Tv = T', , M , = R . = T', , R, = <D, = T

Enfin, nous représentons par (R 0 , ¥,>) les composantes,

sur les nouveaux axes , de la résultante des forces extérieures,

/ r / 2 II tp\ d*Vi\

y compris les forces d’inertie ^ — y — -^p |»

si le corps se déforme, ou vibre.

Nous supposons que le plan de l’équateur et la ligne des pôl es du système sphérique soient l’ancien plan desxy etl’ancîen axe des z , le méridien fixe t|/ = o étant l’ancien plan des zx. D’après cela, si l’on désigne, pour simplifier, cosip et sin<p par c et s, cos(j/ et sint}/ par c' et .s', on trouve facilement les cosinus des angles que font, avec les axes des (x, j", z ), les nouvelles lignes des (x\y', z'); ces cosinus sont (ce', es', s) pour x', ( — sc', — ss r , c) pour y', (s ,c, o) pour z'. Par ces valeurs , les formules de transformation qui lient les anciennes coordonnées (x, y, z) aux nouvelles (/■, q>,<p), et les anciennes projections du déplacement (u, t', te) aux nouvelles (U, V, W), sont :

x = rcc' , j — res ' , z — rs ,

rang ? , , ta ne i = -y

u — cc ' U — sc ' V — s' W ,

i> = et' U — .t.t ' V c' W ,

(»= jU + cV, ,

SUR l’ÉLASTICITK. I()7

cl In différentiation eu déduit facilement

tir

tir ~ " ’

<1 <f sc

tir r

tl!f s'

J tir rc

tl tir tl.

dÿ ~

tlr

tir

dy .d.

tîr tl.

C * tit

ss

rc

sc' tl.

ss’ tl.

r rly

tir riz tl (f

riz

di,

ih= n >' d.

rc d'it * c' tl .

rc d-if ’

tL

dz

tir r d a

Ces trois dernières équations sont symboliques et expriment comment les dérivées en (x, y, z ) d’une fonction se transforment dans ses dérivées en (;•, <p, ÿ).

Pour obtenir les équations générales de l’élasticité, exprimées par les dérivées des (R,, d 5 , , Ÿ,-) , il est préférable d’établir directement l’équilibre d’un élément de volume dans le nouveau système coordonné. I. élément de volume des coordonnées polaires est

( ^ ) w = tir .rdtf . rctl -!f ;

il est compris entre deux sphères de rayons (/•, r dr ), deux cônes de latitudes ( q> , <p -4- r/q> ) , et deux méridiens de longitudes (<p, tp-ht/^). Désignons respectivement par (R, R'), (<l>, <!>'), (Y, Ÿ')l es trois couples des faces sphériques, coniques et méridiennes, de cet élément. Pour exprimer son équilibre, il faut évaluer, pour les égaler à zéro, les trois sommes (SX, SY, EZ) des composantes, suivant les axes des (.r, y , z) des forces élastiques qui s’exercent sur les six faces, et desforces (po>R 0 , potd’o, p td^o) qui sollicitent la masse pto. Ces sommations sont faciles, puisque l’on connaît les aires des faces et les cosinus des

angles que toutes les faces font avec les anciens axes. Quand on a obtenu les termes fournis à l’une des trois sommes cherchées par la face (R, ou 'F } , on augmente chacun d’eux de sa différentielle prise par rapport à (/', y ou et l’on change le signe; ce qui donne les termes que la face (R', <!>' ou Ÿ') fournit à la même somme; et il 11e reste, après réduction , que les différend elles des premiers termes.

Les trois équations obtenues, en égalant à zéro les trois sommes trouvées que l’on divise par w ( 4 ), contiennent à la fois (pR 0 , p<t>o et p¥ 0); on en déduit facilement trois autres équations où ces termes sont isolés, et, distrayant les forces d’inertie, on a définitivement

de R. 1 rfR, 2 R| — 4 *, — Ÿj

tir

rc tl

rc d-li

ti-ii

~dF ’

</<!>, 1 dc<- 1 >, 1 rt, c tl-\

— h — -tt H 1- p4>,= p

dr r il y rc d-\ r 1 r

d V, 1 de

aT.-f-R,— - 4 >j «4., c

dt‘ ’

tP Vf

\ dr rc df rc d i}< r

ces trois équations , dans lesquelles on a (6) % = R,, R, = <!>,,

d’après les valeurs (1), ou par l’annulation des sommes des moments, sont les équations générales de l’élasticité, exprimées en coordonnées polaires ou sphériques.

On remarquera, dans ces équations, les termes

„ m 2*, + R, 4 - - Vj a'F, -4- R, — - <1> 3

où les (R,, tb,, Ÿ,) entrent intégralement, et aussi la présence du facteur c sous le signe des différentiations par rapport à <p; ce qui tient à ce que l'élément w n’est pas un parallélipipède rectangle : car, ni ses faces sphériques

- tJiaitized

SUR l.’ÉLASTICITÉ. I()Ç)

(H, IV), ni scs faces coniques ( { J>, 4>') 11 c sont égales , cl, de plus , les normales à ses faces méridiennes ne sont pas parallèles. Ces inégalités se traduisent, en analyse, par la présence des facteurs ( /•*, c ou s , c' ou s'), sous le signe de la différentielle en (r, ç, (p), que l’on ajoute à chaque terme fourni , lors des sommations indiquées , par la face ( R , d* ou ¥) , pour obtenir le terme correspondant donné par la face (IV,^' ou

§ 84. — 11 faut avoir recours aux procédés habituels de transformation pour obtenir les (R,, 4 / ,) exprimées

par les dérivées en (/', <p , tp) des fonctions (U, V, W ). A

fonctions linéaires des nouvelles dérivées. On substitue ces valeurs dans les formules (i), § 26, qui appartiennent exclusivement aux solides homogènes d’élasticité constante, ce qui donne les N,, T,. Enfin , les relations ( 1 1 ) du § 18, où l’on substitue les cosinus évalués au § 84, conduisent aux JS , Tj (i) ou aux (R,, 4>, , Cette opération, nécessairement longue, est facilitée par l’introduction des sinus et cosinus des arcs 2 '.p et aç ; elle conduit aux formules

l'aide des relations (a) et (3) , on obtient les

dr> li dr

i de V re d f

i d W rr dit ’

dü

R, = 19 -t- 2 u — = N , , dr

<1-, = aO ■+- 2u. - H — ) = JN , ,

•J 1 J — — p ( ~ JT H ) — 7 I >

\ nr rf îji r d y e r j

/d\V YV i r/U \

/ 1 rfU d\

l’or mules rclnlitrs nu y spht'rcs homnpônoH d’êla.slicllé constante.

aoo - LEÇONS

Enfin, par la substitution de ces valeurs dans les équations (5), qui perdent alors leur grande généralité, on obtient celles-ci :

.. % I fl 7

dx f/r\ / f/’V\

___ r j + pcr .^ 0 __J = o ) l, f/A.\ / f/‘W\

en posant, pour simplifier,

i /f/rV f/fcW \

[ r*c \ dp f/if /

' i /dm Vf dV\

(9) {zi-* Z jij = 1,b >

dû

dr\\ rfr ) ~ ^

Si l’on ajoute les trois équations (8), après les avoir dilférentiées, la première en r, la seconde en ç, la troisième en <p, on élimine les (Jt>, *)'•>, T); ce qui fait disparaître aussi les forces extérieures (Ro,^, Ÿo), quand elles sont, comme on le suppose, les dérivées