b'y\ -4- r’*i = P, = R. Su
a58 LEÇONS
.Maintenant , l'équation (3) donne, par son dernier terme*
R, Rj —
ou bien, d’après le tableau (i3), Tune ou l’autre des deux relations
Mais , d’après le § 99, est le carré de la vitesse de l’onde *» ** *
plane dont M, est le pôle - r est le carré de la vitesse de
l'onde plane conjuguée au point M*. On a donc ce théorème remarquable : La vitesse de chacun des deux rayons lumineux d'une même direction est égale à la vitesse de l’onde plane conjuguée à l’autre rayon.
Ccrdes k 1()2. — Proposons-nous de trouver le point con ugue
<lo contact Cl J „ ,, . r S, ,
ombilic, de 1 extrémité M 0 d un axe optique éprenons pour Al 0 le point $, § 100, situé dans l’angle trièdre des coordonnées positives; puisqu’il est à l'intersection des deux courbes qui composent la section principale des zx^ ses coordonnées vérifieront les trois équations
ci seront conséquemment
y la- — b 1
On sait que, les coordonnées (x, j', s) d’un point M étant connues, celles (.r / , y\ z') de son conjugué M' sont données par les formules (3 1 ), § 518 : mais il y a une exception
SUR l’élasticité. ' a5çj
ii cette règle, c'est lorsque le point M est M»; car les valeurs citées se présentent sous la forme -» ou restent in- * o
déterminées, puisque les valeurs (i 5 ) donnent
11 faut donc se servir d'une autre méthode pour trouver le conjugué M’, de M*. ‘
 cet effet, substituons les valeurs (16) et (t 5 ) aux (x, y, 2 , P, R) du groupe (37), § 99 ; il en résultera entre (x', y\jz') les quatre équations
.r' a 1 — b' -+- z' ^ b 7 — c' — b y a 7 — c 1 , c’ x' y f u 7 — b 7 -f- a'z' ^ b 7 — c 1 — b R' ^ a 7 — c’, a 7 x! s/n 1 — b 7 + c’z' \ ! b 7 — c 7 = Ç- \Ja 7 — c%
car les deux dernières des cinq équations du groupe cité n’en * donnent qu’une seule, et mèinela dernière (18) ; mais cette dernière (18) n’est qu’une conséquence des trois premières, puisqu’on, peut l’obtenir eu additionnant la deuxième et 'la troisième, et retranchant la première multipliée par (e 8 4- «’). La première (18) représente un plan , la seconde une ‘sphère, la troisième un ellipsoïde, surfaces qui doivent comprendre le point M' # que nous cherchons.
Or il arrive que les points communs au plan et à la sphère sont aussi, et tous, situés" sur l’ellipsoïde : en effet, les équations île la sphère et de l’ellipsoïde peuvent semet-
iGo
tre sous la forme
c'x' \jd ! — />’ -f- a 7 z' \j b 2 — e 5 J a} — c 1 .
a-x' y / a 2 — b 1 -+- c 7 z' \j b 7 — c 1 J ti l — ~
si l'on retranche la première de la seconde, on a
b \Ja 7 — c 7 [x‘ y/a 7 — b 7 — s' — c 1 ) .
ou , réunissant dans le deuxième membre.
i X (x' y/a 2 — à 2 -+- z' \Jb 2 — c’ — 6 y/a 2 — r 2 );
c’est-à-dire que l’intersection de la sphère et de l’ellipsoïde (19) se compose de deux courbes planes ;‘et puisque le plan de l’une de ces courbes 11’est autre que le plan (18), il en résulte le fait énoncé.
D’où l’on conclut que tous les points de la circonférence de cercle, intersection du plan et de la sphère (i8),sontautant de points M', ou de points conjugués de M 0 , extrémité d’un axe optique. Mais tout point M est le pôle, relativement à l’ellipsoïde (2 6), § 98 , du plan tangent' dont son conjugué M' est le point de contact; tous les conjugués M', de M 0 sont donc autant de points de contact d’un seul et même plan; c'est-à-dire que le plan (18) est tangent à la surface des ondes suivant toute l’étendue de la circonférence du cercle, représenté par les deux premières équations (18), et que nous appellerons cercle de contact. Mais tout conjugué M’ t est le pôle d’un plan tangent en M„; il y a donc,
su u l’élasticité. 2 G 1
en M 0 , une infinité de plans tangents ayant leurs pôles situés sur le cercle de contact; c’est-à-dire que M 0 , ou l’extrémité d'un axe optique, est uu ombilic de la surface des ondes. Cette surface a donc quatre cercles de contact et quatre ombilics.
Cette double propriété achève de définir la forme de la surface que nous étudions. Les tangentes communes au cercle de rayon ô, et à l’ellipse d’axes «etc, dans la section 'des tx , déterminent les diamètres des quatre cercles de contact. Les deux nappes n’ont d’autres points communs que les quatre ombilics. Si on les détachait en ces points, la nappe externe ou enveloppante figurerait une sorte de coussin ayant pour section moyenne l’ellipse d’axes a et />, et quatre coins rentrants; tandis que la nappe interne ofi enveloppée présenterait la forme d’une outre, ayant pour section moyenne le cercle de rayon c, et quatre nœuds en saillie. Pour l’œil placé au loin sur l’axe des y, le contour apparent de Ja nappe externe est une sorte d’octogone, ayant quatre côtés linéaires et non adjacents, réunis ou séparés par deux arcs de cercle et par deux arcs d’ellipse auxquels ils sont tangents; taudis que le contour apparent de la nappe interne est un quadrilatère convexe, à côtés courbes, deux circulaires et deux elliptiques, formant angles aux quatre sommets. Les contours des mômes nappes , pour l’œil placé au loin sur l’axe des z ou sur l’àxe des x, ne présentent aucune discontinuité du même genre; ils sont •ou complètement circulaires, ou complètement elliptiques. »
§ 103.' — 11 est une autre manière de représenter la surface des ondes, qui conduit à de nouvelles propriétés. L’équation de cette surface étant
(21) • Q = RP -t- 7,
Courhes sphériques ei courbes ellipsoidale-
on a le groupe des trois équations
a’ ( è’ -h cp jc ! -4- b 7 (c 7 -i- a 7 ) y 7 c 7 (a 7 + b 1 )z‘ = RP -+■ rj- t
et si l’on regarde R et P comme deux paramètres auxiliaires, , ce groupe représente aussi la surface. Les limites des valeurs que l’on peut donner à ces paramètres, se déduisent de la réalité nécessaire des (x, y, z). Si l’on ajoute trois lois les' équations (22), après les avoir respectivement multipliées, . une première fois par ( — b*c*, — a*, -+-1) ; une seconde par ( — c'a*, — b*, 4 -i) -, une troisième par ( — a* b*, — e s ,+ i), on isole successivement le. carré de chaque coordonnée , et l’on a
, (R -a») (P -AV)
, (R -ftp (P -c»*») v
(R — cp(P — a'- b')
ou bien, en composant les dénominateurs de facteurs positifs , vu l’ordre décroissant a > b > c ,
(R — çp(P — a 7 b 7 ) *
(h 7 — cp (a 7 — c 7 ) <
Pour que j soit réel, il faut que (R — b*) et (P — c* a 7 ) soient de même signe. Si ces deux facteurs sont positifs , ou si l’on prend R> b* > c*, P >ç* «’ > b* c*, la réalité de x et de z exige que R ne surpasse pas a*, *et que P ne
sua l’élastiutic. ,»G3
surpasse pas a* b*. Si les deux facteurs du numérateur de > ! sont négatifs, ou si l’on prend n , '^>b , '^> fl, a’ b* la réalité de x et de z exige que P surpasse i’c’, que P surpasse c*. Çe qui donne les deux séries d’inégalités
Ainsi les deux paramètres sont liés l’un à l’autre, de telle sorte que si II est compris entre a* et b', P doit l’ètre entre a*b f et c'a’, et que si R est compris entre b* et c*, P doit l’être entre t^a* et b*c*. Les inégalités (25) ont lieu sur la nappe externe, les inégalités (a(i) sur la nappe interne.
Si l’on fait usage du tableau de symétrie , des formules et du genre de calcul du § 95, on déduit facilement du groupe (a3),
at> 1 Fi =;s(4’-c ; )(^-î)=";
i 7 Un : •
ce qui montre que l’équation de la surface des ondes peut se mettre sous les deux formes
K — a 7 ' R — b' R — c 7 Toute sphère dont l'équation est (28) '
coupe la surface des ondes suivant une courbe sphérique,
qui est en même temps sur le cône
Tout ellipsoïde dont l’équation est
( 3o) a 1 jr 1 -+- b' 1 y 7 -+- c ! ^ , = P,,
trace sur la même surface une courbe ellipsoïdale qui est en même temps sur le cône .
Ainsi , chaque point de la surface des ondes est déterminé par l’intersection d’une courbe sphérique et d'une courbe ellipsoïdale. 11 s’agit de faire voir que ces courbes se coupent à angle droit. Soient (x,, y t , z t ) les coordonnées du point M, , où les paramètres R et P ont pour valeurs R, , P, -, les deux cônes (29) et (3i) ont pour plans tangents, en ce * point,
lOlyX
et le cosinus de l’angle compris entre ces plans a pour facteur
Ainsi les deux cônes se coupent orlliogonalement. Or la tangente à la courbe sphérique en M, est perpendiculaire au rayon de la sphère (28) qu à l’arète commune des deux cônes; elle est donc perpendiculaire au cône (3i), et, par suite, à la tangente à la courbe ellipsoïdale.
ÇAdos
orihofunam.
§ 104. — Le cône qui coupe upe des deux nappes de la surface, suivant une courbe sphérique, coupe l’autre nappe sui-
sim l'élasticité. il) 5
vaut une courbe ellipsoïdale. En cil’et, d’après les é(j nations (r4j, S s > ul Ri sont les carrés de deux
rayons vecteurs de même direction, on a
or, sur le cône (29) K) est constant, donc P t = l'est
aussi ; c’est-à-dire que ce cône trace une courbe ellipsoïdale sur la seconde nappe. Pareillement, sur le cône( 3 i) P ( est
constant, donc R t = ~ l’est aussi ; c’est-à-dire que ce cône
trace une courbe sphérique sur la seconde nappe. D’après ecla, si nous appelons cône R, celui qui est représenté par l'équation (29), nous pourrons appeler cône R. celui que représente l’équation ( 3 r), ou celle-ci
qui s’obtient en substituant ~ à P, , dans cèlte mèmeéqua-
