QUATORZIÈME LEÇON

Équations générales de l’élasticité en coordonnées semi-polaires ou cylindriques. — Équilibre de torsion d’un cylindre. — Équilibre d’claslicilé d’une enveloppe cylindrique. — Vibrations des tiges

§ 77. — Lorsqu'on sc propose d’étudier par l'analyse les effets de l’élasticité dans les solides limités par des surfaces courbes, les coordonnées rectilignes ordinaires se prêtent difficilement à cette étude, à cause de la complication des équations de condition. Il est toujours préférable d’employer un genre de coordonnées curvilignes , tel que chaque partie de la surface du corps soit exprimée par une valeur constante de l'une de ces coordonnées. Mais alors il devient nécessaire de transformer les équations aux différences partielles, qui régissent les projections du déplacement moléculaire, et les forces élastiques intérieures. Nous allons donner, dans cette Leçon, un premier exemple de celte transformation. Il s’agit des solides de forme cylindrique, ou des enveloppes dont les parois sont deux cylindres droits ayant .le même axe. Les trois systèmes de surfaces coordonnées sont alors : les cylindres concentriques , les plans méridiens menés par l’axe, et les plans parallèles à la base. Les coordonnées d’un point M sont : sa distance r à l'axe, l'angle a/.imutal o que ce rayon fait avec un plan méridien fixe, et la distance z du point M à la base du système cylindrique.

Nous représentons par ( Il , V, W ) les projections du déplacement de M, sur les normales aux trois surfaces coordonnées qui y passent, savoir : L sur le prolongement du ravon V sur la perpendiculaire au méridien s>, \V sur la

Equations de l’élasticité en coordonnées semi-polaires.

! 8 o LKÇONS

parallèle à l’axe. Les trois normales, ainsi définies, sont orthogonales, et figurent respectivement trois nouveaux axes des (x, y', z'), dont l’origine est M. Nous désignons par (R ; , l h,-, Z,) les composantes, suivant les mêmes normales, de la force élastique exercée en M sur l’élémeut-plan d’une des surfaces coordonnées, en prenant l’indice i — i, quand l’élément est tangent au cylindre ; l’indice i = 2, quand l’élément est sur le méridien: l’indice t = !î, quand l’élément est parallèle à la base. Les composantes (R, , 4 >, , Z,) ne sont autres que les N' , T' , relatifs aux (x 1 ,y' , z') ; c’est-à-dire qu’on a

| Ri = N', , <!>, = «',, Z a = N' s ,

lj |4. ; = z != =r,, z, = R 3 = r a , Ri = *, — T’,.

Enfin , nous représentons par (R« , $0 , Z 0 ) les composantes, sur les nouveaux axes , des résultantes des forces extérieures ,

. , r . / d‘ U rf’V rf»W\

y compris les forces d inertie I — -, — , j *

si le corps se déforme, ou vibre.

Nous supposons que la base et l’axe du système cylindrique soient l’ancien plan des xy et l’ancien axe des z ; que le méridien fixe <p = o soit l’ancien plan des zx. D’après cela , si l’on désigne , pour simplifier, cos <p et sin <p parc et s, on trouve facilement les cosinus des angles que font, avec les axes des (x, y, z ), les nouvelles lignes des (x', y', z') ; ces cosinus sont (c, s, o) pour x'ou ( — s , c, o) poury'; (o, o, 1) pour z', qui est le môme que l’ancien z. Par ces valeurs , les formules de transformation , qui lient lés anciennes coordonnées (x,j r , z) aux nouvelles (/’, <p, z) , et les anciennes projections du déplacement (m, e, w) aux

r = \jx‘ -+- ~p , tang <f = ^ ; !■= .ïU-4-cV;

nouvelles (U, V, W) , sont

u = cU — v Y ,

suit l’élasticité. t 8 I

et la différentiation en déduit facilement

dr dr dy s dy c

dx ’ dy ' dx r dy r ’

il __ d. td. d. d. cd.

dx dr r il y dy dr r dy

ces deux dernières équations sont symboliques et expriment comment les dérivées en (.r el y) d'une fonction se transforment dans ses dérivées en (r et q>) ; la dérivée en z reste la même.

11 faut distinguer, parmi les équations que nous voulons transformer, celles qui établissent l’équilibre d’un élément du corps sous l'action des forces élastiques, et celles qui expriment ces forces élastiques à l'aide des projections du déplacement moléculaire. Les premières sont essentielles et générales , elles ont toujours lieu , que l’homogénéité existe ou non , et quelle que soit sa nature; les secondes n'appartiennent qu'aux corps homogènes et d’élasticité constante. Or, au lieu de transformer les premières par les procédés habituels , il est plus simple d’obtenir les équations qui proviendraient de cette transformation , en cherchant directement l’équilibre d’un élément de volume, dans le nouveau système coordonné. L’élément de volume des coordonnées semi-polaires est

( 4 ) « = dr.rdy.dz.

11 est compris entre deux cylindres de rayons (r, r -f- /-//•) , deux méridiens d’azimuts (^>, <p -+- r/s), et deux plans parallèles à la base, élevés de (z , z -f- ilz). Désignons respectivement par (R, R'), ( l l>, *}>'), (Z, Z'), les trois couples des faces cylindriques, méridiennes et basiques, de cet élément. Pour exprimer son équibre, il faut évaluer, pour les égaler séparément à zéro, les trois sommes (SX, S Y, SZ) des composantes, suivant les axes des (.r, y, z), des forces

élastiques qui s’exercent sur les six faces , et des forces (p«R 0 , /5«<î> 0 , pwZo) qui sollicitent la masse cw.

Ces sommations n 'offrent aucune difficulté, puisque l’on connaît les aires des faces, et les cosinus des angles que toutes les forces font avec les anciens axes. Dans le cours de l'opération, quand on a obtenu les termes fournis, à l’une des trois sommes cherchées, par la face (R, ou Z), on augmente chacun d’eux de sa différentielle prise par rapport à (r, o, ou z ) et l’on change le signe, ce qui donne les termes que la face (R', d*', ou Z') fournit à la même somme; et il ne reste, après réduction, que les différentielles des premiers termes. Par exemple, parmi les termes que la face R donne à SX se trouve — cR, rdz dz ; le terme correspondant fourni par la face R' est c ^ R, r-f- — drj dq dz ,

et il ne reste que c R,^ drdtf dz. De même, parmi

les termes que la face d> donne à la même somme SX, se trouve -4- s ( P.dr dz ; le terme correspondant fourni par la

face d 1 ' est — ^ c f > * H — d<fj drdz , et il ne reste que — | s -f- drdz.

Des trois équations obtenues , en égalant à zéro les trois sommes trouvées que l’on divise par w (4), les deux premières contiennent à la fois pR 0 et pd> 0 ; on en déduit facilement deux autres équations où ces termes sont isolés , et, distrayant les forces d'inertie, on a définitivement

rfR,

~dr

iî ,

rpR, ~ p dr ’

■f Rj

P 'Po — p d( , >

dz r

d'W = p dr •

SUH L’ÉLASTICITÉ. I «S 3

Ces trois équations , dans lesquelles

d'après les valeurs(i),ou par l'annulation des moments, sont les équations générales de l’élasticité, exprimées en coordonnées semi-polaires, ou cylindriques.

On y remarquera la présence des termes

où les forces élastiques entrent intégralement; ce qui tient à la /orme de l’élément «, lequel n’est pas un parallélipipèdc rectangle : car les faces 11 et IV sont réellement inégales, et les normales aux deux faces d* et 4»' ne sont pas réellement parallèles. Ces différences essentielles se traduisent, en analyse, par la présence des fadeurs (r, c, ou s) sous les signes de la dillérentielle en ( r , <j>), que l’on ajoute à chaque terme fourni , lors des sommations indiquées, par la face (Il , 4>, ou Z), pour obtenir le terme correspondant , donné par la face (R', 4»', ou Z').

§ 78. — Il faut avoir recours aux procédés habituels de transformation pour obtenir les composantes (R,, 4> ; , Z,), exprimées par les dérivées en ( r, <p, z)dcs fonctions (U, V,W).

A l’aide des relations ( 2 ) et (3), on obtient les |

en fonctions linéaires des nouvelles dérivées. Ces valeurs, substituées dans les formules ( 1 ), § 20, qui appartiennent aux solides homogènes et d’élasticité constante, donnent les N, , T;. Enfin , les relations (11), § 18, où l’on substitue les cosinus évalués au § 77, conduisent aux N'- , T' ( 1 ), ou aux (R,, 4», , Z,) que l’on cherche. Cette opération est abrégée par l’introduction des sinus et cosinus de l’arc si,

Formules rclalires aux cylindres homogènes délnslielté constante .

et par (les artifices de calcul faciles à imaginer; clic conduit aux valeurs

( j — 1 drV

r dr

dV d W c/» c/s

^=xe + 2,x^ 7 + -— j,

et constate encore une fois les relations ( 6 ).

Lorsque l’on substitue les valeurs ( 7 ) dans les équations (5), celles-ci perdent de leur généralité, et ne sont plus applicables qu’aux solides homogènes et d’élasticité constante. On peut alors les mettre sous la forme

dï + IX

dz )

\ dz

"rfP) +

c/rUb

r df )

en posant, pour simplifier,

I c/V 1 c/W 1 dz r c/y

f ' c/U c/V ' r d y dr

Les formules différentielles (3) établissent sans peine que le paramètre différentiel du second ordre A' ou ( — ^ -t- + 7 ^)

est exprimé par

r dr r 7 d<f 7

dï‘

en coordonnées semi-polaires. Dans le cas général adopté , § 26 , la composante des forces extérieures, suivant une direction donnée, est la dérivée, prise dans cette direction même, d’une fonction F dont le A* est nul, en sorte que l'on a

r du,

et, puisque A’ F = o, il s’ensuit

dr R„ i d < !>,

dr r do

D’après cette relation (12), si l’on ajoute les trois équations (8), après les avoir respectivement multipliées par des facteurs tels, puis ditî'érenliées de telle manière, que

le second membre de la somme soit 0 — -• 0 avant la va-

~ dt 7 J

leur (7), on retrouve, en renversant,

d 7 0 dt 7

tt’A* 0;

ce qui devait être, puisque cette équation exprime nue propriété générale de la fonction 0, complètement indépendante du système de coordonnées que l’on emploie. O11 trouvera facilement quels termes particuliers (U 0 , V 0 , W 0 ) doivent entrer dans les valeurs intégrales des (U, V, W), pour faire disparaître des équations (8) les termes en (Ro^o* Z 0 ) ; et l’on pourra faire abstraction de ces forces extérieures quand il s’agira d’étudier les cflbts de l’élasticité provenant d'autres causes, §§ 26 et 28 .

1 86 u-x.oms .

Telles sont les équations et les formules de l’élasticité, transformées en coordonnées semi-polaires, et directement applicables aux solides de forme cylindrique. Elles n’étaient pas précisément nécessaires aux questions très-simples et en petit nombre que nous allons traiter; quelques transformations particulières et faciles eussent suffi. Mais nous avons pensé qu’il était utile d’établir ces nouvelles équations dans toute leur généralité, pour faciliter des recherches plus difficiles, où leur emploi serait indispensable. Quelquefois, dans les travaux de Physique mathématique, on abandonne uneidée accessoire et qui mériterait d’être poursuivie, parce que l’on n’a pas à sa disposition les relations analytiques nécessaires , et que leur recherche, exigeant trop de temps, ferait perdre de vue l'idée principale. C’est alors que l’impatience peut conduire à l’erreur : si , pour aller plus vile, on considère l’élément des coordonnées semi-polaires comme un parallélipipède rectangle, et si, se fondant sur . .' une analogie spécieuse , on évalue les (R, , <!>, , Z, ) au moyen

des (IN,, T,), en y remplaçant simplement les y | " ’ —

, rf(U, V,\V) . . , r

par les ; , on a ainsi , et rapidement , des lor-

* rl (tir, rrly, riz) 1

mules fausses.

Équilibre § 79. — Considérons l’équilibre d’élasticité d’une tige d ” cîuûdra 1 an cylindrique, verticale et tordue. Nous supposerons que la lige soit fixée à son extrémité supérieure, prise pour la base, que son axe vertical soit dirigé de haut en bas et que la torsion ait lieu de droite à gauche. On peut prendre pour les projections du déplacement ,

( 1 4 ) U — o , V = a rz , W = o ;

la constante or représente l’angle de torsion; ni l’angle y, ni le temps I n’entrent dans ces valeurs; on fait abstraction

suit l'élasticité. 1 87

des (R 0 , ‘^0, Zoji les formules (7) donnent

T, — «*•, = Z; = par = T,

et les équations ( 5 ) sont vériGées. Ainsi , toutes les surfaces cylindriques intérieures, cl aussi la surface de la Tige, ne sont sollicitées par aucune force élastique; les faces méridiennes et basiques de tout élément de volume o> sont sollicitées par des forces élastiques tangculiellcs, dirigées parallèlement à l’axe pour les premières, suivaut la tangente au cylindre r pour les secondes.

L’équation (12) du § 22 se réduit à A s — T’A = o ; les trois forces élastiques principales sont donc (o , — T, -f-T) ; 011 obtient leurs directions eu substituant successivement ces valeurs avec les N'-, T'- (i 5 ) dans les équations (10) du §22, et rapportant les cosinus (m , n , p) aux ligues *(x', y', z'), définies plus haut, § 77 . I.a valeur A = o donne p = o , n = o , ni = 1 , ou la direction de r; c’està-dire que toutes les forces élastiques sont dirigées dans un même plan, tangent au cylindre r. La valeur A = — T donne /i + /) = ü, c’est-à-dire que l’élément-plan sur lequel s’exerce la pression normale — Ta pour équation y' — z' — o , passe par le rayon r, et s’élève dans le sens du déplacement \ , sur un angle de 45 degrés avec l'horizon. La valeur A = -t- T donne n — p — o , c’est-à-dire que Télément-plau sur lequel s’exerce la traction normale -+- T a pour équation y' z' = o, passe par le rayon r, et s’abaisse sous un angle de 45 degrés avec l’horizon.

Dans le cas actuel, la relation (6), § 32 , qui constitue le théorème de M. Clapeyron, conduit d’une manière trèssimp’e à la valeur de l’angle de torsion a. En ellct , le premier membre de cette relation est, ici, Sl'YaouaM,

Équilibre d'élasticité d'uni! enveloppo cylindrique.

M étant le moment total îles efforts qui ont produit la torsion; le second membre est

loi, F est nul, et G se réduit à — p*scV s ; l’intégrale devient

f f S r ' drt h dz \

étendue à toute la lige dont la longueur est l et le rayon R , elle donne

La relation citée se réduit donc à

“ ~îTp‘ R r / ?

valeur qui reproduit les lois connues de l’angle de torsion.

§ 80. — Nous allons étudier maintenant l’équilibre d’é-* lasticité d’une enveloppe solide cylindrique, dont la paroi intérieure, de rayon R, soit soumise à une pression constante — P, et dont la paroi extérieure, de rayon R', soit soumise à une autre pression — P'. Nous supposerons P plus grand que P', et tellement que (R s P — R /S F) soit positif. Le cylindre est fermé par des fonds, plats ou courbes, soumis aux mêmes pressions, et ajustés de telle sorte, que l’enveloppe cylindrique éprouve une traction F parallèle à l’axe, et de même intensité sur toute l’étendue d’une section droite annulaire; cette condition établit l’équation

d’où

(k R’’ — TT R’) F = P. TT R 3 P'. TT R",

SUR l’élasticité. 189

Dans ccs circonstances , V = o , U et W sont indépendants de 9 et de t ; de ce que les composantes tangenlielles des forces élastiques sont essentiellement milles sur les parois, il suit que U est indépendant de z , et W de Les valeurs (7) deviennent

rfWN

rfU

rfWN

rfz J’

dVf .

/rfü

Enfin, des équations ( 5 ), où l’on fait abstraction des (R 0 , 4 > c , Z„), la seconde est identique; la troisième donne

rfZ 3 ePW

7 ÂT = °’ 0,1 ~ds=°’

d’où

(18) W -cz-,

la première devient

et, parles valeurs (17), se réduit à

iRU ^</U U dr 3 ^ r dr H

d'où

c, a. b sont trois constantes.

I go LEÇONS

F. es formes nécessaires des fonctions W (18) et U (19) . étant maintenant connues, les forces élastiques principales • (17) et la dilatation 0, sont

Z, = (i -I- 2 fi) c + 2I a, S = 2d + c,

Or, Z 3 doit être égal à F, R, doit devenir — P pour r = R, et — I v pour r = R'; ce qui établit entre (a, b, c) les trois équations

(1 + 2 fi) c 4 - 2 X a = ,

2 ( X + fO fl — +*c= — P'-,

qui donnent facilement

31 + ap R ' 3 — R 3 ’

d’où l’on conclutque l’enveloppe est uniformément dilatée dans toute son étendue. Avec ces valeurs (21), <I> S devient .

<J>„ zz: f- v - — ■ ;

c’est-à-dire que la section méridienne ou diamétrale de 1" enveloppe éprouve une traction normale, variable, et

. sun l'élasticité. 191

donl le maximum, qui a lieu vers la paroi intérieure, est

Si l’on donne à A la valeur-limite que la traction maxima ne saurait dépasser, sans faire craindre une altération permanente, la relation ( 22 ) conduit à

pour la moindre valeurque l’on puisse donner au rapport

Cette valeur indique que, si la pression intérieure égale ou surpasse la limite A augmentée du double de la pression extérieure, l’enveloppe s’altérera inévitablement. Posons

eR donnera l’épaisseur de l'enveloppe; dans la pratique, P — P' est la pression effective, et son rapport e à ( A -+- P) est ordinairement une très-petite fraction ; alors l’équation (a3) se réduit à-

ou bien

formule dune simplicité extrême, et certainement plus exacte que toutes les formules empiriques employées daus des circonstances analogues.

Dans un aucien travail déjà cité, § 68, se trouve la solution d’un problème général, qui consiste à déterminer l*é—

Vibrations longitudinales d'une lige cylindrique.

quilibre intérieur (l’une enveloppe cylindrique indéfinie, lorsque les deux parois sont soumises à des forces données, variables d’un point à l’autre de ces surfaces. Nous 11 e reproduisons pas ici cette solution , encore trop compliquée. D’ailleurs nous avons pour but, non de donner un traité complet, mais de montrer, par des exemples simples et variés, l’utilité et l’importance de la théorie mathématique de l’élasticité.

§ 81. — Quelques mots maintenant sur les états vibratoires des solides de forme cylindrique; ils sont régis par les équations ( 8 ), où l’on fait abstraction des (R 0 , < i > oi Z 0 ),

et où l’on remplace ^ et - par et co s . D’après la

théorie donnée dans notre onzième Leçon , ces états vibratoires composent deux classes distinctes : pour ceux de la première classe, les termes en ce* disparaissent des équations générales, les fonctions (4», ilï>, T) ( 9 ) sont donc nullcs , ou bien l’on a

d\r d\\ dW rfU rf TJ d\ r

dz da ’ dr dz 5 d tf dr

puis , par intégration et par substitution ,

* rfF w - rfF w -rfT

Pour les étals vibratoires de la seconde classe, les termes en fl’ s’annulent dans les équations ( 8 ), transformées comme il est dit plus haut, et l’on a

1 dUr 1 dV d W

r dr r d if dz

Les vibrations longitudinales que l’on fait naître dans

suit l’élasticitic. 193

une tige cylindrique, en la pinçant au milieu, et la frottant parallèlement à la longueur, appartiennent à la première classe. Le déplacement étant parallèle à l'axe, U = o, V = o, et W existe seul; la fonction F (27) est donc indépendante de r et de W ne contient que (s, l ), et doit \érifier l’équation

rit'

il'

d ' W ' dz' ’

les composantes tangcntielles (7) ( < J> s = Z t , Z, = R 3 , R,= d> 1 ) sont nulles d’elles-mêmes et partout. Si a est la longueur de la tige, dont une extrémité est à l’origine, les vibrations dont il s'agit sont représentées par l’équation

W = cos { 2 / -+- 1 ) t - cos (2 y 1 1 n — -,

comme les vibrations longitudinales de la lame rectangulaire , § 70 , et l’on est conduit aux mêmes conclusions.

§ 82 . — Un étal vibratoire de la seconde classe a lieu quand V existe seul et ne varie pas avec ij>; alors U = 0, W = o, d\

- — = o, d’où 0 = o. Les composantes tangcntielles Z, = R,

sont nulles d’elles-mêmes ; il en est de même deR,= d>,, si d\ V

— = -tOu si l’on prend V = rf, f ne contenant que

Vibrations tournantes et silencieuses.

(z, /) et satisfaisant à l’équation

dt'

pour la complète vérification des équations générales. 11 faut

i a. <VV . ..

en outre que la composante < P 3 = — soit nulle aux extre-

valeur qui remplit d’ailleurs toutes les autres conditions. Les composantes normales (R,, d*, , Z 3 ) étant nulles, ce genre de mouvement vibratoire s’établit sans que la surface totale du cylindre soit sollicitée par aucune force élastique, ni tangentielle, ni normale; de plus, les molécules de cette surface vibrent sans en sortir, et le cylindre n’éprouve aucune déformation périodique. 11 serait difficile d’imaginer un état vibratoire plus silencieux et plus imperceptible. Les expériences sur le pendule, faites au Panthéon par M. Foucault, ont constaté un mouvement de cette nature, par les oscillations tournantes de la boule sphérique attachée au long fil pendulaire.

suit I. KI.ASTir.n K.