CHAPITRE IV
DIFFRACTION
76. Équations des mouvements transversaux dans le cas de déplacements péxùodiques. — Supposons que les composantes ;,r|,C du déplacement soient des fonctions périodiques du temps ; la valeur de la composante ; peut alors s'écrire
i; = A eus -— \~ Bsin ^ —
A et B étant des fonctions de œ, y, z seulement. En remarquant que C0S2- est la partie réelle de l'exponentielle e~'- et %va.z la partie réelle de — ie~'-^ on peut considérer ; comme la partie réelle de l'exponentielle
(A — BO e' >■ ' , ou
Or, les équations des mouvements transversaux étant
linéaires par rapport aux dérivées secondes de l, vj, Ç, si une exponentielle de cette forme satisfait à ces équations, la partie réelle et la partie imaginaire y satisferont séparément. Nous pourrons donc, comme nous l'avons déjà dit (51), clierelier les solutions de la forme
et ensuite prendre pour valeur de la composante du déplacement la partie réelle de cette solution.
Pour simplifier, posons \
nous aurons
La dérivée seconde de ; par l'apport à / sera,
dl''
= — a^VV"'""'.
\f, ne dépendant pas du temps puisque les fonctions A et B n'en dépendent pas. La dérivée seconde par rapport à x est
dap' dx^ '
par conséquent on aura
Pour que la première équation des mouvements transver-
saux,
dt-
DIFFRACTIO?? 101
soit satisfaite, il faut donc que l'on ait
c'est-à-dire
Les deux autres équations du mouvement nous donneraient deux nouvelles équations de condition,
(2) A-v, .-f a-rij = 0,
(3) Aîo + ^'îo = 0.
En outre, les mouvements étant transversaux, nous devons avoir
dx (hj ' dz et comme.
^^l^e-avr ^^^g,av, i^^^e-,av, '
dx dx ' dy dy ' dz dz '
la condition de transversalité devient.
^ ' dx^ dy^ dz~
Telles sont les quatre conditions que doivent remplir c^, r|j, Çg, pour que;, T|, X, satisfassent aux équations des mouvements transversaux.
77. Intégi'ation de la première des équations de condition. — Dans la recherche des intégrales des équations des mouvements transversaux dans le cas des ondes sphériques.
nous avons trouvé (69) pour solution particulière de l'équa-
tiun
l'expression
Par conséquent.
A; -f .Qt-ç = o ,
g-iafr-V()
sera une solution particulière de l'équation de condition (1), r étant la distance du point ,>■, y, z à l'origine. Cette quantité sera encore solution de la même équation quand r désignera la distance du point x,y,3 à un point fixe quelconque, car l'équation différentielle conserve la même forme quand on prend pour origine le point fixe.
Soient maintenant P,. P,, Pj,... P,, un certain nombre de points fixes dont les distances au point M de coordonnées a;, y,z, sont r, , ?•.,. rg,.... ?•„ ; la somme
giar, giar2 e'="S , e'«'n
satisfera à l'équation (1). Si on supposait a = o, ;q se rédui-
rait à une somme de termes tels que -;-'■, c'est-à-dire que ;„
serait le potentiel au point M, supposé attiré suivant la loi de Newton par des points P,. Pj,-.- P,,, de masses m,, m.^... 7n„. Cette analogie va nous permettre de trouver facilement plusieurs solutions particulières de l'équation (1).
DIFFRACTION 103
Considérons en effet une matière attirante répandue d'une manière quelconque dans l'espace, mais de telle façon que l'attraction, au lieu d'être régie par la loi de Newton, soit rereprésentée par la fonction
dr \r)^
>• désignant la distance du point attiré au point attirant. D'après ce qui précède, on voit que le potentiel dû à l'attraclion de cette matière satisfera à l'équation (1).
78. Dans la théorie du potentiel, on considère non seulement l'attraction de points isolés, mais encore l'attraction de volumes et de surfaces. En supposant que les points P,, P.,,... P„ forment un volume on aura pour \^
/e'«''Xt/T
L'intégrale est étendue à tous les éléments d-z du volume attirant, et X est une fonction quelconque des coordonnées de l'élément dx. Cette fonction X représente la densité de la matière attirante.
Il est clair que pour tout point pris en dehors du volume attirant, ç^ satisfera à l'équation (1). L'analogie avec la théorie ordinaire du potentiel suffit pour nous avertir qu'il n'en sera plus de même pour un point appartenant au volume attirant. Démontrons qu'on aura en un point P de ce volume:
(6) A?o -f a-;o + -i^tX = o,
X désigne ici la valeur que prend au point P la densité de la
lOi THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
matière attirante. Il est aisé de reconnaître que si l'on fait a = 0, on retombe sur l'équation de Poisson.
Pour démontrer cette équation, décrivons du point P comme centre une très petite sphère*, et décomposons le volume attirant en deux volumes partiels, à savoir la sphère s et le volume T situé en dehors de cette sphère. Posons ensuite
OÙ
?4 = / X^-dr (intégrale étendue au volume T),
?2 = / — dx (intégrale étendue à s).
d-z (intégrale étendue à s).
Le point P étant en dehors du volume T, on aura
D'ailleurs, l'équation de Poisson nous donne
Le rayon de la sphère s étant très petit, on aura à des infiniment petits près
D'autre part, si nous considérons l'intégrale qui définit la fonction ç^, nous voyons que la fonction sous le signe / ne
DIFFRACTION 105
devient pas infinie pour »• =; o ; nous en conlurons que A;^ est du même ordre de grandeur que la si)lière s ; on a donc
Açg ^^ Oy AÇq — a;^ — |— a;^»
d'où
79. Envisageons maintenant une surface attirante. Le potentiel dû à l'attraction de cette surface sera représenté par l'intégrale
étendue à tous les éléments rh<> de la surface attirante ; X désigne une fonction quelconque des coordonnées de l'élément du,, et r est la distance de cet élément au point attiré x, y, z. Nous trouverons encore ici la plus grande analogie avec la théorie du potentiel newtonien et en efl'et si nous posons
/giar — I X du),
la première intégrale est le potentiel ordinaire, la seconde est telle que la fonction sous le signe / ne devient jamais infinie ; c'est donc une fonction continue ainsi que toutes ses dérivées.
D'après la théorie du potentiel newtonien, :, est aussi une fonction continue, il en est donc de même de ij. Mais il n'en est pas de même de ses dérivées.
En effet -r^, -p, -r^ sont les composantes de la force
dx dy dz
attractive suivant les trois axes ; nous désignerons de même silice vant l'usage, parla notation -—■ , la projection de cette même
force sur la normale à l'élément c/co. On aura donc
d,n dx dy dz '
l, tn et n désignant les cosinus directeurs de cette normale.
Nous savons que -^ est une fonction discontinue efque si
l'on considère deux points infiniment voisins situés de part et d'autre de l'élément dt», les valeurs de cette fonction en ces
deux points différeront d'une quantité égale à 47iX. Or -^
est continu. Donc -—■ = -r- H — r^ sera discontinu el subira dn dn dn
un saut brusque égal à 47tX quand on franchira la surface
attirante.
80. Il nous reste à étendre au cas qui nous occupe la théorie de la double couche attirante dont le rôle est si grand dans l'étude du potentiel newtonien.
Considérons deux surfaces parallèles infiniment voisines, telles que les normales aux deux surfaces soient les mêmes, et que la distance infiniment petite de ces deux surfaces, comptée sur l'une des normales communes, soit constante.
Imaginons que de la matière attirante soit répandue sur ces deux surfaces, de telle façon que les densités sur deux éléments correspondants des deux surfaces soient égales et de signe contraire.
DIFFRACTION
En considérant le potentiel dû à l'atlraclioa d'une pareille double couche, nous allons trouver de nouvelles solutions particulières de l'équation (1).
Désignons par s la distance qui sépare les deux couches , par X , et — X , les valeurs de la densité aux centres de gravité P et P' {fig. 8) de deux éléments correspondants' c/od, et posons
Nous aurons pour k' potentiel dû à rattraction de ces deux éléments sur un point M situé en dehors de ^
la couche, et dont la distance à l'un des éléments de surface est r,
(8) X^rfcoF [r] — X,r/(oF {/• -f- (//■)
= — \ch,dr¥'[r).
Pour avoir la valeur de dr nous abaisserons du centre P d'un des éléments une perpendiculaire PQ sur la droite MP' ; la Fig. 8.
distance P'Q sera, à un infiniment petit du second ordre près, égale à dr ; nous aurons donc
dr = £ cos 'k
'l désignant l'angle de la droite MP' avec la droite PP' qui est normale à chacune des couches. En portant cette valeur dans (8) nous obtenons pour le potentiel total.
^ C\^^dii>cQsW{r).
Comme la fonction X, est quelconque, on pourra, sans diminuer la généralité de la solution particulière (9) remplacer XjE par une seule lettre X, désignant une fonction quelconque de X, y, z. En outre, puisqu'on a posé
on aura pour la dérivée,
Par conséquent l'expression (9) de ;„ peut s'écrire
(10) =0= /x,Ç(m-^)cos.|,
Posons encore ;
/rixe'"'' e""' \ "1 ^2 cûs '\ ^-^^ -pr^ ^^\ f^"-
Nous voyons que ç, repre'sento le potentiel ncwtonien d'une double couche. Quant à la seconde intégrale ç^ (comme la
fonction sous le signe / ne devient pas infinie) elle sera continue ainsi que toutes ses dérivées.
La théorie du polenliel newtonien nous apprend que -^
DIFFRACTION 109
est continu, mais que ç, est une fonction discontinue. Donc
—p est continu et L sera une fonction discontinue qui subira an "
un saut brusque égal à 4-.Xj qunnd on franchira la surface
attirante.
81. La combinaison des intégrales (7) et (10) nous donne la solution la plus générale de l'équation (1).
En effet si X, et X^ sont deux fonctions quelconques des coordonnées d'un élément r/io d'une surface quelconque ; si r est la longueur de la droite qui joint l'élément d^ au point X, y, z \ et que 'i désigne l'angle que fait cette droite avec la normale à l'élément dw, l'expression.
/pi3.r I pi3.r / \\
\ — f?" + / X, COS .i — (^/x - -jdo,
satisfera à l'équation (1). Il nous reste à montrer que c'en est là l'intégrale générale.
Soit U une fonction quelconque finie et continue ainsi que toutes ses dérivées et satisfaisant à l'équation (i) en dehors d'une certaine surface S.
Soit V le potentiel dû à un certain volume attirant dont une partie pourra se trouver en dehors de la surface S. On aura
(12) AV + a^V = o.
en dehors du volume attirant, et en un point de ce volume
(13) AV + x^Y^ 4 p ^ 0^
p étant la densité de la matière attirante.
Le théorème de Grcen nous donne :
(^^) / (^S-Vf)^^— /(UAV-VAUMx,
la première intégrale étant étendue à tous les éléments do» de la surface S et la seconde à tous les éléments de volume rfx de l'espace extérieur à cette surface. Dans le calcul des dérivées
^- — et-^ on considère la normale à l'élément du comme diridn dn
gée vers l'intérieur de la surface S.
Gomme U satisfait à l'équation ([) et V aux* équations (12)
et (13) l'intégrale du second membre de (14) se réduira à
— 471 1 Vpdx,
l'intégration devant être étendue au volume attirant qui engendre le potentiel V ou plutôt à la portion de ce volume qui est extérieure à S.
Supposons maintenant que le volume attirant qui engendre
V se réduise à une sphère de raj'on très petit ayant pour centre le point a-g, </„, z„, et que la densité f soit telle que la masse attirante totale soit égale à 1. Alors, en appelant ;•„ la distance d'un élément r/oi de S au point a-„, y^y, ^g, la valeur de
V au centre de gravité de cet élément se réduira à :
et celle de --— à :
dn
+ COSI — (.a--j,
DIFFRACTION 1 1 1
ij; désignant toujours l'angle de la normale extérieure à l'élément (fu) avec la droite (nii joint cet élément au point
'^O' Vo' ~«-
L'intégrale / Upc?T se réduira à U„ (U^ étant la valeur de U
au point x^, y„, Zq), si ce point est extérieur à S. Cette intégrale est nulle dans le cas contraire, car elle s'étend à la portion du volume attirant extérieur à S, et si le point a;^, y,,. ;7(, est intérieur à S, il en est de même du volume attirant tout entier. On a donc simplement :
'"•=J\"'i-^-fn}-^-
Si, supprimant les indices, nous appelons x, y, s le point que nous avons appelé x^,, y,-,, ^r^ ; ;■ sa distance à l'élément f/co, et U la valeur de la fonction U en ce point ; il vient simplement :
/U e""' / 1 \ / dl] e'"'' iix ) cos 'i du) -h I -T- -, — d(.o. kiz r \ r) ' ' J dn A-k)~
On voit ainsi que U, qui est une fonction quelconque satisfaisant k l'équation (l),est égale à l'expression (H) pourvu qu'on
prenne pour la fonction arbitraire X, la valeur de - — y sur
l'élément dm et pour la fonction arbitraire X^ la valeur
de ; — sur ce même élément.
4ti
82. L'équation (13) est vraie |si le point x, y, z est extérieur à S. Dans le cas contraire le second membre de cette équation
(15) se réduit à 0, car nous venons de voir que, si le point
x^, 2/o, z^ est intérieur à S, l'intégrale / Uprfr est nulle.
Si dans l'expression (11), les fonctions arbitrai resX, et Xj sont quelconques, cette expression représentera toujours à l'extérieur de S une fonction U qui satisfera à l'équation (1) ; mais
il n'arrivera pas en général que U se réduira à — 4^X2 et —
à 4-X, quand le point œ, y, z se rapprochera indéfiniment d'un élément dw de S.
Pour qu'il en soit ainsi, il faut, d'après ce que nous venons de voir, que l'expression (H) soit nulle toutes les fois que le point X, y. z est intérieur à S.
Cette condition est suffisante. En effet, si elle est remplie, en un point infiniment voisin de S, mais intérieur à cette surface, les valeurs de l'expression (11) et de ses dérivées seront nulles.
Considérons maintenant un point infiniment voisin du premier, mais extérieur à S. D'après ce que nous avons dit plus haut de la discontinuité du potentiel d'une simple couche ou
d'une douille couche, les valeurs de U et de -;- en ces deux
an
points infiniment voisins devront différer de quantités égales respectivement à 4-X, et — ^-Xj.
Or au premier point on a
U =— =0 dn
On aura donc au second
DIFFRACTION H3
83. Équations de la diffraction. — Soit 0 une source lumineuse que nous supposerons réduite à un point dont les déplacements sont des fonctions périodiques du temps. Ce point deviendra le centre d'une série d'ondes sphériques dont chaque point sera animé d'un mouvement périodique. Les composantes du déplacement d'un de ces points seront les parties réelles d'expressions de la forme
;,, -ri,. If, satisfaisant aux équations différentielles
(2) Ath + y.\ = o.
AÇ, + y.% = o ,
Les ondes sont sphériques, d'où il résulte, non que ;, y|, Ç, sont fonctions de r seulement, (ceiqui est incompatible avec la condition de transversalité) mais que ces quantités varient beaucoup plus lentement quand on se déplace sur la surface d'une sphère S ayant son centre en 0 que si l'on se déplace normalement à cette sphère.
Nous poserons donc
L, lo, Çj variant beaucoup plus lentement que le facteur e'*''.
La dérivée de e'="' est égale à ixe"^'' ; cmiime a = — est
une quantité très grande; cette dérivée est elle-même très grande. Au contraire, nous supposerons que les dérivées de ;, , 7)2 et Co sont des quantités finies.
Soient l, m, n les cosinus directeurs de la normale à la sphère S; nous avons besoin de
an dx ay az
Nous trouvons :
an dr - ' dr
Le second terme est très petit par rapport au premier parce que oL est très grand ; on a donc approximativement
et de même ,
dy\, dl.
Supposons maintenant qu'une portion d'une sphère S ayant pour centre le point lumineux soit occupée par un écran. L'intensité lumineuse en un point de l'éther intérieur à la sphère, sera très sensiblement le même que si l'écran n'existait pas. Il en sera de même pour les points de la sphère extérieurs à l'écran. Pour les points de l'écran, l'intensité doit être très sensiblement nulle.
DIFFRACTION H5
84. Voici donc les conditions que nous aurons à remplir : A l'extérieur de la sphère S les trois composantes du déplacement seront les parties réelles des exponentielles
et les fonctions :„. r,(„ î„ devront satisfaire aux quatre conditions suivantes.
A. On devra avoir en dehors de S
B. En tous les points de S qui n'appartiennent pas à l'écran on doit avoir très sensiblement
^''~^'' dn-cbi
C. En tous les points de l'écran, on doit avoir très sensiblement.
'» ~- ''''^ - ^0 - dn ~ dn - dn
" dn d" '^" D. La condition de transversalité
doit être remiilie.
Il est impossible de satisfaire exactement au.v conditions
Ht) THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA NUMIËRE
B et G ; on n'y peut satisfaire que très sensiblement , c'est-àdire à des quantités près de l'ordre de la longueur d'onde l. Nous avons vu plus haut que si une fonction ;„ satisfait à l'équation Aç,, -j- 'J.-l^, ^ o à l'extérieur d'une surface S, si aux divers points de cette surface elle se réduit à — A-kX.,
pendant que -7^ se réduit à 47rX, , on aura à l'extérieur de S
tandis qu'à l'intérieur de S, le second membre de (3) se réduira à 0.
Ici notre surface S se réduit à une sphère de centre 0 ; ij et
-^ sont très sensiblement nuls pour les points de l'écran ;
pour les points extérieurs à l'écran, l^ est à peu près égal à l^
et -j-^ à ixlf si l'on considère la normale à S comme dirigée
vers l'extérieur, et à — ixl,, si on regarde cette normale dirigée vers l'intérieur, ainsi qu'on doit le faire dans l'application de la formule (15) du n° 81.
Si donc nous prenons
X, = ixX, = 0, pour les points de l'écran de S et
Al — ZQtAo — — -;
pour les points extérieurs à l'écran, le second membre de (3) différera très peu de çq à l'extérieur de S et très peu de 0 à l'intérieur de S.
DIFFRACTION 117
Nous arrivons donc à la conclusion suivante.
S'il existe des fonctions ;„, r^^, Co, satisfaisant approximativement aux conditions A, B, G, D, ces fonctions seront très sensiblement représentées par les intégrales
/piy-r / COS 'I/\
x.rfco — (^''^ -f '^ i^-os ■! — —;ry
Y.f^" — (^ /a -(- (a COS ■} — -y^j -
étendues à tous les éléments fi'io de la sphère S. Dans ces formules,
si l'éléijient dm appartient à l'écran, et on a
V ^( V «ii 7 21.
si l'élément f/w n'appartient pas à l'écran.
85. 11 nous reste à faire voir qu'il existe effectivement. des fonctions satisfaisant à ces conditions ; nous avons donc à montrer que les expressions (4) remplissent à très peu près les conditions A, B, G, D.
1° La condition A est certainement remplie d'après ce que nous avons dit au n° 82.
2° D'après ce que nous avons vu dans ce même paragraphe, les conditions B et G seraient remplies exactement si les in-
tégrales (4) étaient exactement nulles à l'intérieur de S. Elles seront donc sensiblement remplies si ces intégrales sont sensiblement nulles à l'intérieur de S.
Nous avons donc à démontrer d'abord que les intégrales (4) sont sensiblement nulles à l'intérieur de S et pour cela à donner une méthode pour calculer approximativement ces intégrales. C'est ce que nous ferons dans le paragraphe suivant.
Nous établirons ensuite que si ;„. v^, l„ sont définis par les formules (4) on a très sensiblement
fj' llr iF
Remarquons en passant que les intégrales (4) représentent à l'intérieur et à l'extérieur de S deux fonctions différentes qui ne sont pas la continuation analytique l'une de l'autre. Gela tient à la discontinuité du potentiel d'une simple ou d'une double couche. Aussi les intégrales de Fresnel qui rendent compte des phénomènes optiques qui se passent à l'extérieur de la sphère S, ne représentent pas les phénomènes qui se passent à l'intérieur de cette sphère. C'est là l'explication des anomalies signalées par Poisson.
86. Calcul des intégrales (4). Nous allons chercher à calculer approximativement la première intégrale (4) que nous écrirons
/ giar
en posant pour abréger
• (6) X = X,[/a(l + cos.].)-^J
DIFFRACTION 119
Changeons de coordonnées. S [fig^ 9) étant la sphère dont une portion est occupée par un écran et P le point éclairé X, y, z, la position d'un point sera déterminée dans le nouveau système de coordonnées, par l'angle -{< (|ue fait le plan passant par ce point et la droite ()P avec un plan fixe mené
FiK
par OP, par l'angle 0 de la droite qui joint le point au point 0 avec OP, et enfin par le rayon vecteur Rmené du point 0. Dans ce système un élément de la surface de la sphère S de rayon a, a pour expression
dw =: or sin OdOdtf.
On peut donner à cette expression une autre forme. En désignant par b la distance QP du point P à la sphère, on a dans le triangle JMOP :
r^ = {a-\-bf -f-«2— 2« (a -}-6)cosô;
en différentiant, on obtient
rdr = a (a -\- lj)smOdfJ.
Et, si on remplace dans dw le produit sinOf/9 par sa valeur
dans cette dernière expression, il vient :
a^rdr , a , .
En portant cette valeur de doj dans l'expression (5) de ç^ , nous obtenons.
(^) '"=^r+^ / / X«'"-rf/-rf'f.
l'intégration étant prise entre b et 2a -\- b pour r, et entre Oet Stt pour tp.
Toutefois nous n'étendrons l'intégration qu'à la partie delà sphère S non occupée par l'écran ; cela ne changera rien au résultat puisque sur l'écran, la fonction X est nulle. Nous aurons ainsi l'avantage que dans tout le champ d'intégration, la fonction X sera continue et que ses dérivées seront finies, ce qui est nécessaire pour ce qui va suivre. Dans ces conditions les limites de l'intégration par rapporta r ne seront pas forcément b cl '2a -\- b. Nous les appellerons r^ et j-o.
Intégrons d'abord par rapport à ;•. En appliquant la règle de l'intégration par parties et en désignant parr, et r^ les limites de la variable, nous aurons
et, si nous intégrons par parties l'intégrale du second membre nous obtiendrons
/-'■-'■■ =[Tt-^ m '"'t-K
DIFFRACTION 121
a étanl une quantité inliniment grande nous pouvons en général, dans le calcul approximatif que nous nous sommes proposé, négliger les termes du second membre qui contiennent enfacteur une puissance de -y. intérieure à — 1. Nous avons alors
et la valeur de ;„ donnée par l'intégrale (7) est approximutivemenl
87. Dans la figure 9, le point P se trouve en dehors de la sphère S ; mais il est évident que si nous avions pris le point P à l'intérieur de la sphère, nous serions arrivés à la même expression de ;a en considérant dans ce cas la distance b du point à la sphère comme négative.
Nous allons, montrer à l'aide de l'expression (8) que la va leur de ^^ est sensiblement nulle en un point intérieur à la sphère.
Voyons en effet ce que représentent les limites supérieure et inférieure r^ et r.^. Plusieurs cas peuvent se présenter ; nous n'en envisagerons que trois :
1° Il n'y a pas d'écran. On a alors
si le point P esl exiérieur à la sphère, et,
r^ = b, j-, = 2fl — b,
si le point P est intérieur à la sphère.
2° Il y a un écran ; le point Q, pôle du point P, n'est pas sur l'écran, mais le point diamétralement opposé appartient à l'écran.
Alors r^ = b ; et la limite supérieure r.-, , qui est en général une fonction de i-, est la valeur de r qui correspond au bord de l'écran.
3° Il y a un écran ; le point Q appartient à l'écran et le point diamétralement opposé n'en fait pas partie.
Alors r., i= 2« ± è et «, est la valeur de r qui correspond au bord de l'écran.
.appelons J l'intégrale
d'il
prise le long du bord de l'écran, et soient X et X" les valeurs
Xe'°"' de — : — au point Q ft au point diamétralement opposé.
Nous aurons :
dans le premier cas ;„ = , (SttX" — 2itX'),
dans le second ;„ = , - f J — StiX'),
dans le troisième ;„ = — ; — - (2:tX" — J).
Nous verrons plus loin que J est généralement négligeable.
DIFFRACTION 123
Il nous reste à calculer X' et X", Nous avons
X=:X,(i. + eacos.|.-'-^).
Le dernier terme — ^est négligeable devant zx parce que x est très grand. Il reste donc
X = iaX. (1 4-cos^) = — ^ (i -fcos^)
puisque en dehors de l'écran X., est égal à — y-
Au point Q on a :
si le point P est extérieur à S •!- =: o X' = — ^ e'^'',
^ ' Stt
si le point P est intérieur à S 'l =z r. X' =; o.
Au point diamétralement opposé on a, dans tous les cas .1. = - et X" = o.
Par conséquent, si le point P est intérieur à S, l'intégrale (8) sera généralement négligeable.
88. Si le point P est extérieur ;\ S ; on a dans les trois cas envisagés plus haut :
Dans le premier cas
Dans le second cas
Dans le troisième cas
Donc si le point Qu'appartient pas à l'écran, c'est-à-dire si P n'est pas dans l'ombre géométrique, l'intensité est la môme que s'il n'y avait pas d'écran. Si au contraire P est dans
\'2i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
l'ombre géométriqiK', l'intensité est nulle. En d'autres termes les phénomènes sont les mêmes que dan» la théorie géométrique des ombres. Il n'y aura donc de phénomènes de diffraction que si l'intégrale J n'est pas négligeable.
Nous sommes donc amenés à : 1» Démontrer que l'intégrale J est généralement négligeable.
2° Chercher quels sont les cas d'exception où elle cesse de l'être.
Nous avons à évaluer l'intégrale
rfcf.
étendue à tout le contour de l'écran.
Pour cela nous décomposerons ce contour en un certain nombre d'arcs partiels qui seront de deu.\ sortes
1° Sur les arcs de la première sorte la dérivée -^ sera finie ;
2° Sur les arcs de la deuxième sorte, cette dérivée sera assez grande pour ne pas être négligeable devant a.
D'ailleurs rien ne nous empêche de supposer que la subdivision du contour en arcs partiels ait été faite de telle sorte que le long d'un de ces arcs r soit ou constamment croissant ou constamment décroissant.
89. Évaluons d'abord l'intégrale prise le long d'un arc de la première sorte.
Si nous prenons comme variable d'intégration /•, notre intégrale s'écrira :
Xe'«'' dti, , -. r dr.
DIFFRACTION 125
En intégrant par parties, on a:
«} dr '^ a., j dr
dr dr
Or X est du même ordre que a ; si donc -f- est une quantité
dr ^
finie chacun des termes de cette dernière somme est de l'ordre
de - , c est-à-dire négligeable. Ainsi l'intégrale prise le long
d'un arc de la première sorte est négligeable. L'intégrale
Xe'«'-
prise le long d'un arc delà seconde sorte sera aussi négligeable en général, parce que la différence tp, — tp,, des limites d'inté-
gration sera du même ordre de grandeur que -.
Pour que l'intégrale J ait une valeur finie, il faut donc que ?( — ?o *oi' finie, c'est-à-dire qu'un au moins des arcs de la seconde sorte soit vu du point Q sous un angle fini ; ce qui peut arriver dans deux cas :
1° Si cet arc est lui-même fini ; on a alors tout le long de
cet arc v = « , "t- = 0, >• = const. ; c est-a-dire. que 1 arc dr dcp ^
en question doit différer très peu d'un arc de cercle ayant son
pôle en Q .
2° Si cet arc passe très près du point Q, c'est-à-dire si ce
point est très voisin du bord de l'écran.
Toutes les fois qu'il n'en sera pas ainsi, l'intégrale J sera négligeable et nous n'aurons pas d'autres phénomènes que ceux prévus par la théorie géométrique des ombres.
