CHAPITRE III

61. Le principe de Huygiiens sur lequel repose la théorie de la diffraction a été l'objet de nombreuses objections. Afin de lever ces objections et de donner une justification aussi complète que possible de cet important principe, nous serons obliges de nous étendre longuement sur ce sujet.

Exposons d'abord les idées de Huyghens. Supposons que,

toutes les molécules d'éther étant au repos, on donne un ébranlement à celles qui sont contenues à l'intérieur d'une sphère A [fig. 4) de très jictit rayon, puis qu'on abandonne l'ether à lui-même. L'ébranlement donné aux molécules de .\ se propagera dans l'éther ; Huygbens admet tju'il se produit une onde spliéri(|ue, et qu'au bout d'un temps /, les seules molécules en mouvement occupent une couche infiniment mince située à la surface d'une sphère S de rayon Viet concentrique à A. Cette hypothèse revient à admettre la possibilité de la propagation d'une onde isolée et, bien qu'expérimentaleuient la réalisation de ce fait n'ait

PH1XGIPK DK HUYGHENS 77

jamais lieu, on [leiil l'aire usage de cette ahstraction lians la théorie. S'il en est ainsi, les seules molécules en mouvement au bout du temps t -\- l' seront situées dans une couche sphérique S' concentrique à S et de rajon V^/-)- ' )• Le principe de lluyghens consiste à admettre que le mouvement de l'éther en tout point de cette onde S' est la résultante des mouvemenls qu'enverraient isolément tous les éléments de la même onde considérée dans une position antérieure S.

Si ce principe est vrai, on doit pouvoir tn di'ihiire que les molécules en mouvniii'nl au lemps l -\- /' sont li)u'es situées à l'intérieur de la couche S'. Or, l'onde paitielle, provenant de la propagation du mouvement qui animait au temps t un élément B de l'onde S, sera une sphère de centre B et de rayon \l' ; cette onde s est donc tangente à l'onile S'. Il en sera de même pour toutes les (jndes partielles, et l'on peut regarder l'onde S' comme l'enveloppe des ondes partielles provenant des difTérenls points de S. Il est donc évident qu'il ne pourra pas y avoir de mouvemeni au delà de l'onde S'. Mais rien ne prouve a priori qu'il n'y en aura pas en deçà. .\u premier abord, il semble même difficile qu'il en soit ainsi, car, les mouvements des molécules de la sphère d'ébranlement paraissant être de même sens, ils devraient donner naissance à des mouvements de même sens (pii ne peuvent se détruire. Huyghens expliquait cette anomalie en admettant (}ue, la couche S étant infiniment mince, les mouvements provenant de l'ébranlement des divers éléments de cette surface devaient être infiniment petits et qu'ils ne pouvaient être appréciables que sur la surface S' où un grand nombre de ces mouvements se composent. Cette explication ne résiste pas à une analyse rigoureuse.

62. Fresnel, dans sa théorie de la diffraction, modifie le principe de Huygliens en considérant, non plus une onde isolée, mais une succession d'ondes provenant de mouvements vibratoires. Voici d'ailleurs comment il énonce ce principe : Les vihratioivs d'une onde lumineuse dans chacun de ses points peuvent être regardées comme la somme des mouvements élémentaires rpi'y enverraient au même instant, en agissant isolément, toutes les parties de cette onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures. A cet énoncé il ajoute, en note (1) : « Je considère toujours la succession « d'une infinité d'ondulations ou une vibration générale du « fluide. Ce n'est que dans ce sens qu'on peut dire que deux « ondes lumineuses se détruisent lorsqu'elles sont à une demi- « ondulation l'une de l'autre. Les formules d'interférence que « je viens de donner ne sont point applicables au cas d'une « ondulation isolée, qui d'ailleurs n'est pas celui de la « nature .» — En considérant ainsi des ondes successives, les mouvements des molécules de S sont tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, et on peut concevoir qu'au temps t -\-t', les molécules qui sont en dehors de la surface s' ne soient pas en mouvement. Celte explication est loin d'être à l'abri de tout reproche, c<mime nous allons le voir dans le paragraphe.suivant. D'ailleurs la théorie de la propagation d'une onde isolée, propagation mathématiquement possible, laisse subsister une difficulté qu'il est nécessaire d'expliquer.

63. Controverse de Fresnel avec Poisson. — Que l'on considère une onde isolée ou une série d'ondes successives, le principe de Huyghens conduit à admettre qu'outre l'onde S'

(I) Œuvres deFresnel, t. I, p. 293.

PRINCIPES DE HUYGHEiNS

il s'en produit une autre S" (]ui est l'enveloppe intérieure des ondes élémentaires x. C'est une des objections que fait Poisson à Fresnel, dans une lettre (1) dont nous extraj'ons le passage suivant : « Je vous ferai aussi remarquer que, dans le « raisonnement qui vous a ronduit à la formule de la page 287 « de votre Mémoire sur la dillraction (2), rien n'exprime que « le point P [fig. 5) soit situé au delà de l'onde AMF, et que, « s'il était situé en deçà de cette onde, le même raisonnement « appliqué mot à mol vous conduirait à une formule sem- « blable pour exprimer la « vitesse qu'il reçoit, avec « cette seule différence qu'au <( lieu de a -(- i, cette for- « mule contiendrait a — b, « qui serait alors la distance « CP. 11 suivrait donc de « vos principes que l'onde « AMF, même quand elle « est complète, devrait pro- « duire du mouvement en « deçà et au delà de sa po- « sition, conclusion qui suffirait pour montrer qu'il y a un « vice quelconque dans votre manière d'envisagerla question. « Et, en etfet, la production d'une nouvelle onde en avant de

(1) Œuvres de Fresnel, t. Il, p. 209.

(2) C'est 1.1 formule

qui donuo la vitesse du déplacement au point P et que Fresnel a trouvée en s'appuyant sur le principe de Huyghens {Œuvres de Fresnel, t. I, p. 316). a désigne la distance CM, 6 la distance MP.

Fig. 5.

■' celle que vous considérez, et la non-communication du M mouvement en arrière, n'ont lieu qu'à rai~on d'un rapport « déterminé qui subsiste, dans l'onde -donnée, entre les « condensations et les vitesses propres des molécules fluides, « et nullement à raison de l'inlcrférence des ondes élémen- « taires parties de tous ses points à des. instants ditTé- ■■ rents. >>

64. Dans sa réponse à cette lettre, Fresnel. après avoir répondu à d'autres objections de Poisson, arrive enfin à la véritable explication de l'anomalie qui avait si longtemps arrêté les géomètres. Il y a, dit-il, deux choses à considérer dans le mouvement d'une molécule : la vitesse dont elle est animée, et son écarte'ment de sa position d'équilibre , il en résulte deux svstèmes d'ondes dérivées.

Mais, avant de citer ce passage de Fresnel, nous devons donner quelques explications au sujet de ce qu'il ap;;elle la loi du cosinus. A l'époque où avait lieu celte controverse.

Fresnel avait déjà fait sa grande découverte de la transversalité des vibrations. Mais Poisson et les géomètres de son temps se refusaient à l'admettre.

Aussi Fresnel, désireux de diminuer la divergence de ses vues avec celles de Poisson, et convaincu que sa théorie de la difl'raction était également applicable à toutes les hypothèses, raisonnc-t-il constamment comme si les vibrations étaient longitudinales.

C'est ainsi qu'il arrive, par un raisonnemenl (|ui ne serait d'ailleurs pas à l'aliri de tout reproche, à cette conséquence

PRINCIPE DR IIUYGHENS 81

que le mouvement envoyé par un [loint B (fig. 6j de l'onde S à un point D de l'onde S' est proportionnel au cosinus de l'angle DBG formé par la direction DB avec la normale à l'onde S. Ce raisonnement n'est en aucune façon applicable au cas des mouvements transversaux.

Heureusement la loi du cosinus ne joue aucun rôle essentiel' dans la théorie de Fresnel, et no doit être considérée que comme un incidciil de sa controverse. Lesobjertionsauxcjuelles celte loi peut donner lieu ne portent aucune atteinte à la théorie elle-même.

65. Citons maintenant le passage le plus important de la lettre de Fresnel [Œuvres complètes, t. 11, p. 227).

« Vous objecterez peut-être encore au raisonnement que Il je viens de faire pour le cas d'un petit ébranlement, qu'il Il établirait l'existence de rayons d'une égale intensité « en sens opposé, lors même que l'ébranlement initial ferait Il partie d'une onde dérivée ; mais je répondrai, comme je Il l'ai déjà fait, que ce n'est point une conséqu(uice du prin- II cipe sur lequel je m'appuie, lin effet, j'arrive à cette Il loi du cosinus, en considérant séparément l'onde produite « par les vitesses imprimées aux molécules comprises dans Il le centre d'ébranlement, et celle qui résulte de leurs simples Il déplacenaents, puis en les ajoutant ensemble : or, quand Il ces deux ondes poussent le fluide dans le même sens, elles Il se fortifient mutuellement par leur superposition ; et si les « intensités des divers points de la surface suivent la loi du Il cosinus dans l'une et dans l'autre, cette même loi aura en- II core lieu dans l'onde résultant de leur réunion. Si elles Il tendent à pousser les molécules du fluide en sens opposés, Il les vitesses absolues qu'elles apportent se retranchent et

LA LUMlLHli. 6

« peuvent même se détruire mutuellement, dans le cas où « elles sont égales ; c'est ce qui a lieu pour les ondes re'tro- « grades, lorsque le centre d'ébranlement a la constitution « particulière des ondes dérivées. Que l'on considère, par « exemple, un élément d'une pareille onde au moment où ses « molécules sont poussées en avant, c'est-à-dire dans le sens « de la propagation de l'onde dérivée : on sait qu'alors ce « mouvement en avant est accompagné d'une condensation, « c'est-à-dire d'un rapprochement des molécules ; si les mo- « lécules n'étaient que déplacées et d'ailleurs sans vitesse au « même instant, il résulterait de leur rapprochement une force « expansive qui pousserait le fluide en arrière comme en « avant, et produirait ainsi une onde rétrograde semblable à « celle qu'elle exciterait en avant, mais dans laquelle les vi- « tesses absolues seraient de signe contraire ; si, d'un autre « côté, les molécules se trouvaient dans leurs positions d'équi- « libre au moment où l'on considère l'ébranlement, et rece- » valent seulement à cet instant les vitesses qui les poussent « en avant, il en résulterait encore une onde en arrière, « comme une onde en avant, puisque ces molécules seraient « suivies par celles qui sont derrière, et ainsi de proche en « proche ; l'onde rétrograde serait encore de même intensité « que l'onde qui se propagerait en avant, et elle déplacerait « les molécules du fluide dans le même sens ; mais l'onde ré- « trograde résultant de la simple condensation les pousse en « sens contraire. Ces deux mouvements se retrancheront donc « l'un de l'autre dans les ondes rétrogrades dues à la conden- « sation et aux vitesses des molécules, tandis qu'ils s'ajoute- « ront dans les deux ondes qui se propagent en avant ; si donc « ces deux causes tendent à produire des efTets égaux,

« comme cela a lieu dans le cas particulier des ondes déri- « vées, les ondes rétrogrades s'efTaceront mutuellement, et « les vibrations ne pourront se propager que dans le sens de « la marche de l'onde dérivée. »

C'était bien là la véritable explication du principe de Huyghens ; nous allons le mdntrer avec plus de rigueur dans ce qui va suivre.

66. Intégration des équations des mouvements transversaux dans le cas des ondes sphériques. — Reprenons les équations des mouvements transversaux

que nous avons déjà résolues dans le cas des ondes planes (50), et proposons-nous d'en trouver les intégrales dans le cas des ondes sphériques.

Dans les ondes de cette nature les déplacements et les vitesses d'un point M (/iff. 7) doivent avoir les mêmes valeurs pour tous les points situés à une même distance )• du centre des ondes ; donc ;, T|, î, et leurs dérivées ne dépendront que de r et du temps t. En pre- ^^' nant pour origine des coordonnées le

centre des ondes sphériques et appelant x, y, z, les coordonnées du point iM, nous aurons

Posons E = -.

u étant une fonction quelconque de r et de l, et cherchons

quelle doil èlre la furme de celle fonclion pour salisfaire aux équations du mouvement.

La quanlilé A; est une fonclion linéaire et homogène de m et de ses deux premières dérivées par rapport à r ; nous pouvons l'écrire