DIX-NEUVIÈME LEÇON

Propriétés géométriques île la surface des ondes. — Axes optiques. — Cercle s de contact et ombilics. — Courbes sphériques et courbes ellipsoïdales. — Cônes orthogonaux. — Variétés de la surface des ondes.

^ 100. — A\ant de parler des propriétés optiques assignées aux cristaux biréfringents par la surface des ondes, il importe de bien connaître la forme de cette surface et ses variétés. Elle jouit d’aliord de cette propriété remarquable*, que ses trois sections principales se composent chacune d’un cercle et d’une ellipse; en ellet , son équation (i 6), *5 97, devient

/ pourx = o, ( j 1 + — a’) (b 1 ? 1 -+- c’î 1 — 6 : c î ) = o,

(i) pour = o, (s 1 -+- x‘ — b'') (c’a- -t -u' t x‘ — r’n 1 ) =■ o,

| pour s = o, — c’) ( a' , x‘ M- b 1 y* — a , b')=o.

D’après l’ordre décroissant a'y>b'^>c des trois vitesses principales, le cercle est extérieur à l’ellipse sur le plan des yz, intérieur sur celui des xy. et les deux courbes se coupent en quatre points sur le plan des zx. Essayons de définir la forme que doit avoir la surface, en nous bornant à l’angle trièdre des coordonnées positives.

A partir de l’origine O, on prendra deux lignes proportionnelles ou égales à a , l'une ÔA sur l’axe des y, 1 autre OA' sur l’axe des z; deux lignes égales à b, l une OB sur l’axe des s, l’autre OB' sur l’axe des x; enfin deux ligues égales à c, 1 une OC sur l’axe des .r, l’autre OC’ sur l’axe des jy. On tracera, sur le plan des i r, le cpiart de cercle AA', le

Sériions principales .

Aies

opilqoes.

quart d’ellipse BC'; sur le plan des SX, le quart de cercle BB', le quart d’ellipse CA'; enfin sur le plan des xy , le quart de cercle CC', le quart d’ellipse AB'; toutes ccs courbes ayant O pour centre et leurs axes sur les arêtes de l’angle trièdre. Soit , sur le plan des z.r, ( £ le point d’intersection des deux courbes tracées; la section complète donnera trois autres points semblables , ou quatre en tout , symétri- . quement placés sur deux diamètres delà surface. Ainsi qu’il va être démontré, ces quatre points sont seuls communs aux deux nappes qui constituent la surface , l’une extérieure ou enveloppante , dont la trace, sur les plans de l’angle trièdre choisi , est ‘S A' AB'®; l’autre intérieure ou enveloppée , dont la trace cst^BC'Ctp.

Pour obtenir une représentation sensible de la fttrface des ondes , le procédé suivant est encore le meilleur. Imaginons que l’angle trièdre des coordonnées positives soit coupé suivant l’axe des • y; que le plan des zy tourne autour de OZ pour se rabattre sur le plan des zx\ qu’enfin ce dernier plan tourne autour de OX pour se coucher sur celui des xy. On pourra dessiner avec exactitude, sur l’unique plan qui contient ce double rabattement, les différentes traces tic la surface, telles que nous venons de les définir. On aura ainsi , sur une échelle aussi grande qu’on voudra, la fig. 6‘. Si l’on rétablit ensuite les trois plans dans leurs positions primitives, et si l’on se place de manière à les voir sous un même angle, on sc formera une première idée , exacte et simple , de la surface qui doit réunir les traces dessinées. Enfin, c’est en imaginant les mêmes choses répétées dans les huit angles trièdres des plans coordonnés, que l’on peut sc figurer la forme complète de la surface des ondes.

§ 101. — Pour constater l’existence des deux nappes, et leur mode de liaison, soient : p un ravon vecteur, et (/, g , h)

suit l’élasticitk. af>5

les cosinus des angles qu’il fait avec les axes, d’où (a) * =/?, .r=gp, z = hf, S/’= i;

l'équation ( 16 ), § 97, deviendra ( 3 ) p 4 S a 7 f 3 — p 3 . S n 3 ( b 7 -f- c 7 )f‘ ■+• b 7 c 7 . Sy -3 = o ;

multipliant par 4 -Srt*y *, et résolvant, on a

(4) 2p 3 Sa 3 / 3 — S« 3 (è 3 + r 3 )/ 3 = ±W;

ce qui donne en général deux rayons vecteurs pour chaque direction - , et l’équation (4), suivant que le radical W sera affecté du signe -+- ou du signe — , donnera le plus grand ou le plus petit de ces rayons vecteurs, lesquels ne pourraient être égaux que si W était nul. Or on a

les facteurs des différents termes étant tous positifs; celle valeur de W* peut se mettre sous les formes suivantes :

W’=r [a 7 (b 7 — c 7 )/’-+- b 7 [a 7 — c 7 )g 7 -+- c 7 (a 7 — b 7 ) h 7 ] 7 — 4 b 7 c 7 ( a 7 — b 7 ) (b 7 — c 7 ) h 7 f 7 = [& 3 (zi 3 — c 7 ) g 7 (a b 2 — c 7 . f -f- c \ a 7 — A 3 ./») 3 ]

et l’on voit qu elle ne peut s’annuler que si

g — o, et a 7 ( b 7 — c 3 )f 7 = c 7 (n 5 — b 7 ) h 7 .

Ces deux relations, jointes à la quatrième ( 2 ), donnent

f =¥<ÿ-- TT)’ *=°’ =

ou les directions de deux diamètres situés dans le plan de

s.r ; d’où résulte

il) - r » =

c Jet' 1 — b ■

I <7 y b ' — c 2 \ja 2 ■ — c 2

pour les coordonnées des quatre points ( S, les seuls qui soient communs aux deux nappes de la surface.

On donne aux deux diamètres qui aboutissent à ces quatre points le nom d'a.res optiques ; nous les distinguerons par les cosinus

gc — o , "» = X 1 -- ’

c \Ja 2 — b 2 b y’fl-i — c t

^ — o , b eo —

Désignons par U et 1T les angles que le rayon vecteur p fait avec ces deux axes ; on aura

cos U , — i

b \ja'‘ — c 2

, c\Ja 2 — b 2 .f — a J b 2 — c 2 .h

cosU = — ;

d’où l’on conclut, sans difficulté,

(i — cos J U) (i — cos 1 U') b' (a 2 — c 2 ) 2 = [b 2 (a 2 — c 2 )S / 2 — c 2 (a 2 - ■ b 2 )f 2 — a 2 {b 2 — c 2 ) b 2 ] 2 — 4 a 2 c 2 (a 2 — b 2 ) (b 2 — c 2 )h 2 / 2 = [a’ {b 2 — c 2 )/ 2 ■+■ b 2 (a 2 — c 2 )g 2 -+- c 2 (a 2 — b 2 ) h *]*

ce qui donne au radical W la forme très-simple (g) W = b 2 (n 2 — c 2 ) sin U sin U',

et à l’équation (4), celle-ci,

s c, 2 .S n 2 ) ■ — S a 2 {b 2 + c 2 )/ 2 — ± b 2 (a- — c 2 ) sin IJ sin IJ',

suit l t ' ÉLASTICITÉ, ou, puisque il après l’équation (3),

a ! bU

autrement

n? f)~ c* A* { fl*’ —

( 10 ) S a'p— - = ± — — sinUsinU';

c’est-à-dire que, si p, est le plus grand et p, le plus petit des deux rayons de même direction, on aura simultanément

1 fl’è’r 2 è J (o J — r’) . .

S a 'f- — = -r , — — sin U sinU ,

Pi P>

— S a'f' t — sin U sin U ,

l Pi Pi

et, par addition , en divisant par n* A*c* ^ H-

^ ^-pî = =(i-^) sinUsinlJ ' ;

équation fondamentale dans la théorie physique des cristaux à deux axes, et qui établit une relation entre les vitesses des deux rayons lumineux de même direction.

Reprenons la notation employée aux §§ 97 et 98, dans la théorie des points conjugués de la surface des ondes, et désignons par (.r,, y„ 2 ,), (.r, , „ z t ) les coordonnées des points Mj, M, , dont les rayons vecteurs sont p,, p,; nous aurons le tableau

y<=gp‘i *i = A pi»

, -t-*î = R. = pî,

I «>x; -+- b’ y] -t- r’ sJ = P, = R, S «’/%