Q — — RT

le groupe ( 3o ) donne

s^x = r tftl- K , „

s = ai,c r PL ' = vt ,

D' abc

•d’après les valeurs (36). On a donc, entre les coordonnées de deux points conjugués de la surface des ondes , le groupe »

SUR l'élasticité.

de relations symétriques

I ax' x -+■ b y' y -+- cz z = abc ,

I bcx'x car y -+- abc! z = R'R ,

abc

P' P -f- y ( R' + R ) = yr.

Si on éliminait (x', s') entre elles, on retomberait sur

l'équation (i 8 ) , si (x, y, z) sur l’équation (24). Le groupe , (37), même surabondant, pourra donc remplacer l’équation de la surface des ondes ; on aura ainsi un nouvel exemple du procédé fréquemment employé dans les recherches analytiques sur les courbes et sur les surfaces, lequel consiste à représenter un lieu géométrique par plusieurs équations au lieu d’une, en introduisant des paramètres auxiliaires , ce qui permet de diminuer le degré ou l'ordre' des équations. j

La théorie des points conjugués de la surface des ondes étant nécessaire à notre analyse, nous avons préféré la donner tout de suite, et eu quelque sorte tout d’un trait, les calculs qui s’y rapportent se simplifiant par leur condensation même. La considération des points conjugués nous parait remplir, dans l’étude de la surface des ondes , un rôle analogue et tout aussi important que la théorie partielle des diamètres conjugués, dans l'étude des courbes et «les surfaces du second ordre. Nous verrons, dans la prochaine Leçon, que cette association des points conjugués conduit très-naturellement aux propriétés les plus importantes de la surface dont il s’agit, sans qu’il soit nécessaire de faire usage du calcul infinitésimal. Cette surface mérite d’être étudiée pour elle-même, et doit occuper une place importante parmi les surfaces du quatrième ordre. On peut l’cx-

plorer, pour ainsi dire géométriquement, en s’appuyant sur la théorie des pôles et polaires , empruntée aux surfaces et aux courbes du second degré, comme l’indique la Leçon actuelle; et en se servant des coniques sphériques et ellipsoïdales, qui la découpent en éléments rectangulaires, comme nous le démontrerons. On ne saurait trouver un exemple meilleur et plus utile, pour appliquer les belles méthodes enseignées dans le Cours de Géométrie supérieure, créé si près de nous par M. Chasles; et pour vérifier les propriétés nouvelles des lignes de nature diverse tracées sur des surfaces quelconques, que les travaux et les Cours de M. Liouville ont si bien fait connaître.

Il importe de rappeler que l’équation ( 22) , ou

donne le carré de la vitesse de l'onde plane dont le rayon

lumineux est OM ou \/ït ; pareillement ^ est le carré de la

vitesse de L’onde plane dont le rayon lumineux est OM'

ou \AV. Ou , en d’autres termes , ~ est le carré de la vitesse

de l’onde plane conjuguée au point M , ou dont le point M est le pôle, relativement à l’ellipsoïde ( 26 ). Nous dirons aussi que les deux plans tangents en M et en M' sont deux ondes planes conjuguées ; et que chacun d’eux est fonde plane conjuguée au rayon lumineux qui aboutit »à son pôle.

SU II l'élasticité.

uni