CLX -\- izz

La condition 0 = 0 donne, dans ce cas,

Ax -f C/£ = 0,

relation qui montre que le rapport — est imaginaire. A cause de la périodicité du mouvement lumineux on a

et la condition 8^ = V^ (a^ -f f -f f] donne

11 en résulte que s doit être plus grand que x. La solution de

la première équation du mouvement est

En en prenant la partie réelle, on obtient, pour le déplacement l suivant l'axe des x.

l = Aue»-"- cos (ez + * -h ^'V

On aurait deux expressions analogues pour les composantes Ti et ^ du déplacement suivant les deux autres axes.

PROPAGATION d'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 03

53. Rayons évanescents. — L,i forniu que nous venons de trouver pour ; ne diffère de relie que nous avons précédemment trouvée dans le cas de l'onde réelle que par un facteur e"-^". Si a est négatif, ce facteur décroît très rapidement quand x croît; dansle voisinage du plan.r =01c mouvement sera sensible, mais dès qu'on s'écarte un peu de ce plan, l'amplitude est très petite. Gomme x est à peu près de l'ordre de r.

le mouvement deviendra insensible dés qu'(in sera à une distance comparable à une longueur d'onde. Un pareil mouvement peut se rencontrer dans la réflexion totale. Quand l'angle du rayon incident avec la normale à la surface de séparation est plus grand que l'angle limite, la valeur du sinus de l'angle de réfraction, donnée par la formule

sm i

sm>'

est imaginaire ; la direction du rayon réfracté est imaginaire, et le plan de l'onde réfractée, perpendiculaireaurayon, est aussi imaginaire. Dans le milieu le moins réfringent, nous aurons donc un mouvement devenant rapidement insensible. Une expérience, due à Fresnel, tend à prouver l'existence des rayons évanescents. En mettant une lame de verre à une très petite distance d'une surface sur laquelle s'opérait une réflexion totale, il a obtenu des franges obscures et lumineuses.

Dans l'étude des mouvements longitudinaux, Gauchy a trouvé des mouvements évanescents, mais leur existence n-'a pu être confirmée par l'expérience. Supposons que les déplacements ; et -1], qui sont les mêmes pour tous les points d'une

onde plane, soient nuls, et cherchons à satisfaire à l'équation qui donne !^,

en posant Ç = Ce'Y= + 2').

En calculant les dérivées secondes de cette expression par rapport à r et à t, et en portant leurs valeurs dans l'équalion du mouvement, on obtient la condition

La quantité 3 étant purement imaginaire par suite de la périodicité du mouvement vibratoire, son carré est négatif. Cauchy s'étant placé dans Thypothèse [i. + v> o, on a Vf < o ; par conséquent y est réel et l'exponentielle qui satisfait à l'équation du mouvement est

Sa partie réelle est

Ç = CgCT^ cos am .

Sinous supposons Y<o l'amplitude du mouvement vibratoire décroîtra très rapidement quand on s'éloignera du plan ^ = o dans le sens des z positifs ; nous aurons donc un rayon évanescent.

54. Trajectoire des molécules d'éther dans les mouvements transversaux. — Si nous posons

Y (^4-^0 + ? = "- tp,-tp = o.

PROPAGATION d'uNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES 63

les expressions

71 = Bfl ces (j- {: + \7) + 9,^

trouvées (52) pour les déplacements suivant le plan de l'onde d'une molécule animée d'un mouvement transversal deviennent :

; ^ Aq cos 0)

■r\ = B„ cos (w -(- 6).

L'équatiun de la courbe décrite par la molécule s'obtiendra en éliminant w entre ces deux équations. On tire de ces équations

cos w = -^, sin 0) = — TT -. — - -1- 7^ cotg 0.

En élevant au carré et additionnant, un a

-Tï -f (^T- cotg 0 — „ ''. , )' = ''• A,i^VA„ " BoSinO/

C'est l'équation d'une ellipse ; cette ellipse se r('duit aune droite quand 0 est égal à zéro ou à -, comme on peut le voir facilement en éliminant costo entre les valeurs de ; et de y, qui ne contiennent plus 0. Lorsque la lraject(jirc de la molécule vibrante est une ellipse, la lumière est dite polarisée elliptiquement; si la trajectoire est une droite, la polarisation est dite rcctiligne.

Dans l'étude expérimentale de l'optique, il n'est pas possible de déterminer directement la direction des vibrations de

l'éther qui propage de la lumière polarisée rectilignement ; ce qu'on peut observer c'est que les phénomènes dépendent delà position d'un certain plan appelé plan de polarisation. Par raison de symétrie, la direction des vibrations doit être, soit dans le plan de polarisation, soit perpendiculaire à ce plan. Fresnel admet qu'elle lui est perpendiculaire, d'autres savants ont préféré l'hypothèse contraire ; nous y reviendrons longuement dans la suite du cours.

55. Remarque sur les constantes introduites dans les valeurs du déplacement. - Dans la résolution des équations d'un mouvement transversal (50) les quantités A^, Bq, C^, a, [5, Y, i, V, /, ont été considérées comme des constantes. En réalité, les sept premières de ces neuf quantités prennent une infinité de valeurs dans une seconde ; mais comme elles varient beaucoup plus lentement que ;, T|, Ç, on peut les considérer comme constantes pendant la durée d'un certain nombre de vibrations (.30,000 environ, dont la durée esta peu près un di.x-milliardième de secondai. V, vitesse de propagation de la lumière, est une constante absolue dans un milieu homogène ; il en est de même de À dans une lumière monochromatique, (in pourrait considérer X comme variant d'une manière quelconque dans la lumière blanche, ou bien admettre que la lumière blanche est formée par la superposition d'un grand nombre de lumières monocliromatiques. Mais, comme dans la suite du cours nous n'envisagerons jamais, que la lumière homogène, nous pourrons, dans nos calculs, regarder À comme une constante. Si l'on voulait ensuite avoir la valeur des déplacements d'une molécule dans le cas de la lumière blanche, on n'aurait qu'à faire la somme

PROPAGATION D UNE ONDE PLANE — INTERFÉRENCES tîV

d'un grand nombre de déplacements puur chacun desquels X serait une constante.

56. Intensité lumineuse. — On définit rinlcnsilé d'une vibration lumineuse comme une quantité proportionnelle à la force vive de la molécule en mouvement. Cette force vive étant une fonction du temps qui varie très rapidement, il est. naturel d'admettre que l'intensité mesurable, celle qui impressionne nos sens, est proportionnelle à la valeur moyenne de cette fonction.

La force vive de la molécule en mouvement est à un certain moment

Nous avons vu (54) que, dans le cas de la propagation de la lumière par ondes réelles, le seul cas qu'il y ait lieu de considérer dans l'étude expérimentale, on avait, pour les composantes du déplacement de la molécule,

où oj =^ (^ -f V/) -)-tp.

Ag cos co -f| ^ B„ cos (o) -f 6)

En difl'érenliant ; etT| nousaurons, en regardant A„, B^ et tp comme constantes,

d' ''tiV dr "'^V

f, = - A„ — sin .0, ^ = - B., — sin (co -f- 0).

Comme sin j: = — cos lx-{- - I, nous voyons que "j: cl -r sont égaux, au facteur près ^V-, à ; et y, où l'on augmente co de ^. Or, d'après l'expression de co, augmenter cette quantité

rie 3 revient à augmenter le temps de j-r. oa j \ par conséquent les valeurs de — et de — ' au temps t sont proportion-

nelles aux valeurs de ; et de vj au temps / -|- -. La force vive d'une mole'cule au temps l sera, par suite, proportionnelle à la somme des carrés des valeurs de ; et de -r^ au temps / -|- j.

Si on change ^ en t -\- j \a valeur moyenne de la force vive

ne change pas ; elle sera donc proportionnelle à la valeur moyenne de ;- -|- v,^. Il en résulte que nous pouvons prendre pour valeur de l'inlensili' lumineuse une quanlité propcirtionnelle à la valeur moyenne de ;- + y,'-.

57. Interférence de la lumière non polarisée. — Soit P un point de l'espace où arrive la lumière provenant d'une source située à une distance ; ; nous aurons (53), pour les composantes du déplacement de la molécule d'éther placée en P,

5 = A„cos[Ç('-fV0 + -^], r,=B„cos[Ç(.r + VO+-^,]-

Ces expressions deviennent

(1) ; =^ A|| cos (0, -/i = B„ cos (lo -j- 0),

en posant

Supposons maintenant que leiiointP reçoive en même temps de la lumière da même longueur d'onde provenant soitd'une

PROPAGATION D'uNK ONDK PLAM', — INTKUKÉRKNCES t^'J

iîeconde source, soit de la première source par un chemin différent, et que cette lumière ait parcouru une distance ^', nous aurons pour les composantes du déplacement suivant les mêmes axes

(2) ?=A,;cos[|^f.--+vo+-.'], .,--:b;,cos[Ç(c-+vo+^;],

Iiifriiduisons une nouvelle i|uuntité -l qu'on appelle différence de marche des rayons lumineux au point P et qui est définie par la relation

Posons : '?' + ?' — 'f = s,

nous aurons pour les éi:|uations (2)

; = A^ cos ((0 -|- e), t, = B^ cos (w -|- 6 -f t,).

Le déplacement de la molécule P, résultant des deux mouvements auxquels elle est soumise, aura pmir composantes

(3) ; = Ag cos co -\- A|i cos ((0 -}- e),

Y, = B(, cos ((0 -f 0) -j- B,; cos (w + 6 -f- £,)•

58. Pour avoir l'intensité lumiinHise au point P, nous allons chercher la valeur moyenne de ;'" -|- f,'- On a

;- = AJ3 cos-oj -)- A,;-cos- (lo -(- e) + 2A„A,', costo cos(io -f- e)

r,2 = Bl cos^ (co -1- 0) -1- Bô" cos2 (lo -|- 0 -I- E.) -|-2B„B^cos(co + 0)cos(io-|-0-}-î,).

Pendant la durée d'une vibration A,,, tp et cp' et, par suite £, peuvent être considérés comme des constantes ; co prend toutes les valeurs comprises entre 0 et 2:1. On aura donc, pour la valeur moyenne de ?- pendant la durée d'une vibration, une quantité proportionnelle à l'intégrale de ;^ prise entre 0 et ^■K. Convenons de représenter la valeur moyenne d'une quantité par cette quantité placée entre crochets ; nous aurons

/-fin

I A'I cos- to I =: ô~ Ag / cos^ co (?(,> =-^'

/27C cos u) cos (lo -\- e) f/io

: — AflA^ I [cos(2<o + £)+COSel(/<o

= AqAq cos e, et par conséquent

^ + ^V AoA^ cos s.

Nous aurions, pour la valeur moyenne de y,- pendant la durée d'une vibration,

Cherchons maintenant la valeur moyenne de ces quantite's pendant l'unité de temps, une seconde. Aq, Aô, Bq, B,;, doivent alors être considérés comme des variables ; il en est de même de s et de -^', et comme ces quantités prennent une infinité de valeurs pendant l'unité de temps, la quantité s prendra aussi, en général, une inlinité de valeurs pendant le même intervalle. Par conséquent, coss passera par toutes les valeurs comprises entre — 1 et-j-1 ! sa valeur moyenne pendant l'unité de temps sera nulle, et, par suite, la valeur moyenne de;- pen-

rA- k'-~\

dant cet intervalle se réduira à 1 -^ -f- "^ l- ^^^^ ^^^

mêmes raisons, la valeur moyenne de•r^• pendant une seconde

rn2 B "^T — « J — ^ I. Donc, sauf dans certams cas exception-

nels, l'intensité au point P ne dépendra pas de la position de ce point et se réduira à la somme arithmétique des intensités dues à chacun des deux rayons composants.

59. Appelons Çoetcp^les valeurs de -j> et de -i' dans le voisinage des sources, pendant que nous continuerons à désigner par les lettres a. et s' les valeurs de ces mêmes angles au point P. Ces quatre quantités v, -i.', ^.p et -il^ seront fonctions du temps, et on aura

Si les doux rayons ne proviennent pas de la même source, il n'y a aucune raison pour que i-o soit égal àcp,', et » à 9 . Les deux angles -j> et -i-' varieront indépendamment l'un de l'autre. Leur différence a- — a.', et par conséquent t pourront prendre toutesles valeurs possibles, de telle façon que la valeur moyenne de cos s sera nulle. Les deuxra yons n'interférerontpas.

Si les deux rayons proviennent de la même source, on

aura

Si 'h n'est pas assez petit pour que " y " soit inférieur à un

dix-milliardième de seconde, il n'j' a pas de raison pour que <f' soit égal à '^ et, par conséquent, pour les raisons qui viennent d'être développées dans le cas précédent, les rayons n'interféreront pas.

Si enfin les deux rayons proviennent de la même source et que leur différence de marche ■]> soit assez petite pour que

" -^ ^ soit inférieur à un dix-milliardième de seconde, on

aura

cp = cp';

par conséquent

Quant à C6, et i.,' ils pourront aussi être considérés comme égaux, et nous aurons £, = -l. La valeur moyenne de ;- -|-r,contiendra, en y remplaçant e et e, par leur valeur >l, la valeur moyenne de

A„A,', cos •} -|- ^0^0 cos 'l.

La différence de marche ■]/ est une constante pour le puint considéré P, mais la valeur de cette quantité varie quand on s'éloigne du point P; l'intensité lumineuse ne sera donc pas la même au point P et en un point voisin, et nous aurons des franges d'interférence.