La valeur des coefficients A, B, C pourrait s'obtenir en

calculant les dérivées secondes de ; par rapport à x, y. s et

les additionnant, mais il est plus simple de les déterminer en

faisant des hypothèses particulières sur la fonction u.

Supposons d'abord que l'un ait t< = 1 ; on aura ; = — .

C'est la forme de la fonction potentielle dans l'attraction de deux points suivant la loi de Newton. On doit donc avoir Aï = o, et comme l'expression de A; se réduit à A dans ce cas particulier, A doit être nul.

Prenons « = »• ; nous aurons; =1, et par suite A; =: o. D'autre part, nous avons

du cPu

par conséquent, comme A est nul d'après ce qui précède.

dr

Le coefficient Bdoit donc aussi être nlil.

Pour trouver le coefficient C, faisons u =: >•' ; la dérivée seconde de cette fonction par rapport à r sera égale à 6>- et la valeur de A; se réduira à

A; = 6Cr.

PRIN'CIPE DE HIIYGHENS 83

Mais si u = r^, nous avons ; = r- = x'^ -(- .y--f---, et le calcul donne pour A?

En égalant ces deux valeurs de A;, nous avons pour valeur deC

r L'expression, de AH dans le cas général est donc :

' r dr^ '

Portant cette valeur dans la première des équations dumou-

, . , . d-l 1 (fn-

vement et remplaçant -—7 par sa valeur -p , nous aurons

(II- r d-t

une équation qui déterminera u ; cette équation est

ll d'^u , 1 d'-u

r df'' ~ rd^'

En intégrant, on aura

u = F(;- — V()-1-F,(/--1-V0, d'Où Vjr-h) F,ir + Yt)^

68. Les fonctions F et F, étant quelconques, nous pouvons supposer que l'une d'elles, F,, se réduise à o; nous aurons alors

expression qui satisfait aux équations du mouvement. Par conséquent, dans le cas géne'ral, ? peut être considéré comme le déplacement résultant de deux mouvements se propageant par ondes sphériques, à partir du centre 0, l'un avec une

vitesse V, l'autre avec une vitesse — V. Le facteur -

qui entre dans l'expression de ; montre que le mouvement

s'affaiblit quand on s'éloigne du centre d'ébranlement.

Les deuxdernières équations des mouvements transversaux nous donneraient pour ri et Ç des expressions analogues à celle que nous venons de trouver pour ç.

69. Quand on se donneles valeurs initiales des composantes des vitesses, le mouvement est complètement déterminé et on peut trouver les fonctions F et F,. Supposons qu'au temps <:=o nous ayons

En faisant < ;= o dans l'expression de ;, et en égalant à la valeur donnée tp {r), nous obtenons la relation

(1) rY(r)=F(.) + F, (4

La dérivée de ; par rapport au temps est

Ë5 V F' ('• - ^<) ^ V P'(^ + ^^) . dt~ r "•" r

sa valeur pour < = o se réduit à

1^ - V ^U V îlfc)

dt-' r ^ r '

On a donc la relation

Les relations (1) et (2) détermineront les fonctions F et F,.

Une solution particulière des équations des mouvements transversaux qui est intéressante en optique est celle où l'on a

Le valeur de ç est alors

Sa dérivée seconde par rapport kta pour valeur a'^V-;. Gomme l satisfait aux équations du mouvement, on doit avoir

— — V^Af

ou enfin A: -|- x'-; = o.

70. Intégrales générales des équations des mouvements transversaux. — Considérons la première de ces équations que nous écrirons sous la forme

Nous aurons l'intégrale générale de cette équation si nous trouvons une fonction ; de x, y, z et t qui y satisfasse identiquement et qui se réduise, pour «^ o, à une fonction arbitraire

de X, y el z, pendant que sa dérivée —j- se réduit aussi, pour

i = 0, à une autre fonction arbitraire de a% y et t.

L'intégrale générale contient Jonc deux fonctions arbitraires.

Voyons d'abord à quoi nous conduit l'application du principe de Huyghens. Supposons qu'à l'origine des temps toutes les molécules de l'éther soient ébranlées de telle façon que l'ébranlement initial au point x , y , z' soitégal à Y{x\y',z'). Au bout du temps t, le point x , y', z' aura envoyé un ébran-

lernent égal à — à tous les points x, y, z situés à une distance

r = yt du point x\ y', z' , et n'en aura envoyé aucun à tous les points situés à une distance plus grande ou plus petite.

Donc, d'aprèsle principe de Huyghens, le pointât', y, z aura

reçu à l'instant t un ébranlement — de tous les points x , y\ z'

de la sphère qui a pour centré œ, y, z et pour rayon r -^ V^, et n'en aura reçu d'aucun autre point de l'espace. Faisons donc

(2) r- In-LJLI

l'intégrale étant étendue à tous les éléments dm de la sphère de centre x, y. z et do rayon r = V^; et x', y', z' désignant les coordonnées de l'élément do). La valeur de l'intégrale dépendra évidemment du centre et du rayon decette sphère, et par conséquent ; sera fonction de x, y, z et t. Nous devons donc, pour justifier le principe de linyghens, démontrer que la valeur (2) de l satisfait à l'équation (1).

(T- Calculons -r • Pour cela donnons à x un accroissement dx dx

en conservantà y, à z,ht, et par conséquent àr leurs valeurs

cela revient à donner à la sphère une translation dx parallèle

à l'axe des x. Il en résultera pour x' un accroissement dx.

tandis que y ,z',d(»e\.r conserveront la même valeur. L'accrois-

dV sèment de F {x', y', z') sera -r-;, dx, et on aura

dV , dm -r-,dx — .

dx r

Comme l'accroissement de x' est le même pour tous les éléments de l'intégrale, on peut mettre dx en facteur, et en divisant les deux membres de l'égalité par cette quantité, on obtiendra

d^ dx

i fjlL 'la:

X / dx' r

En dérivant une seconde fois par rapport à x, on aura, pour la dérivée seconde,

dx"" ~ / dx'-' r ■ Le même raisonnement conduirait aux expressions

df-J

dz^~ ,

Çd'Y dio 1 dz'^ r'

pour les dérivées secondes de Ç par rapport k i/ et h s. En faisant la somme de ces dérivées secondes, on aura

(3) A; =/aF {xYz') ^.

71. Cherchons maintenant la dérivée seconde de l'intégrale (2) par rapport au temps. Si nous donnons au temps ( un accroissement dt sans faire varier œ,i/, z, le centre de la sphère ne changera pas, mais son rayon subira un accroissement :

dr = Ndt.

L'élément de surface dw deviendra d^o . On peut faire disparaître rfio de l'intégrale en introduisant l'angle solide c/s sous lequel cet élément est vu du centre de la sphère ; on a

f/o) = r'-di^, d'où

du) ,

=: 7-drs.

r Par conséquent, l'intégrale devient

(4) \ =fF {x'yz^ rdn,

et comme r est le même pour tous les éléments de l'intégrale, on peut écrire

l = rfF{x'yz')d^.

Si donc >• subit un accroissement dr, l'accroissement dl qui en résultera pour? sera

rf;

l = dr CFda — rd.Cvd<!,

PRINCIPE DK IIUYGHENS 91

OU

d\ = dr I Fd<s + rdr / ^ ''«•

Pour calculer la valeur de la seconde intégrale qui entre dans cette expression, remarquons que, le rayon r étant normal à l'élément de surface doi, on a, d'après le théorème de Green,

^\/io= / AFf/T,

d-z étant un élément de volume, et l'intégrale du second membre étant étendue à toute la sphère. En introduisant dans cette dernière égalité l'angle solide di qui correspond à rfw, elle devient

(S) / |:,/,=i / AP^T.

Nous pouvons donc remplacer la valeur trouvée précédemment pour de, par la suivante :

il=dr i l

dl=dr j Fd>: + ^ / ^^'^^ <

ou, en divisant par dr = \dt.

En différentiant cette dernière expression par rapport à r.

nous obtenons l'égalité

qui, si nous tenons compte de la relation (5), se réduit à

Le second membre de cette relation est, au facteur près— 7-

'^ rdr

la valeur de l'intégrale

\¥dx

étendue aux éléments de volume d'une couche comprise entre les sphères de rayons >• et r -|- dr. Considérons un de ces éléments limité par ces deux sphères et par un cône ayant pour sommet le centre commun des deux sphères et pour base l'élément dw de la surface de la première sphère. Le volume de cet élément sera, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au troisième, dbi dr. Par conséquent l'intégrale précédente devient

AF dm dr

ou dr f AFcfu,

intégrale étendue à tous les éléments de la sphère de rayon?-.

On ubtient alors, pour la relation (7),