QUINZIÈME LEÇON

Équations générales de l’élasticité en coordonnées polaires ou sphériques. — Enveloppe sphérique ribranle. — Vibrations des timbres hémisphériques.

§ 8JL — Les corps solides terminés par des surfaces sphériques offrent plusieurs applications importantes de la théorie de l’élasticité, que nous allons exposer dans cette Leçon et la suivante. Il est donc nécessaire de transformer encore une fois les équations générales , pour les exprimer en coordonnées polaires ou sphériques. Les nouvelles surfaces conjuguées sont : les sphères concentriques, les cônes d’égale latitude et les plans méridiens; les nouvelles coordonnées d’un point M sont : la distance r au centre du système, la latitude ® ou l’angle que la ligne r fait avec le plan de l’équateur, la longitude ^ ou l’angle azimutal que le méridien de M fait avec un autre méridien fixe.

Nous représentons par (U, V, \\ ) les projections du déplacement de M , sur les normales aux surfaces coordonnées qui y passent, savoir : IJ sur le prolongement de r, V sur la tangente à la méridienne et vers le pôle, W sur la tangente au parallèle du côté opposé au méridien fixe. Les trois normales, ainsi définies , sont orthogonales, et figurent rcspecli veinent troisnouveaux axes rectilignesdes(x , ,'> ', z'), dont l’origine est en M. Nous désignons par (R,, , H' - ,)

les composantes, suivant les mêmes normales, de la force élastique exercée en VI sur l’élément-plan d une des surfaces

Équations de l'élaslldtc en coordonnées polaires ou sphériques.

coordonnées; en prenant l’indice i — i, quand l’élément est langent à la sphère; l’indice i= 2, quand l’élément est tangent au cône de latitude; l’indice i = 3 , quand l’élément est sur le méridien. Les composantes (R,, d*,-, 'P,) 11c sont autres que les JV', , T' ; , relatifs aux (x', y z') ; c’est-à-dire que J’on a