IV

tion ( 3 i).

Les deux cônes R, et R», qui se coupent à angle droit, suivant une arête commune , sont tels, que si R, surpasse ô’, nécessairement Rj lui est inférieur. En cllet, pour que j* (24) soit positif, si l’on a R, ô’, il faut que P, > c*o*j mais on doit avoir R 1 P,=a ! A , c*, donc Rj < ^ous supposerons que R, est toujours supérieur à et R, inférieur. D’après cela , tout cône R, trace une courbe sphérique sur la nappe externe , et une courbe ellipsoïdale sur la nappe interne ; l’inverse a lieu pour un cône R*. Les équations (29) et ( 32 ) de ces deux familles de cônes peuvent se mettre sous la forme

— Ri

Aux limites extrêmes, R, peut prendre sa moindre valeur A’, R, sa plus grande qui est aussi A * ; mais la nécessité que y 1 soit toujours positif, quoique infiniment petit, exige

que pour R, = b on a.t — - ,

que pour A, = b'- on ait

d’où l’on voit que les cônes limites, R, = A s , R, = A% se , réduisent aux plaques angulaires comprises entre les deux axes optiques, § 101, et dont les bissectrices sont, l’axe des x pour le cône R, = A’, l’axe des z pour le cône R a = A*. En général, tout cône R, entoure l’axe des x , tout cône R, l’axe des z.

On peut encore mettre les équations (25) et (.I2) des deux familles de cônes R| et R a sous une autre forme qui précise mieux leurs liaisons et leurs différences. Cette transformàtion s’opère en posant

JL JL £ £ 1 £'

k étant une constante quelconque , p et v deux paramètres nouveaux, la constante y surpassant j 3 . Les équations (29) et (32) , que l’on peut écrire ainsi ,

suit l'élasticité.

devieunent, par la substitution des valeurs (34 ) ,

et représentent des cônes homofoeaux , ou les cônes asymptotes à deux fa mi Iles dJhyperboloïdes à une et à deux nappes , dont les sections principales ont les mêmes loyers.

§ lüo. — Pour compléter l’élude purement géométrique de la surface des ondes, il nous reste à dire quelques mots sur les variétés de cette surface. Lorsque deux des trois vitesses principales (a, ô, c) sont égales, la surface sc décompose en deux autres, une sphère et un ellipsoïde de révolution. En elfet, son équation (iG), § 97 , devient

(36) (jt ! +.r’ -+- z: — a s ) [n’ {.r ; -t-/’) -t- e’s : — u’c 3 ] o,

si b = a : et

(37) (je- + z ' — b') 6= (jr- -f — o’ 6 1 ] = o,

si c =' b. Pans le premier cas, la sphère enveloppe l’ellipsoïde, lequel est allongé; dans le second, l’ellipsoïde est aplati et enveloppe la sphère. Dans les deux cas, les deux surfaces se touchent aux deux pôles de l’ellipsoïde ou aux deux extrémités de son axe de. révolution. Enfin, lorsque les trois vitesses principales sont égales, la surface des ondes se réduit à une sphère , ou plutôt à deux sphères égales et qyi se superposent; car, si l’on fait a — b — c dans l’équation («6), §97, ou c = a dans l’équation (36), ou

b =a dans l’équation (37), 011 obtient *

Variétés do la sorfaco des ondes.

a68 , LEÇONS

Quand la surface des ondes devient une sphère et un ellipsoïde, par l’égalité de deux des vitesses principales , deux points conjugués l’un de l’autre sont situés sur une même perpendiculaire à l’axe. Ces deux points se confondent lorsque les trois vitesses sont égales. Mais la considération des points conjugués est inutile, pour ces variétés de la surface des ondes.

•SUR I. ELASTICITE.