En posant
V, -./=ii+:
les équations (40) des mouvements longitudinaux donnent, pour le mouvement suivant la normale au plan de l'onde,
dfi ~ ^' dz-^' L'intégrale générale de cette équation est
On peut donc considérer un mouvement longitudinal comme résultant de la superposition de deux mouveuienls se propageant avec les vitesses-}- Vj et — V,.
pr,op\r,ATioN ri une onde pl.vne — imkkférences 33
44. Ouand la presj-iun extérieure est nulle dans l'élal d'équilibre et que les forces qui s'exercent entre les molécules sont centrales, les vitesses V et V, dépendent l'une de l'autre. On a vu en effet (27) que, dans ces conditions. À, ;/. el v sont liées par les relations
En éliminant À, on (ihlient
et en portant cette valeur de v dans les expressions (ieV et V,, on arrive à la relation
Vf = 3V2.
Dans tous les autres cas les vitesses V etV, sont indépendantes.
45. Hypothèses sur les propriétés de l'éther. — L'expérience montre que les vibrations de l'éther sont toujours transversales. Pour tenir compte de ce fait expérimental on peut faire plusieurs hypothèses.
Première hypothèse. ()n peut admettre que l'éther est susceptible de propager les vibrations transversales et les vibrations longitudinales, mais que ces dernières n'impressionnent ni la rétine, ni les papiers photograpliiques, ni les instruments employés dans la chaleur rayonnante. Cette hypothèse est contredite par les expériences de Fresnelsur la réflexion et la réfraction de la lumière; ces expériences montrent en effet que la force vive du rayon incident se retrouve tout entière dans les rayons réfléchi et réfracté transversaux.
o4 TIIKORIE MATHÉMATtOUE DE LA LUMIÈRE
46. Seconde hypothèse. On peut supposer que l'on a V, =0, c'est-à-dire, d'après la valeur de cette quantité, que l'on a
|XZ= — V.
En nous reportant (34) à l'équation diffeTentie lie
nous voyons que celte hypothèse exige que l'on ait -j-^ ^0.
Si, à l'origine des temps, la fonction W et sa dérivée -7- sont
nulles, la fonction 0 est identiquement nulle comme nous l'avons déjà montré (34); dans le cas contraire, la condition
-— - := 0 donne, pour la forme de 0 ,
Q = at-{- h.
Si a est différent de zéro, la fonction 0 croîtra au-delà de toute limite avec le temps. Or 0 représente l'accroissement de l'unité de volume du milieu (31) ; par conséquent un volume d'élher, aussi petit qu'on voudra, à l'origine des temps, pourra, au bout d'un temps suffisamment long, devenir plus grand que toute quantité donnée. C'est là une conséquence singulière de l'hypothèse ; cependant, il ne faut pas y attacher trop d'importance car si l'augmentation de volume du milieu élastique devenait trop grande, les quantités ;, r^, ^ ne pourraient plus être considérées comme très petites et nous sortirions des conditions dans lesquelles nous nous sommes placés au commencement de cette étude (2). Cette hypothèse permet d'expliquer tous les phénomènes connus en Optique;
PROPAGATION D VSE ONDH PLANE — INTERFERENCES îia
de plus elle conduit aux mûmes équations que celles qui résultent de la théorie électro-magnétique de la lumière ; c'est cette h3'pothèse que nous adopterons de préférence.
47. Troisième hypothèse. Elle consiste à admettre que la vitesse de propagation V, des mouvements longitudinaux est imaginaire, c'est-à-dire que l'on a
Cette hypothèse rend mieux compte que la première de la réflexion et de la réfraction de la lumière ; mais elle conduit à admeltre'que la position d'équilihre du milieu élastique n'est pas toujours stable. Si l'équilibre est stable, le second terme U^ du développement de la fonction U par rapport aux ; doit être négatif ou nul. Or, nous avons trouvé (13) :
et, dans le cas des corps isotropes, on a (24) :
W, = )>K -\- ;xH -f V02.
Si nous conside'rons le cas particulier où toutes les dérivées partielles ?i, 7]^.... sont nulles à l'exception de X,i, que nous supposerons égale à l'unité, les fonctions isotropes H, K, 0^, dont nous avons trouvé les valeurs, deviennent :
On a donc
o6 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
c'est-à-dire que W., est une quantité positive. L'intégrale qui entre dans l'expression de U^ est positive, et par conséquent l'équilibre est instable ; mais , dans l'ignorance où nous sommes de la véritable nature de l'éther, nous ne devons attacher qu'une importance secondaire aux objections tirées de la théorie de l'élasticité.
48. Quatrième hypothèse. On peut admettre que les molécules de l'éther ne sont pas libres, qu'elles sont soumises à des liaisons telles que l'on ait t) =0. Cette condition revient à supposer que l'éther est incompressible. Cette hypothèse de l'incompressibilité de l'éther est, pour ainsi dire, iniferse delà seconde hypothèse, qui conduit à admettre que W peut devenir aussi grand qu'on le veut, en d'autres termes que la résistance de l'éther à la compression est nulle. Fresnel a adopti' tantôt l'une, tantôt l'autre de ces hypothèses ; dans ses calculs il suppose, souvent implicitement, tantôt que cette résistance à la compression est nulle, tantôt qu'elle est infinie.
49. Equations du mouvement dans l'éther. — Admettons que l'on a a -)-v = o, et posons
V étant la vitesse de propagation de la lumière. Nous aurons 2[x = — pV, 2v = pY"- ;
en portant ces valeurs de a et de v dans les équations (38) du mouvement dans les corps isotropes, nous obtiendrons
PROPAGATION D UNE ONDK PLANE — INTERFÉRENCES al
'Ht - X
Ces équations peuvent se mettre sous une autre forme en posant
c^r^ —'Jl l!l ,^'È.^'h
dsr dy' • dx d:' dy dx'
On a en effet :
£^__f^f^£^^ d\ dK
dx dx^ dy- dz'^ dx^ dxdy dxdz
dy'^ dxdy dz' dxdz '
. , f/6 dio do
ou A; — =- — .
dx dy dz
En transformant de la même manière les quantités
rA") dS
qui entrent dans les deux dernières équations du mouvement, on obtient :
(PI v./i^-^\
dt- ~ \dy dz)' dt^ ~ \dz ~ dx)' ;2 \dx dy}'
dt
50. Résolution des équations des mouvements transversaux. — Les équations des mouvements transversaux s'obtiennent en faisant H := 0 dans les équations (1) ; elles sont
d-' rP-r rV^y
Nous allons chercher à satisfaire à ces équations en posant ; = Ae^ V, = Bef, l = Ce^
A. B, C. étant des constantes et P un polynôme du premier degré et homogène par rapport aux variables x, y, 2, t,
P = a» -j- fiy + Y^ -f ot.
Nous aurons, en ditférentiant ;, Y|, l,
£2 i~^p £11— A-(2-jP £Ii a;;2^p
c/y ' ' dy- ' ' f/<-
Par conséquent
En remplaçant, dans les équations (2), A;, A-r,, Ai; et les dérivées secondes de H, t„Ç, par rapport au temps, par leurs valeurs, on obtient :
PROPAGATION d'uNK ONDK PLANlî — INTERFÉRENCES .Ï9
Puisque les mouvements sont transversaux, (-)=0, c'est-à-dire
Aa +B,(ii -f Gy = 0.
Telles sont les deux conditions que doivent remplir les coefficients X, p, Y, S pourque les expressions de l, y), l satisfassent aux équations du mouvement.
51. Si les quantités A, B, G, a, |i, y- ^ ^on* réelles, il en sera de même de 1, tj, Ç ; mais si une de ces quantités est imaginaire, ;, t„ ^ le seront aussi. Comme les équations du mouvement sont linéaires par rapport aux dérivées du second ordre de c, yj, l. la partie réelle et la partie imaginaire d'une solution imaginaire devront séparément satisfaire aux équations du mouvement ; on aura donc deux solutions.
Dans l'étude de la lumière on ne rencontre que des solutions imaginaires ; en ellél les mouvements lumineux sont toujours des mouvements vibratoires, c'est-à-dire périodiques par rapport au temps. Par suite, les quantités ;, v], Ç doivent être périodiques par rapport au temps ; si on les met sous la forme d'exponentielles, comme nous venons de le faire, e^ doit prendre la même valeur pour des valeurs de t différant d'une même quantité, t ; il faut donc que l'on ait
= lin
d où 8 = — .
B est donc imaginaire ; son carré sera négatif, et la relation
montre que la somme a- -j- P' + T doit être négative, ce qui exige que l'une au moins des quantités oc, p, y soit imaginaire.
Lorsque nous aurons ohlenii la solution imaginaire d'une équation, nous en prendrons la partie réelle qui doit répondre aux faits expérimentaux. La partie réelle d'une exponentielle pouvant s'exprimer à l'aide d'un cosinus, nous pourrions trouver directement les solutions réelles des équations différentielles que nous rencontrerons en chenhanl à }• satisfaire par des valeurs de ;, yj, Ç contenant un cosinus en facteur. Dans certaines questions, nous adopterons cette dernière marche, dans d'autres, au contraire, nous nous servirons d'exponentielles imaginaires dont nous prendrons la partie réelle pour solution de la question.
