Remarquons que les trois relations identiques

dz dy '''

dx dz ' (h/ d.v

sont les trois conditions nécessaires et suflisantes pour que la quantité

soit une différentielle exacte. Dans le cas des mouvements longitudinaux, nous pouvons donc poser

Idx -j- Y//// -(- i^di: = d(f, et alors on a :

^ ~ dx' "^ ~ dJ/' ^ ~ dz-

37. Ces préliminaires établis, considérons un déplacement ;, Y,, l. Pour démontrer que le mouvement peut être considéré comme résultant de la superposition d'un mouvement longitudinal et d'un mouvement transversal, il faut montrer que l'on peut avoir

?i,Y||.î,, se rapportantà un mouvement transversal, etçj, yi^, C))

à un mouvement longitudinal. Nous aurons, d'après ce qui précède :

et, par suite,

:,,T,|, Ç,, satisfaisant à l'équation différentielle des mouvements transversaux,

,l.r ^ r'y ^ dz

Différentions successivement ;, r„ l par rapporta x,y,z et additionnons : nous aurons

dx "T" di, '^ dz ~ dx "^ dy "^ dz "^ dx-^ "T" dyi '^ dz"'

relation (|ui, d'après nos hypothèses, se réduit à

D'après l'équation de Poisson, la somme des dérivées secondes du potentiel en un point est égale à — Atzç,, p étant la densité de la matière attirante au point considéré ; on aura donc une fonction :;, satisfaisant à la relation

0 = Aï,

en cherchant le potentiel dû à l'atlraclion d'une matière at-

tirante dont la densité serait — -;-. Il existe toujours une

telle fonction, et, par conséquent, le mouvement d'une molécule peut toujours être considéré comme résultant de la superposition d'un mouvement longitudinal et d'un mouvement transversal.

38. Équations des mouvements transversaux dans les corps isotropes. — Les équations des mouvements transversaux dans les corps isotropes s'obtiendront en faisant 0 = 0 dans les équations (38) ; elles seront :

(39) -p'|^=2aA-^

39. Équations des mouvements longitudinaux. — Les équations des mouvements longitudinaux prennent également une forme simple. On sait que

dx ' dij dz

dx dx^ dy ' dx dz ' dx ^ mais, puisque u,v,w, sont nuls, on a

dt\ di, cK^ c?i

dx dy dx dz'

d'où l'on tire :

dy dx dy"^ dz dx dx^'

En portant ces valeurs dans l'expression de -r-, on obtient

dx ~~ dx^ "■" r/v- "t" dz'^ ~ '"

et si on remplace -j-, P^i" cette valeur dans les équations (38). on a, pour les équations des mouvements longitudinaux :

-fS = % + v)ai

-pf = % + v)AC.