En remplaçant, dans l'équation (1) du mouvement, -j
par sa valeur tirée de cette dernii're relation, et A? par sa valeur (3), l'équation sera satisfaite. Par conséquent
est une solution particulière de l'e'quation du mouvement. Ce ne peut être encore l'intégrale généralr, puisqu'elle ne contient qu'une fonction arbitraire.
Cherchons les valeurs initiales de ; et de -j-. Quand t tend
vers zéro, le rayon de la sphère r tend vers zéro, et la valeur de F {x, y], s') tend vers F (a-, >/, 2). Si ce', y', «'différent peu de X, y, z, l'intégrale
fF{oo'.y,z')d<7 aura une valeur voisine de
Il en résulte que la valeur de ; donnée par l'e-xpression (4) diffère peu de
r . inl-{.c, y, s).
A la limite, quand r est égal à zéro,; est donc nul. Par conséquent la valeur initiale de ; est nulle.
La relation (0) nous donne, pour — .
dt
Le second terme du second membre peut élre négligé quand le rayon r est infiniment petit. En efl'et, l'intégrale qu'il contient, devant être étendue à tous les éléments de la sphère, sera un infiniment petit du troisième ordre; son quotient par r sera du second ordre et seranégligeable vis-à-vis du premier ternie dont la valeur est à la limite 47rVF. Nous aurons donc
Comme la fonction F est quelconque, la vitesse initiale du déplacement est arbitraire.
73. Pour avoir l'intégrale générale de l'équation du mouvement, il nous faut trouver une seconde solution particulière dont la valeur initiale puisse être prise arbitrairement. Nous allons montrer que
^ ~Y dt
satisfait à ces conditions.
D'abord, c'est une solution de l'équation du mouvement. En effet, on a
^ — L'îi — liL i!^
dt^ ~ V dt^ "y dt' df' '
., cP l'^.d^ }'Jl4 JL l^iii A?
^ ~ dx^ ' V di '^dy- ' y di^ dz^ ' y dt^y dt " ^'
Par conséquent pour que l'équation du mouvement soit satisfaite, il faut que l'on ait
ici ^ V'^ i ^ A' V dl ' dt- ~ y dt "
Jt-dF^=^-dt^'-
Cette égalité sera satisfaite puisqu'on l'obtient en différentiant par rapport à t l'équation (1) à laquelle ; satisfait identiquement,
Pour avoir la valeur initiale de ;' il suffit de chercher ce que devient la relation (6) quand on y fait t = o. D'après ce que nous avons dit précédemment dans la recherche de la valeur initiale de -jj-, on aura
(10) {l\ = A^.F{œ,ij,z).
On peut donc prendre uni' valeur quelconque pour la valeur initiale du déplacement, puisque la fonction F est arbitraire.
La valeur initiale de -~ se déduira de la relation (8). On a
dl
lt~\ dC' r I
par conséquent la valeur initiale de la vitesse -j- est nulle.
74. La somme des deux solutions particulières ; et ;' que nous venons de trouver sera la solution la plus générale de l'équation du mouvement. Cette solution est
en désignant par F, la fonction arbitraire qui entre dans la seconde solution particulière.
Cherchons l'expression de cette solution quand on se donne les valeurs initiales du déplacement et de la vitesse :
Ço = ¥('<-■' 3/' ^)' (I7) = ^-i^' 2/' ^)-
La valeur initiale de l'expression générale de ; se réduit à la valeur initiale de la seconde solution particulière ; par conséquent, la relation (10) nous donne
tf = 4:rF,.
La vitesse initiale de la seconde scdution particulière étant nulle, nous aurons d'après la relation (9j
']/ = 47tVF.
En remplaçant, dans l'expression générale de ;,les fonclionsF et F, par leurs valeurs tirées de ces dernières relations, nous obtiendrons
ou
75. Justification du principe deHuyghens. — L'expression précédente montre que la valeur, au temps i, du déplacement d'un point d'une sphère de rayon \t dépend à la fois des valeurs du déplacement et de la vKcsse du centre de
l'RliNClPE DE nUYP.HENS 97
la splière à l'origine des temps. Nous allons tirer delà la justification du principe de Huyghens, soit dans le cas d'une onde isolée, soit dans le cas d'une série d'ondes pe'riodiques.
Supposons, comme le faisait Huyghens, qu'on ébranle les molécules d'une sphère de rayon infiniment petit. Cet ébranlement se propagera par ondes sphériques et à un certain moment les molécules ébranlées seront situées dans une couche S comprise entre deux sphères de rayons r^ et »"o~h ^- Le déplacement d'une molécule sera donné par la formule
. F(r - VQ ^- r
que nous avons trouvée (68) dans le cas de la propagation par ondes sphériques. Comme il n'y a de mouvement que dans la couche sphérique, ; et par suite F, devront être nuls pour tout point pris en dehors de cette couche. Cette fonction F, nulle pour Tu et pour r^ -j- t, doit passer par un maximum ou un minimum pour une valeur de r comprise entre r^ et ?•„ -|- ' ! par conséquent, sa dérivée par rapport kr n'a pas le même signe pour tous les points de la couche. Or, la vitesse d'une molécule a pour valeur :
^-If' •
dt — r '• '
elle doit donc changer de signe pour une valeur de r telle que
Au bout du temps t -{- t', il n'y aura de mouvement qu'à l'intérieur d'une couche sphérique S' limitée par deux sphères
concentriques de rayons î-„ -|- Nt' et ;•„ -f- s -|~ V' • D'autre part, si nous voulons avoir la valeur de ; à l'époque t -{- t' et en un point P quelconque de l'espace, nous pouvons regarder les diverses molécules de S comme des centres d'ébranlement. Celte valeur de ; nous sera donnée par la formule (H) du n» 74.
L'intégrale doit être étendue à tous les éléments dm d'une sphère de centre P et de rayon r' = Yt.', ou plutôt à tous ceux de ces éléments qui appartiennent à la couche infiniment mince S ; 'f désigne la valeur du déplacement du centre de gravité de dio à l'époque i ; et '\i représente la valeur de la vitesse de ce même point à ce même instant.
Il s'agit d'expUquer comment l'expression de; ainsi trouvée est nulle toutes les fois que le point P n'appartient pas à la couche S'. On s'en rendra compte en obsei'vant que la vitesse initiale <]/ ne conserve pas toujours le même signe ainsi que nous venons de le voir. L'intégrale a donc des éléments positifs et négatifs et l'on conçoit qu'elle puisse être nulle.
11 nous suffira d'avoir montré qu'il n'y a là aucune anomalie réelle ; le calcul montrerait que l'intégrale s'annule effectivement pour tous les points de l'espace situés en dehors de S'.
