VINGT ET UNIÈME LEÇON

Généralisation de la construction d H u valions . — Faisceau conique réfracté. — Faisceau conique émergent. — Rayons réfractés pour uno incidence donnée. — Cas de rincidence normale. — Forces élastiques développées lors des vibrations lumineuses.

§ 1 11 . — La forme générale de la surface des ondes dans les cristaux biréfringents à deux axes, découverte par Frcsnel, étant maintenant parfaitement comme ( 19 e Leçon), on doit obtenir les deux ondes planes réfractées, correspondant à une onde plane incidente donnée, en modifiant, ou plutôt en généralisant la construction d’Huvghens, par la substitution de la surface tromée au système de la sphère et de l'ellipsoïde de révolution ; en mettant son centre en L , et plaçant ses trois axes dans les directions fixes qui appartiennent à la masse cristalline. Les ondes planes réfractées étant ainsi déterminées, si l’onde plane incidente n’est active que sur une petite étendue, les parties actives des ondes planes réfractées seront limitées dans le voisinage de leurs contacts avec la surface des ondes; c’est-à-dire qu’au faisceau incident correspondront deux faisceaux réfractés dirigés suivant les rayons vecteurs allant de L à ces deux contacts. Ensuite, si l’on veut connaître la direction de la vibration propagée par chaque rayon réfracté , on projettera ce rayon sur l’onde plane correspondante, et sur cette onde plane même on mènera une perpendiculaire à la projection obtenue, § 97. Cette construction générale, ou cette règle, doit s’appliquer à toutes les positions de la surface du cristal , du plan d’incidence, et du rayon incident , relativement aux axes d’élasticité.

Généralisation do la

construction

d'Uuyflieus.

Faisceau conique réfracté.

Si le plan d'incidence se trouve perpendiculaire à l’un des axes d’élasticité , auquel la surface du cristal sera conséquemment parallèle, il résullede la construction générale, de la symétrie de la surface des ondes , et de la nature de ses sections principales, que les deux rayons réfractés seront dans le plan d’incidence, et que l'un d'eux seul satisfera à la loi des sinus, ou donnera un indice de réfraction constant, lequel sera -ï suivant l’axe d’élasticité choisi ;

ce qui donne un moyen de déterminer a , b , e, en mesurant ces trois indices. Dans cette circonstance du plan d’incidence perpendiculaire à l’un des axés d’élasticité , ce plan contient l’une des sections principales de la surface des ondes, c’est-à-dire un cercle et une ellipse ; le rayon réfracté LE allant à l’ellipse , propagera nécessairement des vibrations perpendiculaires au plan d'incidence, et conséquemment le rayon réfracté 1.0 allant au cercle, propagera des vibrations située-; dans ce plan d’incidence même. A chaque rayon réfracté correspondra un seul rayon incident, et une seule direction de la vibration qu’il propage.

§ 112. — Ces règles conduisent à deux exceptions remarquables. Si l’axe d’élasticité perpendiculaire au plan des axes optiques l’est aussi au plan d’incidence, ce plan contiendra la section principale de l’onde multiple qui se compose du cercle de rayon b, et de l’ellipse ayant pour axes «etc, lesquelles courbes se coupent. Imaginons leur tangente commune prolongée jusqu’en A., sur la face du cristal ; cette tangente sera la trace unique des ondes planes réfractées, correspondant à une onde plane incidente qu’il sera facile de déterminer. Mais cette onde plane réfractée aura une infinité de contacts avec la - surface des ondes, tous si tués sur une circonférence de cercle, § 102 ; d’où il suit que les faisceaux réfractés correspondant au

son l'élasticité. ^83

faisceau incident , se transformeront en un faisceau conique ayant L pour sommet, et le cercle des contacts pour base. Si la face de sortie du cristal est parallèle à la face d’entrée, ce faisceau conique réfracté produira, à l’émergence, un faisceau annulaire cylindrique, parallèle au rayon incident.

Cette conséquence, signalée par Hamilton, a été vérifiée par Lloyd ; un écran recevant le faisceau émergent, présente ' un anneau lumineux dont la forme et les dimensions restent les mêmes, à quelque distance que l’on place l’écran. Chacun des rayons du faisceau conique propage une vibration particulière ; on remarquera que celui de ces rayons 1.0 qui aboutit au cercle de la section principale, est perpendiculaire au plan du cercle des contacts; en sorte que le cône oblique dont ce cercle est la base, a une de ses arêtes perpendiculaire au plan de celte base. Il s’ensuit que les projections des autres arêtes passent toutes par le point O, et conséquemment que la vibration propagée par une arête oblique sera dirigée, dans le plan du cercle des contacts, de la trace de cette arête oblique à la trace E du rayon lumineux allant à l’ellipse de la section principale. Les phénomènes connus de la polarisation vérifient ces conséquences. Telle est la première exception.

Ainsi on peut, dans un cristal à deux axes, trouver un rayon incident auquel correspond un faisceau conique d’une infinité de rayons réfractés, propageant tous des vibrations de directions différentes. Et comme il y a deux directions distinctes d’ondes planes tangentes suivant des cercles, ce problème peut être résolu de deux manières. Les perpendiculaires (LO) à ces ondes planes particulières peuvent être appelées axes de la réfraction conique. Quand la face du cristal est taillée parallèlement au plan d’un des cercles de contact , il faut que le faisceau incident tombe normalement à la face pour se résoudre dans le faisceau réfracté, conique

J u I sceau conique émergent.

u84 LEÇONS

à l’intérieur, cylindrique annulaire à l’émergence. Avant que cette propriété eût été signalée , on croyait ne voir dans ce système, du rayon normal incident , du faisceau conique réfracté, et du faisceau annulaire émergent, qu’un seul rayon traversant normalement le cristal , sans se diviser et sans se polariser; c’était alors un véritable axe de double réfraction , et comme le cristal en ollrait deux semblables^ on l’appelait cristal à deux axes. On voit que les rayons normaux incidents, qui présentent ce phénomène, sont parallèles aux axes de réfraction conique , et non aux axes optiques que nous avons définis géométriquement, § 101.

§ 113. — Voici maintenant la seconde exception. Ou a vu que chaque rayon de la surface des ondes est l’un des deux rayons réfractés correspondant à un seul rayon incident, et qu’il propage des vibrations d'une seule direction ; cette détermination complète résulte de ce qu’à chaque rayon de la surface des ondes ne correspond qu’une seule onde plane ou qu’un seul plan tangent. Les rayons du faisceau conique ci-dessus étudié , ne font pas exception , car chacun d’eux ne provient que d’un seul rayon incident, et ne propage qu’une seule espèce de vibration ; mais le rayon dirigé suivant une des lignes que nous avons appelées axes optiques, fait au contraire exception, puisqu’il correspond à une infinité de plans tangents; d'où il résulte qu’il peut être l’un des deux rayons réfractés, pour une infinité de rayons incidents situés sur un certain cône oblique, et qu’il peut conséquemment propager des vibrations de toute direction .

Cette exception , encore signalée par llamilton , a pareillement été vérifiée par Lloyd. Après avoir déterminé dans un cristal la direction d’un axe optique, on taille, si l’on veut, deux faces parallèles entre elles perpendiculairement à cet axe; on recouvre ces faces de feuilles opaques percées de

SUR l’klasticitk. 285»

Jeux petits trous dont les centres sont sur la même normale; on concentre -sur l’un d’eux un faisceau de lumière, en le plaçant au foyer principal d’une lentille convergente; le faisceau incident , conique et plein, qui se concentre en ce foyer, fournit le faisceau conique annulaire qui se réfracte suivant le seul axe optique ; toute la lumière réfractée suivant cette direction uuique, émerge seule par le trou de la face opposée , et par la réfraction à la sortie , se transforme en un faisceau conique annulaire, dont les arêtes sont respectivement parallèles à celles du faisceau conique annulaire incident. Un écran qui reçoit ce faisceau émergent présente un anneau brillant, dont les dimensions augmentent à mesure qu’on éloigne l’écran. Tels sont les phénomènes des réfractions conique et cylindrique. La vérification complète de ces conséquences extrêmes donne «à la réalité de la théorie de Fresnel , une certitude qu’aucune théorie mathématique de phénomènes naturels n’a certainement point dépassée.

§ 114. — Quelques théorèmes importants résultent de l'application de l’analyse à la construction d’Huyghens, généralisée par Fresnel. Le problème consiste à déterminer les rayons réfractés correspondant à une incidence donnée. Imaginons la surface des ondes dont le centre est au point O, où le rayon incident LO rencontre la face FF' du cristal; prenons pour axes coordonnés ceux d’élasticité; désignons respectivement par (A , 1>, C) , (A,, B,,C,), (A', B', C') les cosinus des angles que font, avec ces axes, la normale en O au plan d’incidence, la normale ÏNOJV à la face du cristal , la trace FF' du plan d’incidence sur la même face, lignes qui forment un angle trièdre trircctangle; ces neuf cosinus vérifieront les relations counuesde tout système orthogonal. Menons OP perpendiculaire à OL, et inscrivons la droite PF parallèle à OL, et égale à la vitesse tt de la lu-

Hayons réfractés ponr une incitleucc donnée.

2<SG leçons

mière incidente; / étant l’angle 'd’incidence LOiN , représentons par A le rapport

smi

soient r,) les coordonnées du point M,, où l’un des

rayons réfractés perce la surface des ondes, (x 1 , y\ z') celles du point M' conjugué de M, .

L’onde plane réfractée, tangente en M,, aura pour équation , § 98 ,

( 2 ) nx'x -f- b/ y ■+■ cz'z — abc;

la vitesse de cette onde plane, ou la perpendiculaire OP', est , § 99 ,

cette perpendiculaire fait avec les axes des angles dont les cosinus sont

ax' by' cz' . . .

et, puisqu’elle est située dans le plan d’incidence, elle fait un angle droit avec la droite aux cosinus (A, 15, C) ; on a donc

(4) A ax' -+- B by' -f- Ccz' = o ,

équation qui démontre ce théorème remarquable , que les rayons con jugués à tous les rayons réfractés pour un même plan d’incidence, sont situés dans un même plan diamétral

sm 1 u

de la surface des ondes. On a — :

l’on conclut cos FOP'= h y/ p (5) A' nx'-’r B' by ' -+- C' cz' ~ /• \j7/.

cos FOP'

, 1 ou

SUR l’élasticité. 287

Autrement, soit l’angle P'OPv'= r, on a

^ sini sinr

(F où

A , ax' -f- Ji, by' -{- C, cz' \ 7