D CT

Désignons par (£, n, £) les cosinus des angles de direction de la vibration U, on aura, en remplaçant ct par sa valeur (24) et réduisant,

X yz(l>* — c-) V — R

11 V( ** X J — R ) ( R — c 1 X’) \ Q : — 7 RP

( JC Y Zt y

sont les coordonnées du point ou le rayon OM rencontre la nappe interne de la surface des ondes , ou de l’onde progressive dont le paramètre X ( 2) est 1 unité. Les cosinus (£, *0 £ ) peuvent donc s’exprimer complètement en fonction des coordonnées de ce point. C’est dire que tous les points de OM , sans exception, exécutent des vibrations parallèles entre elles. Et l’on voit facilement que le mouvement général sera défini, si l’on connaît le mouvement particulier des molécules situées sur la surface dc^ ondes , ou sur l’onde progressive dont le paramètre est 1 unité.

Les cosinus (£,*,£) ( 3 o), ainsi exprimés à l’aide des coordonnées du point Mj, ou la droite OM rencontre la nappe interne de la surface des ondes , donnent une di-

3ao

rection qui coïncide avec celle des vibrations appartenant à l’onde plane tangente en M*. Pareillement, si , au lieu de prendre X ( 2 ) , on adoptait

on trouverait des cosinus (£, £) exprimés à l’aide des

coordonnées du point M, , ou la droite OM rencontre la nappe externe de la surface des ondes , et qui déduirait une nouvelle direction , coïncidant avec celle des vibrations que propagerait l’onde plane tangente en M,. 'Pour constater . ces coïncidences , il faudrait recourir à de nouvelles formules, qui donneraient trop d’extension au chapitre que nous traitons; d’ailleurs, la discussion qui va suivre peut se passer de ces résultats.

loi* $120. — SoienttoujoursiVl^elMjlespointsoùlaligneOM

de l'amplitude. « 1 1 1 r 1

rencontre les deux nappes, enveloppante et enveloppée, de la surface des ondes; et représentons par ( R, , Pi iQi) et par (Rj, P,, Qt) les valeurs des (R, P, Q) pour ccs deux

points ; X, et X, étant les

/çTTd

4 / - » on aura

r = x;r, = x;r ! , p = x; p, =x; p 3 , q = x; q, = d = \ Q’-4 7 rp = x* v'q; - 4 q hTïï; = >5 ifaî — 47R.P».

et en outre, par l’équation de la surface des ondes, et d’après le § 101 ,

Q, =R,P, -+- 7 , Q, = R.P, 4 - 7 , 7 — R, P, = R, P,, Ri>R 3 .

sua l'élasticité.

Un déduit de ces dernières relations ,

q; - 4 7 r, p, = (R, P, f )» = PJ (R, Rj)* = j

de telle sorte que D admet les valeurs suivantes :

=*;*(,-sr;=‘ î »(-srTr

De là résulte, pour la demi-amplitude,

(3| > u '=i^VS,'

qui appartiennent aux deux vibrations du point M, le retard de l’une de ces vibrations étant X, = — ' » celui

de 1 autre X, = \ - • Comme ces deux vibrations sont

indépendantes, et que chacune pourrait exister seule, il n’y a aucune dépendance nécessaire entre les deux constantes s, , £ s , lesquelles sont distinctes et quelconques.

Dans les valeurs (3i) , R, et R s sont deux paramètres , va- ' riablcs avec la direction de OM, mais constants pour tous

les points de cette ligne. Puisque X, =

et que R est le carré de la distance O.M = r, les deux valeurs (3i) peuvent être réunies dans celle-ci,

(3a) U= 4 - \f R|Rî ..l, .

v ' abc y R, — R, r

qui fait voir que l'amplitude’ des vibrations, de tous les

ai

WifiONS

3aa

points d’une même direction, est en raison inverse de la distance au centre d’ébranlement. D’après une formule démontrée dans la dix-neuvième Leçon , la valeur ( 32 ) peut se mettre sous la forme

b ^ ( a - — £•’) sin i sin i' r ’

i et i' étant les angles que la droite OM fait avec les deux axes optiques. Cette expression générale de l’amplitude devient infinie pour 1 = 0, i' — o, r = o, c’est-à-dire sur les axes optiques, et au centre même de l’ébranlement. Mais il faut se rappeler que les projections (u, e, iv), § 118 , se composent chacune de deux termes ayant respectivement

pour facteurs cos 2 <r -

: — » COS2 7T — — — ; or, lorsque i=o,

i' = o, r = o, ou lorsque le radical y/Q 2 — 4 7 HP est nul. on a /, = , elles facteurs précédents sont égaux; ce qui

fait rentrer ces cas extrêmes dans une question d’indétermination que nous traiterons dans la Leçon suivante.

sun l'élasticité.