VINGTIÈME LEÇON

Ondes circulaires à la surface cTun liquide. — Ondes linéaires composées. — Ondes sphériques. — Construction (THuyghens. — Théorie de la double réfraction de Fresncl.

§ 106. — Dans les deux dernières Leçons sur les propriétés onde»

, , 11 ri 1 circulaires.

purement géométriques de la surface des ondes, nous avons supprimé les définitions et les développements qui concernent la théorie physique où cette surface joue un rôle important. ÎNous allons combler celte lacune dans la Leçon actuelle, et nous essayerons d'abandonner un instant le langage des géomètres, pour employer celui des physiciens. jNotre but est d’exposer la surte'dcs idées qui out amené la théorie de la double réfraction au point où elle se trouve aujourd’hui, en laissant à ces idées tout ce qu’elles ont de hardi, de hasardé, de peu rigoureux quelquefois. Ce sont précisément cés défauts , ou plutôt ces qualités, que nous cherchons, puisqu’il s’agit de donner un exemple du pouvoir que possède l’analyse, d’apprécier la valeur des idées préconçues. Commençons par dire d’où viennent les idées d 'onde, d 'ondulation, A' onde plane, de surface des ondes, de toutes les expressions que nous avons employées sans définition suffisante. Empruntées pour la plupart» la théorie physique des liquides, elles out servi à l’acoustique, et une analogie encore plus grande les a étendues aux phénomènes lumineux. '

Lorsqu'un corps pesant, d'un certain volume et d'une densité plus grande que l’unité, tombe verticalement' sur la surface d’une nappe d’eau tranquille, on sait qu’il se forme-

1~jO LEÇONS

des rides circulaires et mobiles, dont lè lieu de la chute est le centre. Ce sont là des ondes circulaires. On se rend compte de ce phénomène en remarquant que les molécules d’eau, brusquement abaissées au centre d’ébranlement, oscillent verticalement avant de revenir au repos; ce mouvement oscillatoire se communique de proche en proche avec une certaine vitesse de propagation, la -même dans toutes les directions. Si* l’on peut faire en sorte que la colonne centrale ne fasse qu’une oscillation , il n’y aura qu’une ride circulaire qui se propagera, en s'agrandissant quant à son rayon , et en s'effaçant par la'diminulion graduelle de sa hauteur ou de l’amplitude de l'oscillation. En général, il résulte de la chute du corps pesant plusieurs oscillations décroissantes, au centre de l’ébranlement, et par suite plusieurs rides ou ondes circulaires qui se propagent à la suite les unes des autres. .

inàoi linéaires § 107. — Si une oscillation unique, produite au centre, composées. a line amplitude assez grande pour que l’onde circulaire soit encore sensible à une très-grande distance de ce centre, on pourra la considérer, à cette distance, comme formant une onde linéaire sur une assez grande étendue ; mais, dans certaines, circonstances, il peut se former à la surface d’une grande masse d’eau tranquille des ondes linéaires cninpo- ■ sées, qui partent des centres d’ébranlement eux-mêmes, ou qu'il n’est pas nécessaire d’aller chercher loin de ces . centres. Par exemple/imaginons, Jig. y-, des' boules (b. />', h",..., b ! " J ), suspendues par des fils métalliques très- v

minces à une barre horizontale BH, mais à des hauteurs j

dill'érentes, sur une même ligne b M b inclinée à l'horizon; I

' soit EA la»surface d’une eau tranquille, E'A' un plan hori- •

zontal rencontrant tous les fils de suspension un peu au- t

dessoiis de la barre HH;' un mécanisme fait descendre tout - t

• TapparoH, d’un mouvement uniforme, de E’A 1 en EA. 1

L'immersion rapide de chaque boule produit un système d’ondes circulaires j tous les systèmes d’ondes coexistent ou se superposent: d’après la disposition des boules, et l’uni- forinité de la descente, ils sont en retard les uns sur les autres : quand celui de la boule la plus élevée b W commence , celui de la boule b s’est déjà étendu jusqu’en /3, ce- • lui de b' jusqu’en /S', celui de b" jusqu’en /S", etc. A ce moment, les effets des ondes circulaires , en leurs points d’intersection, sont concordants ; la suite de tous ces. points d’intersection forme une ligne droite EF, où les hauteurs des rides sont plus que doublées , et il en résulte l’apparence d’une onde linéaire, se propageant d’ailleurs avec la même vitesse que les ondes circulaires.

Pour tracer la direction de celte onde linéaire composée, il suffirdc décrire le cercle dont le lieu de la chute de b est le centre, et qui a pour rayon l’espace parcouru par son système d’ondes avant la chute de b l "\ puis de mener par le lieu de cette dernière chute une tangente au cercle décrit. On voit facilement -que.EF fera un angle d'autant moindre avec EA que la ligne des boules sera plus voisine de l'horizon; si cette ligne des boules élait horizontale, tous les systèmes d’ondes circulaires commenceraient en même temps, et Fonde linéaire composée serait parallèle à F.A. De l’autre côté de EA, il existera un système d’ondes linéaires semblable et symétrique: ce qui formera une sorte , d’onde, angulaire d'abord, puis composée de deux côtés non parallèles qui ne se rencontreraient sur EA que si on les prolongeait. S’il n’y a que deux ou trois boules, la partie active de Fonde linéaire composée aura fort peu de largeur, car elle se réduira au lieu des contacts de deux ou de trois cercles tangents; on aura ainsi des rayons ondulatoires composés, perpendiculaires aux ondes linéaires dont il viçnt d’être question.

a ~ji . LEÇONS

Voici la définition d'un rayon ondulatoire : Supposons une seule boule tombée; les molécules d’eau, primitivc- - ment situées à la surface du liquide sur une droite partant du lieu de la chute, formeronj. au bout d'un certain temps une ligue sinueuse, et plus tard encore une autre ligne sinueuse en tout semblable à la première, mais dont la forme sera déplacée, comme si, de la première époque à la seconde, la ligne avait glissé avec la vitesse de propagation; c’est là un rayon ondulatoire. La distance entre les tangentes horizontales d’une même sinuosité est Y amplitude de l’ondulation ; cette amplitude va en diminuant à mesure que l’ondulation est plus éloignée du centre. La distance entre les verticales passant par les points de contact de deux tangentes horizontales successives, du même côté d’une sinuosité, est la largeur d'onde, ou la longueur d’ondulation; elle ne varie pas dans le mouvement général. Si l’on revient au cas de trois boules tombées successivement, on verra que la suite des points de concordance des trois systèmes d'ondes circulaires forme deux rayons ondulatoires composés, 'dont l’amplitude est au moins double de Celle d’un rayon ondulatoire simple.

* Si l’on voulait établir, en chacun des centres d’ébranlement, une suite d’oscillations d’égale amplitude, il faudrait disposer sur les mêmes fils verticaux plusieurs rangées déboulés parallèles à b^ b , et équidistantes entre elles; j leur intervalle vertical étant dans un certain rapport avec la vitesse uniforme de la descente. On pourrait laisser tomber, d’une même hauteur, des boules ou de simples gouttes , s’échappant par les trous d’un tamis, lesquels ne seraient ouverts que successivement. De quelque manière que ce soit, l'expérience est évidemment réalisable. Voici, d’ailleurs, une circonstance où des ondes linéaires composées se produisent naturellement. Lors de la marche régulière d’un bateau à vapeur d’iine grande force, sur un fleuve peu pro-

SUR l.'iCLASTICITÉ. ■i’j'i

fond, f immersion successive des palettes occasionne un etïet du même genre que celui de notre appareil à boules ; on voit, a une certaine distance -en avant, deux ondes linéaires inclinées sur l’axe, une de chaque côté; elles marchent avec la même vitesse que le bateau , et comme si elles lui étaient invariablement unies. Ces deux vagues linéaires s’étendent, en divergeant à l’arrière, jusqu’aux deux rives du fleuve, où elles agitent convulsivement les batelets qui y stationnent. L’angle qu’elles forment est d’autant moindre que le bateau va plus vite. Leur hauteur est d’autant plus grande que l’eau est moins profonde. Ce phénomène est surtout sensible sur la basse Seine, entre Rouen et le Havre.

§ 108. — Pour expliquer, dans la théorie physique des ' ondes lumineuses, les phénomènes de la réfraction simple et de la réflexion, on admet que les molécules de la surface de tout milieu diaphane d’élasticité constante, atteintes par la lumière, entrent en vibration et deviennent les centres d’autant de systèmes d’ondes sphériques, qui donnent lieu à des ondes planes composées de deux sortes : les unes se propageant dans le milieu extérieur, d’où la lumière réfléchie; les autres dans le milieu diaphane lui-mème, d’où la lumière réfractée. Soient, fig. 8, A15 la face plane d’entrée du milieu diaphane; IL un rayon lumineux incident situé dans le plan de la figure, que nous appellerons plan d’incidence; soit PL perpendiculaire à IL : si le point lumineux est très-éloigné , on pourra regarder le phénomène comme produit par une onde plane ayant LP pour trace, et se propageant normalement ou suivant IL, avec une vitesse de propagation que nous prendrons pour l’unité. Tous les rayons i7, i'l\ i"I " , etc., parallèles à IL, seront concordants en L, /, I", etc. ; c’est-à-dire qu’ils y seront constamment

aux mêmes époques de leurs mouvements vibratoires. Ils atteindront respectivement des molécules m , m\ m", etc.,

O mips sphériques

LRfiOJM

de la surface du milieu diaphane, lesquelles entreront eu vibration et deviendront les centres de systèmes sphériques d’ondes lumineuses, mais d’autant plus tard que ces points sont plus éloignés de L.

Pour trouver l'onde plane composée, de lumière réfractée, qui résultera du concours de tous ces systèmes d’ondes sphériques, inscrivons dans l’angle PAL une ligne PA, parallèle à IL , et égale à l’unité ou à la vitesse de propagation de l’onde plane incidente. Tous les points de la perpendiculaire au plan d’incidence, dont A est la projection , commenceront à s’ébranler en même temps; mais, à cette époque, le centre L aura étendu son système d’ondes sphériques à une distance n, vitesse de propagation de la lumière dans le nouveau milieu. Or, si l’on mène, par la perpendiculaire en A , un plan tangent à la sphère de centre L et de rayon a, on aura évidemment l’onde plane composée, où tous les systèmes sphériques de centres L, ni , m\ m'\ etc., seront concordants. Si l’onde plane incidente LP n’est active que sur une étendue LX, la surface A 13 ne sera ébranlée que sur une étendue correspondante Lu, cl l’onde plane réfractée que sur une étendue Ho , où se trouvent les contacts des ondes sphériques concordantes, dont les centres sont entre L et p. Alors, au faisceau incident (ILsp) correspondra le faisceau réfracté (Lllpo); ou bien, au rayon incident IL, le rayon réfracté LR. En outre, les centres d’ébranlement L, m , m', ni ", donneront lieu à des ondes hémisphériques dans le premier milieu ; elles seront concordantes sur le plan mené, parla perpendiculaire en A, tangenticllement à la demi-sphère décrite de L comme centre, avec un rayon égal à AP, vitesse de la lumière dans ce premier milieu. Si l’onde plane incidente n’est active que sur LX, au faisceau incident (IL su) correspondra le faisceau rciléchi (LI'ps'); IV étant,, sur l’onde plane réfléchie, le lieu des con*

Digitize

SUa LKLASTICITK. 27}

tacts des ondes concordantes dont les centres sont sur Lu ; ou bien, au rayon incident IL correspondra le rayon réfléchi Ï3'.

\oici les conséquences mathématiques de cette théorie : Les points de contact R et I' des plans tangents aux deux sphères, par suite le rayon réfléchi 1,1' et le rayon réfracté LR, seront dans le plan d'incidence. Soient N LIN'

normale à Ali, l’angle d’incidence II.N = i, l’angle de réfraction îi'I.R = r; on aura

rçT, : , LJ 1 sin / sinr

PLA = i , I,A R r= r, et — - =r — :

Al. 1 a

puis le triangle

LAI' = ALP , d’où I'AL = » = l'LN,

angle de réflexion. D’où l’on conclut : i n que pour tout milieu diaphane uni-réfringent , le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont dans le plan d’incidence; 2 0 que l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence; 3° que le sinus de l’angle d’incidence, divisé par le sinus de l’angle de réfraction , donne un rapport constant appelé indice de réfraction , et égal au rapport direct des vitesses de la lumière dans les deux milieux. Et ce sont effectivement là les lois de la réflexion et de la réfraction simple, qui ont été si souvent vérifiées.

§ 109 . — Pour expliquer de la même manière les phénomènes optiques des cristaux biréfringents, à un seul axe optique, il suffit d’admettre, avec Huyghens , que chacun des points L, m , »»', m", etc., qui sont successivement atteints par l’onde plane incidente, devient le centre d un double système d’ondes, les unes sphériques, les autres ellipsoïdales et de révolution autour d’un axe dit de double

Construction

d'Iluygheng.

réfraction , ayant la même direction dans tout le milieu. De là résulte, par réfraction, deux ondes planes composées, passant par la perpendiculaire en A, et tangentes à deux ondes, Tune sphérique, l’autre ellipsoïdale, ayant L pour centre, et un même diamètre parallèle à l’axe; ces deux ondes étant les limites atteintes par les deux systèmes émanés du centre L , quand l’onde plane incidente arrive en A. Si l'onde plane incidente n’est active que sur l’étendue LÀ, fig. y, l'onde plane tangente à la sphère de centre L ne sera active que sur l’étendue R o, lieu des contacts des ondes sphériques concordantes dont les centres sont situés entre L et p, et aussi l'onde plane tangente à l’ellipsoïde de révolution ne sera active que sur l’étendue R'o', lieu des contacts des ondes ellipsoïdales concordantes dont les centres sont sur Lp; c’est-à-dire qu’au seul rayon incident IL correspondent les deux rayons réfractés LU, LH'. Telle est, en efict, la construction d’Huygliens pour les cristaux biréfringents à un axe, construction qui, énoncée empiriquement, a été vérifiée par l’observation jusque dans ses dernières conséquences.

Ainsi, il résulte de cette construction que le rayon réfracté LU suit complètement les lois de la réfraction simple; c’est le rayon ordinaire. Le rayon réfracté LU', dit extraordinaire , suit des lois plus compliquées; il n’est dans le plan d’incidence : i° que si ce plan est parallèle à l’axe de double réfraction, et alors le rapport du sinus d’incidence au sinus de réfraction n’est pas constant; 2° ou, quand la face ÀB est parallèle à l’axe, que si le plan d’incidence lui est perpendiculaire ; et alors le rayon LU', sans se confondre avec LU, suit comme lui les lois de la réfraction simple. Enfin , si la face AB est perpendiculaire à l’axe, ' et que le rayon incident soit normal, il n’y a qu’un seul ravoiï réfracté, normal aussi. Toutes ces conséquences de

sut! l'élasticité. 277

la conception d’Huvghcns, et d’autres encore, se vérifient complètement. Mais cette conception hardie, si bien justifiée par les faits , laisse en dehors la cause même de la double réfraction et de la polarisation qui accompagne ce phénomène; aussi la construction d’Huyghens n’a-t-elle été regardée, pendant longtemps, que comme une règle empirique, due à un heureux hasard. C’était méconnaître un trait de génie, et Fresncl ne s’y est pas trompé. Le fait de la double réfraction du verre comprimé lui fit penser que la bifurcation de la lumière réfractée et sa polarisation dépendaient d’une différence d élasticité dans des directions diverses. Et c'est en poursuivant celte idée, en l’étudiant avec le concours de l’analyse, que l’resnel a été conduit à sa principale découverte. Voici la marche de son invention.

§ 110 . — La théorie physique des ondes lumineuses 11e peut expliquer la double réfraction qu’en partant du principe employé pour la réfraction simple, mais en le généralisant, savoir : que les molécules de la surface d'un milieu biréfringent, successivement atteintes par la lumière, entrent eu vibration, et deviennent chacune le centre d'une onde multiple à deux nappes, d’une forme qu’il faut chercher. Lue première conséquence de cette extension du principe primitif, c’est qu’à fonde plane incidente LP correspondent deux ondes planes réfractées Ail,, AU,, fig. 10, pas santpar la perpendiculaire A, et tangentes aux deux nappes de fonde multiple dont L est le centre; celte onde multiple conservant la même forme et la même position, tandis que fonde plane incidente prendrait toutes les positions possibles, à chacune de ces positions de l’onde incidente correspondront deux ondes planes réfractées tangentes à la même surface; c’est-à-dire que fonde multiple dont L est le centre sera nécessairement enveloppée par toutes les ondes planes

Théorie do In double réfraction <lc Fretsncl.

u 7 B LEÇONS

pouvant se propager dans le nouveau milieu, quand elles auront quitté le centre L depuis l’unité de temps , ou quand la perpendiculaire abaissée de L sur chacune d’elles sera égale à la vitesse de propagation qui correspond à celte onde plane. On est ainsi conduit, pour trouver la surface de l’onde multiple, à chercher la loi des vitesses de propagation des ondes plaues.

Or une seconde conséquence de la même extension, c’est qu’une onde plane peut se propager avec deux vitesses dilîérentes dans le milieu nouveau : en effet, considérons, dans ‘ la construction générale, les deux ondes planes réfractées AK,, ARj, qui correspondent à l'onde plane incidente LP; l’une de ces ondes planes, Ail, par exemple, touche la nappe interne de l’onde multiple inconnue. Imaginons que l’on mène à la nappe externe un plan tangent p A' parallèle

à AR, ; ce plan p A' sera une des deux ondes planes réfractées qui correspondraient à une autre onde plane incidente LP, facile à déterminer. Donc l’onde plane de direction R, A peut avoir deux vitesses différentes, lesquelles seront égales aux deux perpendiculaires abaissées de L sur Ail, , sur A' o. Partant de cette conséquence, qu’une onde plane doit pouvoir se propager avec deux vitesses différentes, et des phénomènes de la polarisation qui démontrent qu’à chacune de ces vitesses correspond une direction diflérente de la vibration propagée, on cherche de quelle manière l’élasticité doit varier autour de chaque point du milieu homogène cristallisé, pour que chaque onde plane admette deux vitesses; ce qui conduit, comme nous l’avons vu , à la loi de ces vitesses. Puis, ces vitesses et leur mode de variation étant connus, on doit chercher quelle est la surface enveloppée par toutes les ondes planes passant en L, une unité de temps après ce passage. Cette surface enveloppée sera l’onde multiple de centre L, à laquelle les deux ondes

SUR 1.' ÉLASTICITÉ. a;<)

planes réfractées AH,, AH, sont langeâtes. Telle est la marche de l’invention de Fresnel, et celle que nous avons suivie synthétiquement.

Fresnel n’avait pour but que d’expliquer, par la théorie physique des ondes lumineuses, la construction d’Huyghens, qui coordonnait les faits optiques des cristaux biréfringents à un axe, seuls connus à cette époque. Il s’attendait donc à trouver, pour les deux nappes de l’onde multiple déduite de la théorie mathématique, une sphère cl un ellipsoïde de révolution ayant l’axe commun de double réfraction. 11 trouva une surface du quatrième degré qui ne se décomposait, de manière à donner la sphère et l’ellipsoïde, «pie dans des cas particuliers; il conclut de là que le fait général de la double réfraction n'était encore qu’imparfaitetnenl connu, et qu’il devait exister des milieux cristallisés où l’onde multiple serait indécomposable, comme dans sa formule. L’expérience est venue justifier celte prévision hardie: les phénomènes optiques de la topaze, et d’autres cristaux biréfringents, dits à deux axes, découverts par Fresnel , ont donné à sa théorie de la double réfraction une réalité incontestable, que sont venues confirmer avec éclat les découvertes faites par Hamilton, et vérifiées par Lloyd, des réfractions coniques et cylindriques dont nous parlerons dans la Leçon suivante.

* 11 est à désirer, pour les progrès de la Physique, que les savants et les professeurs qui s’occupent de cette science, considèrent et- présentent de deux manières différentes les théories partielles résumant un ensemble de faits connus, sans jamais faire entrevoir aucun autre fait, et celles qui, nées d’une idée nouvelle sur la cause d’une classe de phénomènes, ont indiqué ou prévu l’existence d’autres phéno • mènes du même genre que l’expérience a confirmée. Les premières s’appuient sur une hypothèse , très-utile comme moyeu de coordination, mais stérile, impuissante, et

n’ayant le plus souvent aucune réalité. Les secondes parlent d'une hypothèse d’un caractère tout opposé , car non-seulement elle explique , mais encore elle complète le groupe de phénomènes quelle a en vue; à celte hypothèse, dont la fécondité est ainsi constatée, on devrait donner un autre nom, et l’appeler principe. Mais comme cette hypothèseprincipe ne régit avec perfection qu’un groupe assez restreint, on lui préfère une hypothèse purement coordinatrice, plus générale mais qui ne devine rien; on conserve toutefois les résultats nouveaux, trouvés par la première, en les présentant comme des lois empiriques. C’est ce que l’on a fait pour la conceptiou d’Hnygliens; c’est ce que l’on fera peut-être un jour pour la théorie de Frcsnel, à cause de certaines anomalies, de certains faits nouveaux qu’elle n’explique pas, ou dont elle ne tient pas compte. Singulière illusion , que l’on retrouve souvent, en Physique et ailleurs : on exalte une science, une doctrine qui n’explique rien, qui ne devine rien , mais qui range, classe, coordonne assez bien les matières dont elle s’occupe; et si une théorie véritable surgit sur quelque point, qui explique admirablement une des parties, mais non les autres, celte imperfection de son travail naissant est le motif même qui la fait déprécier, rejeter, puis oublier.

sun l'élasticité.