Le paramètre circulaire de t donne
pour la mesure du son ; le nombre des nœuds intermédiaires ou spontanés est / — i ; tous les sons que peut produire la lame encastrée composent la série complète ( 1 , 2 , 3,4,5,...) dont la base est encore n (8).
§ 71 . — Considérons maintenant les vibrations transversales delà même lame, prenons celles qui pourraient avoir lieu quand la fonction w existe seule ; l’équation à vérifier, et qui correspond à la seconde (4) , est alors
(to)
df 1 \ dx 7 dy * J
Dans le cas le plus général , cette équation est identique, au coefficient près, avec celle des petits mouvements transversaux de la membrane rectangulaire; elle pourrait conduire
SUR I. ÉLASTICITÉ. i(k)
à la même discussion, et eonséquemment aux memes séries de sons simultanés , si le contour de la laine était fixe; mais la laine ne peut vibrer ainsi , lorsque les deux faces (z — o, z — c) ne sont eu contact qu’avec l’air; car (« , e) étant nuis et indépendant de z , les composantes (T s , T, , N,), de la foi •ce élastique exercée sur ces deux
faces ont pour expression y"» f 1 yy o^ ; c’est-à-dire (pie
cette force élastique y serait tangcntielle , ce qui ne saurait
être, § (il ; il faudrait donc que^- 5 ^ fussent nuis , et cela
quelles que soient les variables (x, -> ) ; mais alors w serait nul aussi , et il n’y aurait pas de mouvement. I.es vibrations transversales de la lame rectangulaire, que l'on voit naître et persister dans l'air, ne peuvent donc avoir lieu avec la seule composante vc du déplacement, et 11e sauraient être représentées par l’équation (10). Mais elles peuvent être produites quand la fonction u existe en même temps que vc, la fonction v étant seule nulle; cherchons à quelles conditions.
Les équations à vérifier sont alors, u étant zéro,
la première donne , « étant une nouvelle fonction,
dit. du
ce qui réduit les deux autres à celle-ci :
rl 2 a. / d‘ a d' a rf ! a\
rff* ’’ \ dx* dy* dz* )
11 faut que les forces élastiques soient normales sur les six faces; d’après les valeurs ( 12 ), les T, sont
d ’ a ,;l dx dy
[* 1 * 0 . d'a\ cl 2 o
I, — dz‘ )’ f ~ P dzdy'
ils seront nuis, et l’équation (i3) sera satisfaite, si l’on prend pour a une fonction qui vérifie les trois équations
da. d 1 a il* a rl* a s d* a
dy ’ dz 1 dx 1 ’ dt 1 dx 1
Telle sera, par exemple, l’intégrale particulière
(16) i = t cos mx cos mz cos ni tu y/2 ,
où le paramètre m est quelconque, où e représente une amplitude , et qui donne
u — m e cos mx sin mz cos mt u y 2, iv = — me sin mx cos mz cos mt u y/i.
Si les deux extrémités de la lame sont posées sur des supports, en sorte que leur déplacement normal soit impossible, il faut que y soit nul ; ce qui exige que le paramètre m ait pour valeur
fêtant un entier quelconque. Le paramètre circulaire de l donne alors, pour la durée G des vibrations, et pour la mesure Ot> du son :
. . i ff .. /- ir ■ M
(m — Cm 12 = 21, -X- := 1 p ;
suit l’élasticité. 171
le nombre des nœuds spontanés esl i — 1 } enfin, les sous que la lame peut produire, dans ces circonstances, composent la série complète (1, 2, 3 , 4 , 5 ....), dont la base est
Tous les étals vibratoires compris dans les formules (17) ont cette propriété remarquable , que les forces élasticjues principales sont, toujours et partout, parallèles aux côtés de la lame. De là résulte que ces memes formules exprimeront les étals vibratoires de la moitié de la lame, cette moitié étant encastrée à l'origine des coordonnées et libre à son autre extrémité, pourvu que l’on donne à l’entier i une valeur impaire, afin que le milieu de la lame entière soit un ventre de vibration, fin edet, puisque la section droite, faite en ce milieu, 11’est sollicitée que par des forces élastiques normales, les réactions de l’air se substitueront aux actions supprimées, lorsque cette section deviendra libre.
Les sons que peut produire une lame de longueur^? encastrée par un bout, libre à l’autre, et vibraut transversalement , sont donc donnés par la formule
ils composent la série impaire (1, 3 , 5 ,...), dont la base est encore n (20).
Considérons, dans la lame entière, l’état vibratoire le plus simple, celui dont le son esl n (20), ou pour lequel i = 1 . Si l’on fait t égal à B , ou à un multiple de celte durée, on aura
. se x . z
1 « = — cos s - Sin s -1
I se . . x z
I »■= sin s - cos s — 1
Vil) râlions tournantes.
pour représenter les déplacements au commencement de chaque vibration; d’où l’on déduirait la forme de la lame à cette époque, forme qu’elle atteint ou dont elle part sans vitesse acquise. On peut supposer que le plan des xy soit placé à égale distance des deux faces de la lame, ou au milieu de l'épaisseur; celle supposition revient à ajouter une constante à l’arc mz, dans les formules {17), ce qui n’altère en rien loutes les conclusions qui précèdent. La valeur de u (21) change de signe avec z\ d’où il suit que, dans l’état actuel, une moitié des filets , parallèles à la longueur, est dilatée, l’autre contractée. Les filets situés sur le nouveau plan des •rj'ont conservé leur longueur; ce sont autant à' axes neutres. Le plus grand allongement, ou la plus
grande contraction, a lieu sur les faces z = rp^i et pour
les points de l’extrémité x = a\ sa valeur est— sin 77 — ■> r a 2 a
. 1 me.,,,. ,
ou simplement — — j si 1 épaisseur c est tres-pctite , comparée à la longueur a. La flèche est'égale à la valeur de iv (21), qui correspond à z — o , x = ^ , sa valeur est — •
§ 72 . — Substituons, dans l’intégrale particulière (16), le sinus de l’arc mx au cosinus du même arc, et prenons l’entier / impair; nous aurons les valeurs
u == mt sin mx sin mz cos ntt « y2 ,
' ‘ ! iv = m s cos mx cos mz cos mt u y 2 , m = [2j -f- 1 ) - ■>
pour représenter les vibrations d’une lame rectangulaire, libre à ses deux extrémités et pincée en son milieu. Ces formules ayant lieu quels que soient les rapports de grandeur des dimensions de la lame, on peut supposer que b est la longueur et a la largeur, v étant toujours l'épaisseur.
SUR 1 ,’ÊI.ASTICITK. 173
Alors, si l’on fait 7=1, les formules (2a) reproduiront l'état vibratoire que Savart appelait vibration tournante , et qui donne lieu à une seule ligne nodale parallèle à la longueur; le son correspondant est n (20), mais ici a représente la largeur de la lame.
§ 73 . — On sait qu’une lame de verre, pincée en son milieu, et que l’on frappe à l’une «le ses extrémités, de manière à la faire vibrer longitudinalement, exécute eu même temps des vibrations transversales, dont l’existence se manifeste par des lignes uodales , que le sable dessine sur les faces latérales. Ces vibrations transversales sont nécessairement comprises dans les formules (22); mais il faut donner alors au paramètre rn une valeur telle, que le son soit le même que celui des vibrations longitudinales coexistantes. C’est-à-dire qu’il faudra prendre m de telle sorte que les paramètres circulaires de t. dans les formules (6) et (22), soient égaux; d’où
, . JT il
a ot y 2
2fl
Puisque toutes les sections droites de la lame, vibrant transversalement, ne sont sollicitées que par des forces élastiques normales, la position des sections libres, relativement aux nœuds tracés, est tout à fait indifférente. Le nombre des nœuds dépend de 7 , et tout porte à penser que le son qui se produit alors n’est pas le plus grave de la série impaire (1, 3 , 5 ,...). appartenant aux vibrations longitudinales.
On voit que tous les genres de vibrations connus des lames rectangulaires trouvent leurs lois précises, et leur explication complète, dans une application très-simple de la théorie mathématique de l’élasticité. Mais celte théorie indique en même temps que tous les états vibratoires, étu-
Vibration* \ .composées.
États vibratoires de la première classe.
(lies par l’expérience, ne sont qu’en très-petit nombre, comparés à tous ceux qui peuvent ou doivent exister dans les prismes solides rectangles , et qui , produisant des surfaces nodales intérieures, ne donnent aucune prise au physicien pour constater leur existence. Il ne sera pas inutile de donner ici quelques-unes des lois de ces états vibratoires inconnus, et qui existent dans le monde moléculaire dont nous n’apercevons encore que la surface.
§ ~l\. — Plaçons le prisme rectangle comme nous l’avons fait au § G6 de la Leçon précédente, et adoptons les notations du § Go. Reportons-nous ensuite au classement général des mouvements vibratoires que nous avons faits dans la onzième Leçon. Les états vibratoires de la première classe, ceux dont la périodicité dépend de fi, sont régis par les formules du § 61. Pour le prisme rectangle, on peut prendre la fonction F égale à l’intégrale particulière
. F = — CC'C"r = — U,
r = cos 7 1 , u = CC'C"r, où le paramètre circulaire de t est
fï* 7 * T " 1 ,
Cl V m 7 -)r ri 1 1 * n Cl \ / — - T} H — — Ail,
k = \j m* -+- n* + d’où l’on conclut, pour (u, w, tv),
(26) n = m SC' C" I’, c = nCS'C' / r, rv = /CC'S"r, 0 =>U,
et, pour les N, , T,, § 26, les valeurs
:(XA’-t- 2p w’)U, (27) | N, = (XA’ + 2|i*’)U, N, = (X A’ + îu/ 1 ) U,
= — n/CS'S"r, = — Im SC' S" r, — = — mit SS'C” r.
si;r i.’klasticitk.
Qu’on se rappelle maintenant que S„, S' t , S' sont nuis, et que le tableau
(28) I T» Kn T,,
t Tî, T,,
donne les composantes des forces élastiques exercées sur les éléments-plans respectivement perpendiculaires aux (•*•> fi 2 )■
On reconnaîtra que, lors d’un état \ibratoirc représenté par les fonctions (h, iv) (26) : i° les faces du prisme rectangle ne sont sollicitées que par des forces élastiques normales , puisque les composantes tangentielles ( 27) y sont nulles ; 2 0 les molécules de la surface vibrent sur les faces mêmes, lesquelles n’éprouvent ni déformation, ni déplacement normal , puisque u == o pour x = zp a, v = o pour y = zp b , = o pour z — zp c ; 3 ° enfin , la dilatation 0 ,
quoique variable périodiquement en chaque point intérieur, a des signes et des valeurs telles, dans les dillc,* rentes parties, que le volume du prisme reste invariable, puisque
U riz ri y rlx — o.
Ainsi , lors de tout état vibratoire compris dans les valeurs (26), le prisme rectangle 11e manifeste absolument aucune déformation extérieure , quelque grande que soit son agitation intérieure; et si quelque lluidc, gazeux ou autre, réagit sur la surface, de manière à détruire les forces élastiques, normales et périodiques, qui la sollicitent, le mouvement intérieur persistera.
Dans cet état vibratoire, le son a pour mesure ou
Tous les sons analogues, à l’unisson desquels le prisme pcul vibrer, formeront autant de séries complètes qu’il peut exister de groupes de trois nombres (/, i'. i") premiers entre eux, si (a, t>, c) et les carrés («’, b % c*) sont incommensurables; le partage se ferait d’une autre manière dans chaque genre de comraensurabilité. Le son le plus grave aura lieu pour 1 = i' — i" = 1 , et sera
Si les dimensions (an, 2/-», 2c) du parallélipipèdc étaient très-petites, inappréciables même, sans que le prisme perdit les propriétés d’un corps solide , ce nombre n , le plus petitde tous les nombres 3 t> , atteindrait une valeur énorme , vu la grandeur habituelle de la vitesse de propagation fi.
étou vibra- § — Les états vibratoires de la seconde classe, ceux
mires de i» se- dont ] a périodicité dépend de w, et qui ont lieu sans que la
ronde classe. 1 * ^ ' 1 1
densité change en chaque point, sont régis par les formules du § 62 . Pour le prisme rectangle, on peut prendre les fonctions (£, rj , £) égales aux intégrales particulières
{29) ? = />CS'S'T', î j = î SC'S'T', Ç= rSS' C'T', r'=cos/f,
où (p , <7 , / ) sont des constantes quelconques , et où le paramètre y ' est
( 3o ) 7' ss «d -+- /»’ -f- t‘ == 7tw
d’où l’on conclut, pour (u, v, tv),
( h = PSC' C"l', c = QCS'C"r', <e = RCC'S'T', 0 = o,
• | P: =/r/ — «r, Q — nir — Ip , R = np — niq \
sun l’élasticité. 177
et, pour les N,, T,, § 2(), les valeurs
— = — - (/Q -+- »R)CS'S"r',
- = -(/»r + /P) SC' S" r',
T 3 = — (»P-+-mQ)SS'C"r'.
Or, on reconnaîtra que tout état vibratoire, défini par les valeurs ( 3 1) , présente les mêmes propriétés et conduit aux mêmes conclusions que celui défini par les valeurs (26); propriétés et conclusions qui sont énoncées au paragraphe précédent, avec celte différence qu’ici la dilatation 9 est nulle, partout et à toute époque. Les sons correspondant à tous les états vibratoires, compris dans les valeurs (3i), composent autant de séries que ceux compris dans les valeurs (2 6); ils ont pour expression générale
le plus grave de tous est
et, lors de l’extrême petitesse du parallélipipède, ce plus petit nombre n' aura encore une énorme valeur.
§ 76. — I ..es valeurs (26) et (3i) ne s’appliquent pas seulement au parallélipipède que nous avons considéré : par le jeu habituel des fonctions périodiques, elles expriment les mouvements généraux d’un espace indéfini dans tous les sens, divisé en concamérations prismatiques égales, qui vibrent à l’unisson , et avec des phases alter-
| — = m PCC'C"r', ( 3 ,.) { üii= /*QCC'C"r', f — = /RCC'C"r',
Généralisation
nautes telles, qu’elles assignent le même mouvement aux molécules de leurs surfaces de séparation. Découpons, par la pensée, dans cet espace infini, un corps dont la surface 11e comprenne que des faces des prismes élémentaires. Si ce corps est entouré d’un fluide, qui apporte ou exerce des réactions , normales et périodiques, sur les facettes de sa surface, toutes les concaméralions qui le composent entreront en vibrations concordantes; il y aura autant d’états vibratoires possibles que les formules (26) et ( 3 i) en peuvent représenter ; ces états vibratoires seront de deux classes distinctes, les uns dont la périodicité dépendra defî, les autres déco; pour la première classe, comme pour la seconde* le volume total du corps restera invariable. En un mot, ces deux genres de mouvements sont aussi généraux l’un que l’autre , ils ont des propriétés communes , et ne diffèrent que par quelques points, établissant leurs caractères distinctifs. Ne sont-ils qu’une preuve de plus de la fécondité de l’analyse mathématique? ou existent-ils réellement dans la nature? A cette question , nous nous dispensons de répondre.
